2020年9月15日,第2節(jié),廣義坐標(biāo)形式的 靜力學(xué)普遍方程,獨(dú)立的虛位移數(shù)就是質(zhì)系的自由度。,例如：沿曲面運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)有 個(gè)自由度。,兩,純滾動(dòng)的圓柱有 個(gè)自由度。,作純滾動(dòng)的球有 個(gè)自由度。,三,一,思考題：1）純滾的圓盤有幾個(gè)自由度？ 2）自行車有幾個(gè)自由度？,自由度,N 質(zhì)點(diǎn)總數(shù) r 完整約束的總數(shù)； s 非完整約束的總數(shù)；,自由度數(shù),能夠唯一地確定質(zhì)系可能位置的獨(dú)立參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。,廣義坐標(biāo)數(shù)為：,根據(jù)需要可以任選k個(gè)可以確定質(zhì)系可能位置的獨(dú)立參數(shù) 作為廣義坐標(biāo)，它們可以是距離、角度、面積等。,廣義坐標(biāo),如果質(zhì)系只有完整約束，廣義坐標(biāo)的變化就不再受任何約束限制，廣義坐標(biāo)數(shù)與自由度相同。,實(shí)例分析,利用廣義坐標(biāo)描述質(zhì)系運(yùn)動(dòng)幾何約束自然滿足,N = 2 r = 1 n = k = 3,N = 2 r = 3 n = k = 1,k = 3 s = 1 n = 2,廣義坐標(biāo)形式的靜力學(xué)普遍方程,Qj稱為對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo) qj 的廣義力。,具有完整理想約束的質(zhì)系，其平衡的充要條件是：所有的廣義力等于零。,廣義力是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。,廣義力是主動(dòng)力的某種代數(shù)表達(dá)式，但不一定具有力的量綱。廣義力和廣義坐標(biāo)變分的乘積一定具有功的量綱。,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：,廣義坐標(biāo)形式的靜力學(xué)普遍方程,例1,惰鉗機(jī)構(gòu)由六根長(zhǎng)桿和兩根短桿組成，長(zhǎng)桿長(zhǎng)2a，短桿長(zhǎng)a，各桿之間用鉸鏈相連。它在頂部受力P的作用，問(wèn)下部力Q的大小為多少才能使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。圖中 為已知角。,解,取為廣義坐標(biāo),例2,均質(zhì)桿OA和AB用鉸A連接，用鉸O固定。兩桿的長(zhǎng)度為 和 ，質(zhì)量為 和 。在B端作用一水平力 ，求平衡時(shí)兩桿與豎直方向夾角,取a、b 為廣義坐標(biāo),解 解析法,解 解析法,解 幾何法,首先取,解 幾何法,再取,例3,已知： m1, m2, M, , , 且接觸面光滑。 求：平衡時(shí)， m1, m2, M 的關(guān)系。,解,二自由度的平衡問(wèn)題,選獨(dú)立的廣義坐標(biāo) x1, x2,例4,已知：曲柄處于水平位置。 求：平衡時(shí)的M = ?,解,系統(tǒng)處于特殊位置，用幾何法求解。,一個(gè)自由度系統(tǒng)，取 為廣義坐標(biāo)。,例5,如圖所示，圓柱重為W，擱置在傾斜平板AB上。B點(diǎn)用細(xì)繩拉在墻上。設(shè)各接觸點(diǎn)都是光滑的，求平衡時(shí)繩的拉力T。,解,所有約束都是理想的。,解除繩的約束，代之以約束力T，作用在B處。取坐標(biāo)系A(chǔ)xy，主動(dòng)力的虛功為：,取a 角為廣義坐標(biāo)，則,當(dāng) 時(shí),T H E E N D,返回,