第五課時(shí) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 能畫出正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像。 2. 了解 y = Asin(wx + j),j > 0 的實(shí)際意義。 3. 了解函數(shù)的周期性 4. 以極度的熱情投入學(xué)習(xí)，體會(huì)成功的快樂。 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】 三角函數(shù)的圖象變換 【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】 三角函數(shù)的圖象變換 [自主學(xué)習(xí)] 1．用“五點(diǎn)法”作正弦、余弦函數(shù)的圖象． “五點(diǎn)法”作圖實(shí)質(zhì)上是選取函數(shù)的一個(gè) ，將其四等分，分別找到圖象的 點(diǎn)， 點(diǎn)及“平衡點(diǎn)”．由這五個(gè)點(diǎn)大致確定函數(shù)的位置與形狀． 2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的圖象． 函 數(shù)  y＝sinx           y＝cosx            y＝tanx 圖 象 注：⑴ 正弦函數(shù)的對(duì)稱中心為 ，對(duì)稱軸為 ． ⑵ 余弦函數(shù)的對(duì)稱中心為 ，對(duì)稱軸為 ． ⑶ 正切函數(shù)的對(duì)稱中心為 ． 3．“五點(diǎn)法”作 y＝Asin(ωx＋ j )(ω>0)的圖象． 令 x'＝ωx＋ j 轉(zhuǎn)化為 y＝sinx'，作圖象用五點(diǎn)法，通過列表、描點(diǎn)后作圖象． ４．函數(shù) y＝Asin(ωx＋ j )的圖象與函數(shù) y＝sinx 的圖象關(guān)系． 振幅變換：y＝Asinx(A>0，A≠1)的圖象，可以看做是 y＝sinx 的圖象上所有點(diǎn)的縱坐 標(biāo)都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原來的 倍（橫坐標(biāo)不變）而得 到的． 周期變換：y＝sinωx(ω>0，ω≠1)的圖象，可以看做是把 y＝sinx 的圖象上各點(diǎn)的橫 坐標(biāo) (ω>1)或 (0<ω<1)到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變)而得到 的．由于 y＝sinx 周期為 2π，故 y＝sinωx(ω>0)的周期為 ． 相位變換：y＝sin(x＋ j )( j ≠0)的圖象，可以看做是把 y＝sinx 的圖象上各點(diǎn)向 ( j >0)或向 ( j <0)平移 個(gè)單位而得到的． 由 y＝sinx 的圖象得到 y＝Asin(ωx＋ j )的圖象主要有下列兩種方法： y＝sinx 相位 變換 周期                     振幅 變換                     變換 或 y＝sinx 周期 變換 相位                     振幅 變換                     變換 說明：前一種方法第一步相位變換是向左( j >0)或向右( j <0)平移 個(gè)單位．后一種 方法第二步相位變換是向左( j >0)或向右( j <0)平移 個(gè)單位． [典型例析] 例 1. 已知函數(shù) y＝Asin(ωx＋ j )(A>0，ω>0) ⑴ 若 A＝3，ω＝ 1 ， j ＝－ p ，作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖． 2 3 ⑵ 若 y 表示一個(gè)振動(dòng)量，其振動(dòng)頻率是 2 p ，當(dāng) x＝ p 時(shí)，相位是 p ，求 ω 和 j ． 24 3 例 2. 已知函數(shù) y=3sin ( 1 x - p ) 2 4 （1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象； （2）說明此圖象是由 y=sinx 的圖象經(jīng)過怎么樣的變化得到的； （3）求此函數(shù)的振幅、周期和初相； （4）求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心. 例 3．已知函數(shù)  f ( x) = 3 sin vxcoxvx - cos 2 vx + 3 2 (v Î R, x Î R) 的最小正周 期為 π 且圖象關(guān)于 x = p 對(duì)稱； 6 (1) 求 f(x)的解析式； (2) 若函數(shù) y＝1－f(x)的圖象與直線 y＝a 在 [0, p ] 上中有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的范圍． 2 例4 設(shè)關(guān)于 x 的方程 cos2x＋ 3 sin2x＝k＋1 在[0， p ]內(nèi)有兩不同根 α，β，求 α 2 ＋β 的值及 k 的取值范圍． [當(dāng)堂檢測(cè)] ⒈把函數(shù) y = 3 cos x - sin x 的圖象向右平移 m 個(gè)單位，所得圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 m 的 最小值是________________________ ⒉把函數(shù) y = cos x 的圖象上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的 兩倍，然后把圖象向左平移 p 個(gè)單位，則所得圖形表示的函數(shù)的解析式為___________ 4 3 函數(shù) y = sin(2 x + 5 p ) 的圖象的一條對(duì)稱軸為___________________ 2 4. 把函數(shù) y = 2 (cos 3x - sin 3x) 的圖象適當(dāng)變換就可以得到 y = sin(-3x) 的圖象，這種 2 變換可以是______________________ [學(xué)后反思]____________________________________________________ _______ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________