博途教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義(一）學(xué)員姓名: 年 級(jí)：九年級(jí) 日期：輔導(dǎo)科目：數(shù) 學(xué) 學(xué)科教師：劉云豐 時(shí)間：課 題九上 第四講：二次函數(shù)及其圖像授課日期 教學(xué)目標(biāo)1、理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式；2、會(huì)建立簡(jiǎn)單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定自變量的取值范圍；3、會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式。教學(xué)內(nèi)容二次函數(shù)及其圖像教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解二次函數(shù)yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，且a0）的概念。教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要學(xué)生有較強(qiáng)的抽象概括能力。教學(xué)過(guò)程來(lái)源:Zxxk.Com一、二次函數(shù)的概念請(qǐng)用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列問(wèn)題情境中的兩個(gè)變量 y 與 x 之間的關(guān)系。(1)圓的面積 y ( cm2 )與圓的半徑 x ( cm );(2)王先生存人銀行2萬(wàn)元,先存一個(gè)一年定期，一年后銀行將本息自動(dòng)轉(zhuǎn)存為又一個(gè)一年定期,設(shè)一年定期的年存款利率為 x ，兩年后王先生共得本息y元;(3)擬建中的一個(gè)溫室的平面圖如圖,如果溫室外圍是一個(gè)矩形，周長(zhǎng)為12Om , 室內(nèi)通道的尺寸如圖,設(shè)一條邊長(zhǎng)為 x (m), 種植面積為 y (m2)。上述三個(gè)問(wèn)題中的函數(shù)解析式具有哪些共同的特征?其實(shí)，不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)化簡(jiǎn)后它們都具有y=ax2+bx+c (a,b,c是常數(shù),a0)的形式。我們把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù)，a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)(quadratic funcion) ,稱：a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。）例如，1、二次函數(shù) y=-x2+58x-112 的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為58，常數(shù)項(xiàng)112。2、二次函數(shù)y=x2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)0，常數(shù)項(xiàng)0。做一做:1.下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?y=x2； y=-； y=2x2-x-1； y=x(1-x)； y=(x-1)2-(x+1)(x-1)；2、分別說(shuō)出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)？y=x2+1 y=-3x2+7x-12 y=2x(1-x)注意:當(dāng)二次函數(shù)表示某個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí),還必須根據(jù)題意確定自變量的取值范圍. 想一想:函數(shù)的自變量x是否可以取任何值呢? 二、典型例題例1 ：如圖，一張正方形紙板的邊長(zhǎng)為2cm，將它剪去4個(gè)全等的直角三角形 (圖中陰影部分 )設(shè)AE=BF=CG=DH=x(cm)，四邊形EFGH的面積為y(cm2)，求 : y關(guān)于 x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍 ;當(dāng) x分別為0.25，0.5，1，1.5，1.75時(shí) ，對(duì)應(yīng)的四邊形 EFGH的 面積，并列表表示.變式訓(xùn)練：1、用20米的籬笆圍一個(gè)矩形的花圃（如圖），設(shè)連墻的一邊為x,矩形的面積為y,求：(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)x=3時(shí),矩形的面積為多少?例：已知二次函數(shù)y=x²+px+q,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)值為4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)值為-5, 用待定系數(shù)法求這個(gè)二次函數(shù)的解析式？變式訓(xùn)練:1、已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3, 當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)值為3, 當(dāng)x= - 2時(shí), 函數(shù)值為2, 求這個(gè)二次函數(shù)的解析試.三、二次函數(shù)的圖像（一）回顧知識(shí) 前面我們?cè)趯W(xué)習(xí)正比例函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)時(shí)是如何進(jìn)一步研究這些函數(shù)的？ 先用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖像，再結(jié)合圖像研究性質(zhì)。 我們仿照前面研究函數(shù)的方法來(lái)研究二次函數(shù)，先從最特殊的形式即入手?，F(xiàn)在我們來(lái)討論二次函數(shù)（）的圖像。（二）探索圖像1、 用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) 和圖像（1） 列表x-2-101241014-4-1-0-1-4仔細(xì)觀察上表，思考一下問(wèn)題：無(wú)論x取何值，對(duì)于來(lái)說(shuō)，y的值有什么特征？對(duì)于來(lái)說(shuō)，又有什么特征？ 當(dāng)x取等互為相反數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的值有什么特征？ （2） 描點(diǎn)（邊描點(diǎn)，邊總結(jié)點(diǎn)的位置特征，與上表中觀察的結(jié)果聯(lián)系起來(lái)）.（3） 連線，用平滑曲線按照x由小到大的順序連接起來(lái)，從而分別得到和的圖像。2、 練習(xí)：在同一直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù) 和的圖像。3、二次函數(shù)（）的圖像由上面的四個(gè)函數(shù)圖像概括出：（1） 二次函數(shù)的圖像形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過(guò)的路線，所以我們把它叫做拋物線，（2） 這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，y軸就是拋物線的對(duì)稱軸。（3） 對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。注意：頂點(diǎn)不是與y軸的交點(diǎn)。（4） 當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn)，圖像在x軸的上方(除頂點(diǎn)外)；當(dāng)時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線上的最高點(diǎn)圖像在x軸的下方(除頂點(diǎn)外)。（三）課堂練習(xí)觀察二次函數(shù)和的圖像(1) 填空：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸位 置開口方向(2)在同一坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線和拋物線的位置有什么關(guān)系？如果在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫二次函數(shù)和的圖像怎樣畫更簡(jiǎn)便？ （四）例題講解1、已知二次函數(shù)（）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，-3）。（1） 求a 的值，并寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式。（2） 說(shuō)出這個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、開口方向和圖像的位置。變式訓(xùn)練：1、已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，-8）。 （1）求此拋物線的函數(shù)解析式； （2）判斷點(diǎn)B（-1，- 4）是否在此拋物線上。 （3）求出此拋物線上縱坐標(biāo)為-6的點(diǎn)的坐標(biāo)。四、本課小結(jié) 回顧一下，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容了，你掌握了多少呢？想一想:函數(shù)y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù))，當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)：它是二次函數(shù)？它是一次函數(shù)？它是正比例函數(shù)？注意：自變量的取值范圍必須使其所在的代數(shù)式有意義； 如果是實(shí)際問(wèn)題，那么自變量的取值必須使實(shí)際問(wèn)題有意義。五、 課后練習(xí)練習(xí)一：二次函數(shù)1、 一個(gè)小球由靜止開始在一個(gè)斜坡上向下滾動(dòng)，通過(guò)儀器觀察得到小球滾動(dòng)的距離s（米）與時(shí)間t（秒）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間t（秒）1234距離s（米）281832寫出用t表示s的函數(shù)關(guān)系式.2、 下列函數(shù)： ； ； ； ； ，其中是二次函數(shù)的是 ，其中 ， ， 。3、 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)（為常數(shù)）是關(guān)于的二次函數(shù)。4、 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)。 5、正方形鐵片邊長(zhǎng)為15cm，在四個(gè)角上各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子(1)求盒子的表面積S（cm2）與小正方形邊長(zhǎng)x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)為3cm時(shí)，求盒子的表面積6、如圖，矩形的長(zhǎng)是 4cm，寬是 3cm，如果將長(zhǎng)和寬都增加 x cm，那么面積增加 ycm2， 求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式. 求當(dāng)邊長(zhǎng)增加多少時(shí)，面積增加 8cm2.7、已知二次函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)，y= -1；當(dāng)x=2時(shí)，y=2，求該函數(shù)解析式.8、富根老伯想利用一邊長(zhǎng)為a米的舊墻及可以圍成24米長(zhǎng)的舊木料，建造豬舍三間，如圖，它們的平面圖是一排大小相等的長(zhǎng)方形.（1） 如果設(shè)豬舍的寬AB為x米，則豬舍的總面積S（米2）與x有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2） 請(qǐng)你幫富根老伯計(jì)算一下，如果豬舍的總面積為32米2，應(yīng)該如何安排豬舍的長(zhǎng)BC和寬AB的長(zhǎng)度？舊墻的長(zhǎng)度是否會(huì)對(duì)豬舍的長(zhǎng)度有影響？怎樣影響？練習(xí)二：二次函數(shù)的圖像1、 填空：（1）拋物線的對(duì)稱軸是 （或 ），頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x= 時(shí)，該函數(shù)有最 值是 ；（2）拋物線的對(duì)稱軸是 （或 ），頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x= 時(shí)，該函數(shù)有最 值是 ；2、 對(duì)于函數(shù)下列說(shuō)法：當(dāng)x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，y的值總是正的；x的值增大，y的值也增大；y隨x的增大而減小；圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.其中正確的是 .3、拋物線 yx2 不具有的性質(zhì)是（）A、開口向下B、對(duì)稱軸是 y 軸 C、與 y 軸不相交 D、最高點(diǎn)是原點(diǎn)4、蘋果熟了，從樹上落下所經(jīng)過(guò)的路程 s 與下落時(shí)間 t 滿足 Sgt2（g9.8），則 s 與 t 的函數(shù)圖像大致是（）stOstOstOstOABCD5、 函數(shù)與的圖象可能是（ ）A B C D6、 已知函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，求的值.7、 二次函數(shù)在其圖象對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，求m的值.8、 二次函數(shù)，當(dāng)x1x20時(shí)，求y1與y2的大小關(guān)系.9、已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：（1） 滿足條件的m的值；（2） m為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)？求出這個(gè)最低點(diǎn)，這時(shí)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大；（3） m為何值時(shí)，拋物線有最大值？最大值是多少？當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而減??？- 10 -