第3章勾股定理一、選擇題(每小題4分,共24分)1.在ABC中,C=90°,AB=2,則AC2+BC2+AB2的值是()A.2B.4C.6D.82.如果一個三角形的三邊長分別為6,8,10,那么最長邊上的高為()A.2.4B.4.8C.6D.83.下列四組數(shù)中,是勾股數(shù)的是()A.0.3,0.4,0.5B.32,42,52C.3,4,5D.13,14,154.如圖1,在ABC中,D為AB的中點,E在AC上,且BEAC,若DE=5,AE=8,則BE的長度是()圖1A.6.5B.6C.5.5D.55.如圖2,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,M為BC的中點,MNAC于點N,則MN等于()圖2A.1.5B.2.4C.2.5D.3.56.如圖3,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形,若小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為5,則一個直角三角形的周長是()圖3A.6B.7C.12D.15二、填空題(每小題4分,共24分)7.如圖4,在ABC中,ACB=90°,以它的三邊為邊分別向外作正方形,面積分別為S1,S2,S3,已知S1=6,S2=8,則S3=. 圖48.如果ABC的三邊長分別為a,b,c,且滿足關系式(a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0,那么ABC是三角形. 9.將一根長12厘米的筷子置于底面圓半徑為3厘米,高為8厘米的圓柱形杯子中,則筷子露在杯子外面的長度至少為厘米. 10.如圖5,將兩個大小、形狀完全相同的ABC和A'B'C'拼在一起,其中點A'與點A重合,點C'落在邊AB上,連接B'C.若ACB=AC'B'=90°,AC=BC=3,則B'C2的值為. 圖511.在ABC中,AB=25,AC=26,BC邊上的高AD=24,則ABC的周長為. 12.如圖6,ABC中,ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,動點P在邊AB上運動(不與端點重合),點P關于直線AC,BC對稱的點分別為P1,P2,則在點P的運動過程中,線段P1P2的長的最小值是. 圖6三、解答題(共52分)13.(8分)如圖7,在四邊形ABCD中,C=90°,BD平分ABC,AD=3,E為AB上一點,AE=4,ED=5,求CD的長.圖714.(8分)如圖8,在ABC中,AC=21,BC=13,D是AC邊上一點,BD=12,AD=16.(1)求證:BDAC;(2)若E是AB邊上的動點,連接DE,求線段DE的最小值.圖815.(8分)如圖9所示,將長方形ABCD沿對角線BD折疊,使點C落在點C'處,BC'交AD于點E,AD=16,AB=8,求DE的長.圖916.(8分)高速公路的同一側(cè)有A,B兩城鎮(zhèn),如圖10所示,它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA'=2 km,BB'=4 km,且A'B'=8 km,要在高速公路上A',B'之間建一個出口P,使A,B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最短,求這個最短距離.圖1017.(10分)若以3,4,5為邊長的三角形是直角三角形,則稱3,4,5為勾股數(shù)組,記為(3,4,5),類似地,還可得到下列勾股數(shù)組:(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.(1)根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律,寫出第六組勾股數(shù)組;(2)用含n(n2,且n為整數(shù))的數(shù)學等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律,并證明.18.(10分)如圖11,在RtABC中,B=90°,AB=7 cm,AC=25 cm.點P從點A出發(fā)沿射線AB方向以1 cm/s的速度運動至點B,點Q從點B出發(fā)沿射線BC方向以6 cm/s的速度運動至點C,P,Q兩點同時出發(fā).(1)求BC的長;(2)當點P,Q運動2 s時,求P,Q兩點之間的距離;(3)當P,Q兩點運動幾秒時,AP=CQ?圖11答案1.D解析 C=90°,AB=2,AC2+BC2=AB2=4.AC2+BC2+AB2=4+4=8.故選D.2.B解析 因為62+82=102,由勾股定理的逆定理可以判斷此三角形是直角三角形,利用直角三角形面積的兩種表達形式可得ab=ch(其中a,b為直角邊長,c為斜邊長,h為斜邊上的高).3.C解析 0.32+0.42=0.52,能構(gòu)成直角三角形,但不是整數(shù),所以不是勾股數(shù),故A選項不符合題意;(32)2+(42)2(52)2,不是勾股數(shù),故B選項不符合題意;32+42=52,是勾股數(shù),故C選項符合題意;142+152132,不是勾股數(shù),故本選項不符合題意.故選C.4.B解析 BEAC,BEA=90°.DE=5,D為AB的中點,AB=2DE=10.AE=8,由勾股定理,得BE2=AB2-AE2=36,即BE=6.故選B.5.B解析 連接AM,如圖所示.AB=AC,M為BC的中點,AMCM,BM=CM.BC=6,BM=CM=3.在RtABM中,AB=5,BM=3,根據(jù)勾股定理,得AM2=AB2-BM2=52-32=16,即AM=4.又SAMC=12MN·AC=12AM·CM,MN=AM·CMAC=125=2.4.故選B.6.C解析 設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b(a>b).由題意可知中間小正方形的邊長為a-b=1,根據(jù)大正方形的面積等于4個直角三角形的面積加上小正方形的面積可知,25=4×12ab+1,所以2ab=24.根據(jù)勾股定理,得a2+b2=52,所以(a+b)2=a2+b2+2ab=25+24=49.因為a+b>0,所以a+b=7,7+5=12,所以一個直角三角形的周長是12.故選C.7.14解析 ACB=90°,S1=6,S2=8,AC2=6,BC2=8.AB2=AC2+BC2=6+8=14.S3=14.故答案為14.8.直角解析 (a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0,a+2b-60=0,b-18=0,c-30=0.a=24,b=18,c=30.242+182=302,ABC是直角三角形.故答案為直角.9. 2解析 如圖所示,筷子在杯子內(nèi)的部分、杯子的高、杯子的底面圓直徑正好構(gòu)成直角三角形.62+82=100=102,筷子在圓柱形杯子內(nèi)的最大長度為10 cm.筷子露在杯子外面的長度至少為12-10=2(cm).故答案為2.10.27解析 ACB=AC'B'=90°,AC=BC=3,AB2=18,CAB=45°.ABC和A'B'C'大小、形狀完全相同,C'AB'=CAB=45°,AB'2=AB2=18.CAB'=90°.B'C2=AC2+AB'2=9+18=27.11.68或54解析 (1)如圖,若B是銳角,此時高AD在三角形的內(nèi)部.在RtABD中,BD2=AB2-AD2=49,即BD=7.在RtACD中,CD2=AC2-AD2=100,CD=10,BC=7+10=17,此時ABC的周長=AB+AC+BC=68;(2)如圖,B是鈍角,在RtABD中,BD=7,在RtACD中,CD=10,BC=10-7=3,此時ABC的周長=AB+AC+BC=54.綜上,ABC的周長為68或54.12.9.6解析 如圖,連接CP.由題意,可得點P1,C,P2在同一直線上.點P關于直線AC,BC對稱的點分別為P1,P2,P1C=PC=P2C,線段P1P2的長等于2CP.當CPAB時,CP的長最小,此時線段P1P2的長最小.ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,CP=AC·BCAB=4.8,線段P1P2的長的最小值是9.6.13.解:AD=3,AE=4,ED=5,AD2+AE2=ED2.A=90°.ADAB.C=90°,CDBC.BD平分ABC,CD=AD.AD=3,CD=3.14.解:(1)證明:AC=21,AD=16,CD=AC-AD=5.BD2+CD2=122+52=169=BC2,BDC=90°,BDAC.(2)當DEAB時,DE最短.在RtABD中,AB2=AD2+BD2,AB=20.12AD·DB=12AB·DE,DE=16×1220=9.6,線段DE的最小值為9.6.15.解析 先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出CD=C'D,C=C'=90°,再設DE=x,則AE=16-x,由全等三角形的判定定理得出RtABERtC'DE,可得出BE=DE=x,在RtABE中利用勾股定理即可求出x的值,進而得出DE的長.解:在長方形ABCD中,CD=AB=8.由折疊的性質(zhì),得CD=C'D=8,C=C'=90°.設DE=x,則AE=16-x.在ABE和C'DE中,AEB=C'ED,A=C'=90°,AB=C'D,ABEC'DE.BE=DE=x.在RtABE中,由勾股定理,得AB2+AE2=BE2,即82+(16-x)2=x2,解得x=10,即DE=10.16.解:如圖所示,作點A關于直線MN的對稱點C,連接CB交直線MN于點P,則點P即為出口的位置,此時A,B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最短,最短距離為AC的長.過點B作BDCA交CA的延長線于點D.AA'=2 km,BB'=4 km,A'B'=8 km,A'C=AA'=2 km,A'D=BB'=4 km,則CD=6 km.在RtCDB中,CB2=62+82=100,CB=10(km).故這個最短距離為10 km.17.解:(1)第六組勾股數(shù)為(48,14,50).(2)勾股數(shù)組為(n2-1,2n,n2+1)(n2,且n為整數(shù)).證明如下:(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1,(n2+1)2=n4+2n2+1,(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,n2-1,2n,n2+1是勾股數(shù)組(n2,且n為整數(shù)).18.解:(1)在RtABC中,B=90°,AB=7 cm,AC=25 cm,BC2=AC2-AB2=252-72=242.BC=24(cm).(2)連接PQ.由題意知BP=7-1×2=5(cm),BQ=6×2=12(cm).在RtBPQ中,由勾股定理,得PQ2=BP2+BQ2=52+122=132,PQ=13(cm).(3)設P,Q兩點運動t s時,AP=CQ,則t=24-6t,解得t=247.答:當P,Q兩點運動247 s時,AP=CQ.