1.3探索全等三角形的條件習(xí)題2一、解答題1如圖，已知點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，DCEAB，CDCE（1）說(shuō)明ACD與BEC全等的理由；（2）說(shuō)明ABAD+BE的理由2如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，BCE=ACD=90°，BAC=D，BC=CE（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求DEC的度數(shù)3綜合與實(shí)踐閱讀以下材料：定義：兩邊分別相等且?jiàn)A角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做“互補(bǔ)三角形”用符號(hào)語(yǔ)言表示為：如圖，在ABC與DEF中，如果AC=DE，C+E=180°，BC=EF，那么ABC與DEF是互補(bǔ)三角形反之，“如果ABC與DEF是互補(bǔ)三角形，那么有AC=DE，C+E=180°，BC=EF”也是成立的自主探究利用上面所學(xué)知識(shí)以及全等三角形的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題：（1）性質(zhì)：互補(bǔ)三角形的面積相等如圖，已知ABC與DEF是互補(bǔ)三角形求證：ABC與DEF的面積相等證明：分別作ABC與DEF的邊BC，EF上的高線(xiàn)，則AGC=DHE=90° (將剩余證明過(guò)程補(bǔ)充完整) （2）互補(bǔ)三角形一定不全等，請(qǐng)你判斷該說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由，如果不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例，畫(huà)出示意圖4.已知：BECD于E，BE=DE，BC=DA，（1）求證：BECDEA；（2）求證：BCFD5.如圖，點(diǎn)在直線(xiàn)的同側(cè)，過(guò)作，垂足為，延長(zhǎng)至，使得，連接交直線(xiàn)于點(diǎn)（1）求證：（2）在直線(xiàn)上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)外），求證：6.如圖，在ABC中，ABCB，ABC90°，D為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且BEBD，連接AE、DE、DC若CAE30°，求BDC的度數(shù).7.如圖，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線(xiàn)所圍成的圖形的面積多少.8. 如圖，已知ABCDBE，點(diǎn)D在AC上，BC與DE交于點(diǎn)P，若AD=DC=2.4，BC=4.1（1）若ABE=162°，DBC=30°，求CBE的度數(shù)；（2）求DCP與BPE的周長(zhǎng)和9.如圖，已知B=ACD，ACB=D=90°，AC是ABC和ACD的公共邊，所以就可以判定ABCACD，你認(rèn)為這種說(shuō)法正確嗎?如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由10.如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，證明：11.如圖，ABC中，ACB90°，AC6cm，BC8cm，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相交動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿ACB路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BCA路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開(kāi)始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束在某時(shí)刻分別過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q作PEl于點(diǎn)E，QFl于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)t_秒時(shí)，PEC與QFC全等12.如圖，AB6cm，ACBD4cmCABDBA，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，若使得ACP與BPQ全等，則x的值為_(kāi)13.如圖 1，點(diǎn) P、Q 分別是等邊ABC 邊 AB、BC 上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn) P 從頂點(diǎn) A、點(diǎn) Q 從頂點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP 交于點(diǎn) M（1）求證：ABQCAP；（2）當(dāng)點(diǎn) P、Q 分別在 AB、BC 邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QMC 變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)（3）如圖 2，若點(diǎn) P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線(xiàn)AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn) AQ、CP交點(diǎn)為M，則QMC 變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，則求出它的度數(shù)14.如圖（1），在ABC中，BC=9cm, AC=12cm, AB=15cm.現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊ACCBBA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s（1）如圖（1），當(dāng)t=_時(shí)，APC的面積等于ABC面積的一半；（2）如圖（2），在DEF中，DE=4cm, DF=5cm, 在ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著ABBCCA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度15.如圖所示，ABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā),沿路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P 和Q分別和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過(guò)點(diǎn)P和Q作PEl于E，QFl于F.則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，PEC和CFQ全等？請(qǐng)說(shuō)明理由. 16.把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，以D為頂點(diǎn)作，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N（1）如圖（1），若，當(dāng)繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM，MN，BN三條線(xiàn)段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），當(dāng)時(shí)，AM，MN，BN三條線(xiàn)段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖（3），在（2）的條件下，若將M，N分別改在CA，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，完成圖（3），其余條件不變，則AM，MN，BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）17.（1）如圖1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC邊上的中線(xiàn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是 ；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DEDF，求證：BE+CFEF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，A為鈍角，C為銳角，B+ADC=180°，DA=DC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且EDF=ADC，連接EF，試探索線(xiàn)段AF，EF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明18.現(xiàn)給出一個(gè)結(jié)論：直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半；該結(jié)論是正確的，用圖形語(yǔ)言可以表示為：如圖1在中，,若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則請(qǐng)結(jié)合上述結(jié)論解決如下問(wèn)題：已知，點(diǎn)P是射線(xiàn)BA上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合）分別過(guò)點(diǎn)A,B向直線(xiàn)CP作垂線(xiàn)，垂足分別為E,F,其中Q為AB的中點(diǎn)（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系_；QE與QF的數(shù)量關(guān)系是_（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形并寫(xiě)出主要證明思路答案一、解答題1（1）DCEA，D+ACDACD+BCE，DBCE，在ACD和BEC中，ACDBEC（AAS）；（2）ACDBEC，ADBC，ACBE，AC+BCAD+BE，即ABAD+BE2證明： 在ABC和DEC中， （2）ACD90°，ACCD，1D45°，AEAC，3567.5°，DEC180°5112.5°3（1）ABC與DEF是互補(bǔ)三角形，ACB+E=180°，AC=DE，BC=EF又ACB+ACG=180°，ACG=E，在AGC與DHE中，AGCDHE（AAS）AG=DH，即ABC與DEF的面積相等（2）不正確反例如解圖，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS），ABC與DEF是互補(bǔ)三角形互補(bǔ)三角形一定不全等的說(shuō)法錯(cuò)誤4.證明：（1）BECD，BECDEA90°，在RtBEC與RtDEA中，BECDEA（HL）；（2）由（1）知，BECDEA，BDD+DAE90°，DAEBAF，BAF+B90°，即DFBC5.（1），在和中（2）在上取一點(diǎn)，連接，在中，6.解：延長(zhǎng)AE交DC邊于點(diǎn)F，如圖：ABC90°，CBD90°，在RtABE與RtCBD中，RtABERtCBD（HL），AEBBDC，ABBC，BACACB45°，AEB為AEC的外角，CAE30°，AEBACB+CAE45°+30°75°，BDC75°故答案為：75°7.AEAB，EFAF，BGAG，F(xiàn)=AGB=EAB=90°，F(xiàn)EA+EAF=90°，EAF+BAG=90°，F(xiàn)EA=BAG，在FEA和GAB中，F(xiàn)EAGAB(AAS)，AG=EF=6，AF=BG=2，同理可證：CBGDCH(AAS)，CG=DH=4，BG=CH=2，F(xiàn)H=2+6+4+2=14，梯形EFHD的面積=×(EF+DH)×FH=×(6+4)×14=70，陰影部分的面積=S梯形EFHDSEFASABCSDHC=70×6×2×(6+4)×2×4×2=50.故答案為50.8.解：（1）ABE=162°，DBC=30°，ABD+CBE=132°，ABCDBE，ABC=DBE，ABD=CBE=132°÷2=66°，即CBE的度數(shù)為66°；（2）ABCDBE，DE=AD+DC=4.8，BE=BC=4.1，DCP和BPE的周長(zhǎng)和=DC+DP+CP+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=15.49.解：不正確，因?yàn)锳C不是ABC和ACD的對(duì)應(yīng)邊，故不能判定ABCACD10.證明：如圖，在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使得，連接，在中，在和中，是等腰直角三角形，11.解：由題意得，AP2t，BQ3t，AC6cm，BC8cm，CP62t，CQ83t，如圖1，當(dāng)PECCFQ時(shí)，則PCCQ，即62t83t，解得：t2，如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q與P重合時(shí)，PECQFC全等， 則PCCQ，62t3t8解得：t，如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時(shí)，PECCFQ， 則PC=CQ，即2t-6=6，解得：t=6，綜上所述：當(dāng)t2秒或秒或6秒時(shí)，PEC與QFC全等，故答案為：2或或612.當(dāng)ACPBPQ，APBQ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，P，Q的運(yùn)動(dòng)速度也相同，x2當(dāng)ACPBQP時(shí)，ACBQ4，PAPB，t1.5，x故答案為2或13.（1）證明：ABC是等邊三角形ABQCAP，ABCA，又點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，APBQ，在ABQ與CAP中，ABQCAP（SAS）；（2）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，QMC不變理由：ABQCAP，BAQACP，QMCACPMAC，QMCBAQMACBAC60°（3）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線(xiàn)AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QMC不變 理由：ABQCAP，BAQACP，QMCBAQAPM，QMCACPAPM180°PAC180°60°120°14.（1） APC的面積等于ABC面積的一半當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC邊上時(shí)，此時(shí)即 此時(shí) 當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB邊上時(shí)，作PQAC于Q此時(shí)即 此時(shí)P點(diǎn)在AB邊的中點(diǎn)，此時(shí) 綜上所述，當(dāng)t=或時(shí)，APC的面積等于ABC面積的一半（2），DE=4cm, DF=5cm, 此時(shí)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 P,Q同時(shí)出發(fā)，所以Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也是Q運(yùn)動(dòng)的速度為15.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，和全等，和全等，有三種情況：如圖1所示，在上，在上，.（2）如圖2所示，,都在上，此時(shí),重合，.（3）如圖3所示，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)(和點(diǎn)重合)，在上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，.，符合題意. 答：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)1秒或3.5秒或12秒時(shí)，和全等. 16.（1）證明如下：如圖，延長(zhǎng)CB到E，使，連接DE，在和中，在和中，；（2）證明如下：如圖，延長(zhǎng)CB到E，使，連接DE，在和中，在和中，；（3）補(bǔ)充完成題圖，如圖所示證明如下：如上圖，在CB上截取BE=AM，連接DE，在和中，在和中，17.（1）CD=BD，AD=DE，CDE=ADB，CDEBDA（SAS），EC=AB=4，64AE6+4，22AD10，1AD5，故答案為：1AD5；（2）如圖2中，延長(zhǎng)ED到H，使得DH=DE，連接DH，F(xiàn)HBD=DC，BDE=CDH，DE=DH，BDECDH（SAS），BE=CH，F(xiàn)DEH，又DE=DH，EF=FH，在CFH中，CH+CFFH，CH=BE，F(xiàn)H=EF，BE+CFEF；（3）結(jié)論：AF+EC=EF理由：延長(zhǎng)BC到H，使得CH=AFB+ADC=180°，A+BCD=180°，DCH+BCD=180°，A=DCH，AF=CH，AD=CD，AFDCHD（SAS），DF=DH，ADF=CDH，ADC=FDH，EDF=ADC，EDF=FDH，EDF=EDH，DE=DE，EDFEDH（SAS），EF=EH，EH=EC+CH=EC+AF，EF=AF+EC18.（1）AE/BF；QE=QF （2）QE=QF 證明：延長(zhǎng)EQ交BF于D，, （3）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)（2）中結(jié)論成立證明：延長(zhǎng)EQ交FB的延長(zhǎng)于D 因?yàn)锳E/BF所以 EQ=QF