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1、能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶),第6課時 二倍角的三角函數(shù),【命題預(yù)測】 1倍角公式的主要考查方式有：利用倍角公式、半角公式、和差化積公 式，一是進(jìn)行化簡與求值，二是證明三角恒等式，三是三角問題的綜合運(yùn)用 2本節(jié)試題多以填空題的形式出現(xiàn)，因此，應(yīng)注意在復(fù)習(xí)中重視填空題的 一些常用解題方法,1在應(yīng)用倍角公式解題的過程中，對公式中的“角”應(yīng)該有廣義的理解， 如：將4作為2的2倍，將 作為 的2倍等； 2在應(yīng)用兩角和差公式解題過程中，既要熟練運(yùn)用公式，也要善于逆用、 變用公式，

2、例如： 降冪公式： 升冪公式：1cos 22sin2，1cos 22cos2.,【應(yīng)試對策】,【知識拓展】,倍角公式 sin 2 (S2) cos 2 (C2) tan 2 (T2),2sincos,cos2sin2,2cos21,12sin2,(2010南京市第九中學(xué)高三調(diào)研測試)已知cos x ， 則sin 2x的值為________ 解析： 答案：,1,設(shè)f(tan x)tan 2x，則f(2)等于________ 解析：f(tan x)tan 2x，求f(2)，即令tan x2， 答案：,2,函數(shù)f(x)cos x c

3、os 2x(xR)的最大值等于________ 解析：原式f(x)cos x (2cos2x1)cos xcos2x xR，1cos x1.cos x 時，f(x)max . 答案：,3,函數(shù)y2cos2x1(xR)的最小正周期為________ 解析：y2cos2x1cos 2x2，T . 答案：,4,已知<<2，則cos 等于________(用cos )表示 解析：<<2， . 又cos 2cos2 1， 答案：,5,1三角函數(shù)式的化簡 (1)化簡的要求：能求出值的應(yīng)求出值；盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少； 盡量使項數(shù)最少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被

4、開方數(shù)不 含三角函數(shù) (2)化簡的方法：弦切互化，異名化同名，異角化同角；降冪或升冪等 2已知三角函數(shù)式的值，求其他三角函數(shù)式的值，一般思路為：(1)先化簡所求式子；(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)；(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值,【例1】 化簡下列各式： 思路點(diǎn)撥：(1)若注意到化簡式是開平方根和2是的二倍，是 的二倍，則不難找到解題的突破口；(2)注意到分子是一個平方差，分母中的角 ，則不難得到解題的切入點(diǎn),解：(1) <<2， |cos |cos . 又 ， ，原式sin . (2)原式

5、 1.,化簡： (0<<),變式1：,解： ,求值：(1)sin 6sin 42sin 66sin 78；(2)(tan 10 )sin 40.,變式2：,解：(1)原式sin 6cos 48cos 24cos 12 ,(2)原式( )sin 40 1.,1證明三角恒等式的方法 觀察等式兩邊的差異(角、函數(shù)、運(yùn)算的差異)，從解決某一差異入手(同時 消除其他差異)，確定從該等式的哪邊證明(也可兩邊同時化簡)，當(dāng)從解決 差異方面不易入手時，可采用轉(zhuǎn)換命題法或用分析法等 2證明三角條件等式的方法 首先觀察條件與結(jié)論的差異，從解決這一差異入手，確定從結(jié)論開始

6、， 通過變換，將已知表達(dá)式代入得出結(jié)論，或通過變換已知條件得出結(jié) 論，如果這兩種方法都證不出來，可采用分析法；如果已知條件含參 數(shù)，可采用消去參數(shù)法；如果已知條件是連比的式子，可采用換元法等,【例2】(浙江杭州調(diào)研)求證以下條件恒等式： (1)已知：2sin sin cos ，sin22sin cos ， 求證：2cos 2cos2； (2)已知：5sin 3sin(2)，求證：tan()4tan 0. 思路點(diǎn)撥：(1)從條件式中消去的正弦、余弦，然后推演， (2)把條件中的角進(jìn)行拆拼，使出現(xiàn)及，然后推演,證明：(1)由已知可得4sin212sin cos 1sin2， 1sin224sin2

7、2(12sin2) 由此得cos22cos 2，故所證明等式成立 (2)把5sin 3sin(2)化成5sin()3sin()， 得5sin()cos 5cos()sin 3sin()cos 3cos()sin . 移項合并得2sin()cos 8cos()sin 0. 依題意k 且k ，kZ. 上式兩邊都除以2cos cos()，即得tan()4tan 0.,變式3： 求證： sin cos . 證明：證法一：左端 sin cos 右端，則原恒等式成立 證法二：設(shè)sin cos t， 則左端 t右端 則原恒等式成立,三角恒等變換是高考的重點(diǎn)，要求能正確運(yùn)用三角

8、公式進(jìn)行簡單的化簡、求值、證明在高考中，常以填空題、解答題的形式出現(xiàn)，難度以中低檔題為主，有時也以此為載體，與向量、不等式等相聯(lián)系，出綜合題，主要考查學(xué)生對三角知識的掌握程度和靈活應(yīng)變能力,【例3】化簡sin2sin2cos2cos2 cos 2cos 2. 思路點(diǎn)撥：三角函數(shù)式化簡的目標(biāo)是：(1)次數(shù)盡可能低；(2)角盡可能 少；(3)三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一；(4)項數(shù)盡可能少觀察欲化簡的式子 發(fā)現(xiàn)：(1)有降次的可能；(2)涉及的角有，，2，2(需要把2化 為，2化為)；(3)函數(shù)名稱為正弦、余弦(可以利用平方關(guān)系進(jìn)行名 稱的統(tǒng)一)；(4)共有3項(需要減少項數(shù))，由于側(cè)重的角度不同，出發(fā)

9、點(diǎn)不 同，故本題的化簡方法不止一種,解：解法一：(從角入手) 原式sin2sin2cos2cos2 (2cos21)(2cos21) sin2sin2cos2cos2 (4cos2cos22cos22cos21) sin2sin2cos2cos2cos2cos2 sin2sin2cos2sin2cos2 sin2cos2 1 .,解法二：(從“名”入手，異名化同名) 原式sin2sin2(1sin2)cos2 cos 2cos 2 cos2sin2(cos2sin2) cos 2cos 2 cos2sin2cos 2 cos 2cos 2 cos2cos 2 ,解法三：(從“冪”入

10、手，利用降冪公式先降次) 原式 (1cos 2cos 2cos 2cos 2) (1cos 2cos 2cos 2cos 2) cos 2cos 2 cos 2cos 2 cos 2cos 2 .,解法四：(從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方) 原式(sin sin cos cos )22sin sin cos cos cos 2cos 2cos2() sin 2sin 2 cos 2cos 2 cos2() cos(22) cos2()2cos2()1 .,變式4： 已知0<< ，為f(x)cos 的最小正周期， a ，b(cos ，2)，且abm

11、， 求 的值,解：因為為f(x)cos 的最小正周期，故.因為abm， 又abcos tan 2， 故cos tan cos tan m2. 由于0<< ， 所以 2(2m).,【規(guī)律方法總結(jié)】,1公式的熟與準(zhǔn)，要依靠理解內(nèi)涵，明確聯(lián)系應(yīng)用練習(xí)嘗試，不可以機(jī)械記憶，因為精通的目的在于應(yīng)用 2要重視對于遇到的問題中角、函數(shù)名及其整體結(jié)構(gòu)的分析，提高公式選擇的恰當(dāng)性，有利于縮短運(yùn)算程序，提高學(xué)習(xí)效率 3角的變換體現(xiàn)出將未知轉(zhuǎn)化為已知的思想方法，這是解決三角中關(guān)于角的變換問題常用的數(shù)學(xué)方法之一 4三角恒等式的證明實(shí)際上就是三角函數(shù)式的化簡過程 5有條件的三角函數(shù)求

12、值有兩個關(guān)鍵：(1)三角函數(shù)各關(guān)系式及常用公式的熟練應(yīng) 用；(2)條件的合理應(yīng)用：注意條件的整體功能，注意角的合理配置，注意將條 件適當(dāng)簡化、整理或重新改造組合，使其與所計算的式子更加吻合， 方便使用,【例4】 (本小題滿分14分)已知2，求ycos 6sin 的最小值與最大值,【答卷實(shí)錄】,【錯因分析】,上述解法錯誤在于進(jìn)行變量替換時，忽視了新變量t的范圍,【正確答案】,解：由tsin 及正弦函數(shù)的性質(zhì)知t1,1，所以經(jīng)換元后， 原題變?yōu)榍髖2t26t1在區(qū)間1,1上的最值 函數(shù)y2t26t1的圖象的對稱軸為t 1,1， y的最值在閉區(qū)間端點(diǎn)處取得，當(dāng)t1時，ymax7， 當(dāng)t1時

13、，ymin5. 當(dāng)sin 1，函數(shù)取得最大值7，當(dāng)sin 1時， 函數(shù)取得最小值5.所以最小值為5，最大值為7.,1化簡 分析：應(yīng)注意和差角公式和倍角公式的正用與逆用 解：原式 1.,2已知tan()2tan ，求證：3sin sin(2) 分析：從函數(shù)名稱的差異上考慮可以將正切化為正弦，從角的差異上考慮可以將目標(biāo)角化為已知角表示，如()， 2()，由此化異為同，達(dá)到解題的目的,證明：由已知tan()2tan 可得 ， 即sin()cos 2cos()sin . 而sin(2)sin()sin()cos cos()sin 2cos()sin cos()sin 3cos()sin ， sin sin()sin()cos cos()sin 2cos()sin cos()sin cos()sin，故3sinsin(2),