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1、了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置/會推導空間兩點間 的距離公式 1對空間直角坐標系，主要考查空間點的坐標的寫法及兩點間距離的求 法，以填空題形式出現(xiàn) 2空間直角坐標系作為輔助工具，協(xié)助求解立體幾何中的若干問題,【命題預測】,第5課時 空間直角坐標系,1對于空間直角坐標系的坐標軸的記憶，可以聯(lián)系平面直角坐標系的特點進行類比記憶，包括一些公式，都可以采用類比記憶法對于坐標軸可以記憶為“橫為x，縱為y，z軸豎立直起來”也可以根據(jù)課本中介紹的右手直角坐標系的方法進行記憶 2對于空間的坐標運算可以結(jié)合平面坐標中的運算公式，有些公式可以直接把平面坐標的性質(zhì)擴展到空間內(nèi)

2、，但是要注意在平面坐標系中與坐標軸垂直的問題，在空間坐標系中通常需要與坐標平面垂直,【應試對策】,3在空間直角坐標系中，直線與平面之間的距離或者求坐標問題都可以使 用平面幾何與立體幾何的性質(zhì)加以研究同平面直角坐標系一樣，有很多 性質(zhì)在空間直角坐標系中也成立，例如，P1(x1，y1，z1)和P2(x2，y2，z2)的中 點坐標公式為 . 4在空間直角坐標系中，如果一點的坐標不是確定的，而是滿足某種條件，我們可以根據(jù)條件建立坐標之間的關系，即建立一個方程，方程和點的運動軌跡可以建立對應關系，這樣得到的方程就是空間曲線的方程,5空間兩點之間的距離公式，可以使用立體幾何的基礎知識進行推導

3、由于 空間直角坐標系的建立是由正方體引入的，所以，許多問題都可以結(jié)合長方體(或正方體)的性質(zhì)來解決有些含垂直條件比較多的幾何體可以采用補形的方法補成相應的長方體(或正方體)，這樣可以簡化很多運算，也可以使解決問題的方法更加靈活,在空間直角坐標系中平面的方程、直線的方程 在空間直角坐標系中，平面的方程為AxByCzD0(A、B、C不同時為0) 直線的方程為,【知識拓展】,1空間直角坐標系 (1)從空間某一個點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸、y軸、 z軸，這樣就建立了空間直角坐標系Oxyz，點O叫做 ，x軸、y 軸、z軸叫做 這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別

4、稱為 xOy平面， 平面， 平面,坐標原點,坐標軸,yOz,zOx,(2)右手直角坐標系 在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系 (3)點的坐標 對于空間任意一點A，作點A在三條坐標軸上的射影，即經(jīng)過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P，Q，R.點P，Q，R在相應數(shù)軸上的坐標依次為x，y，z，我們把有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點A的 ，記為A(x，y，z),坐標,(4)中點坐標公式：平面上中點坐標公式可推廣到空間，即設A(x1，y1，z1)， B(

5、x2，y2，z2)，則AB的中點為：P . 思考：空間中的點與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)有怎樣的對應關系？ 提示：一一對應的關系,2空間兩點間的距離公式 空間中的兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之間的距離： P1P2 特別地，空間任意一點P(x，y，z)與原點O間的距離：OP .,,,1點(1,0，9)關于原點的對稱點為________ 答案：(1,0,9) 2點(1，1,3)與點(2，4,6)之間的距離為________ 解析：所求距離為 . 答案：,3點(10,4，2)關于點(0,3，5)的

6、對稱點的坐標是________ 解析：設(x，y，z)為所求，則x100,4y6，2z10，所以x 10，y2，z8. 答案：(10,2，8),4已知點P在z軸上，且滿足|PO|1(O是坐標原點)，則點P到點A(1,1,1)的 距離是________ 解析：由題意P(0,0,1)或P(0,0，1)，所以|PA| . 答案：,5在ABC中，若A(1,2,3)，B(2，2,3)，C ，則AB邊上的中 線CD的長度為________ 解析：A(1,2,3)，B(2，2,3)，D . |CD| . 故AB邊上的中線長為 . 答案：,(1)確定空間定點M的坐

7、標的步驟：過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的 平面，依次交x軸、y軸和z軸于P、Q和R.確定P、Q和R在x軸、y軸和z軸上 的坐標x、y和z.得出點M的坐標為(x，y，z) (2)已知M點坐標為(x，y，z)確定點M位置的步驟：在x軸、y軸和z軸上依 次取坐標為x、y和z的點P、Q、R.過點P、Q、R分別作垂直于x軸、y軸和z 軸的平面，如果三個平面交于一點，那么這個點就是坐標為(x，y，z)對應 的點M.在建立空間直角坐標系求點的坐標時，要使盡可能多的點落在坐標軸上，盡可能多的線段平行于坐標軸，有直角的，把直角邊放在坐標軸上,【例1】 已知VABCD為正四棱錐，O為底面中心，AB2，VO3

8、，試建 立空間直角坐標系，并求出各頂點坐標 思路點撥：由于正四棱錐VABCD的頂點V在底面上的射影為底面的中心 O，且O為正方形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點，故以O為坐標原點， OB，OC，OV所在的直線為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,解：解法一：建立空間直角坐標系，如圖甲所示， 正方形ABCD的邊長AB2，AOOCOBOD . 又VO3，A(0， ，0)，B( ，0,0)，C(0， ，0)，D( ，0,0)， V(0,0,3) 解法二：以底面中心O為坐標原點，建立如圖乙所示的空間直角坐標系，則A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，

9、V(0,0,3),變式1：如右圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為2的正方 形，側(cè)棱PA底面ABCD，PA2，M、N分別為AD、BC的 中點，試建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出P、A、B、C、D、M、N的坐標 解：以A為坐標原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y 軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)、 B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、M(0,1,0)、N(2,1,0)、P(0,0,2),利用空間兩點之間的距離公式除了可以求距離之外，還可以根據(jù)距離公式 求點的坐標或點的坐標滿足的方程以及判斷三角形的形狀求三角形的面積 等,【例2】 (1)在z軸上求與兩

10、點A(4,1,7)和B(3,5，2)等距離的點；(2)證明： 以A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)為頂點的ABC是等腰三角形 思路點撥：(1)首先要明白z軸上點的坐標的特點， 再代入兩點之間的距離公 式即可(2)證明三角形是等腰三角形，只需證明其中有兩邊的長度相等， 也即只需證明其中兩點的距離相等,(1)解：z軸上的點橫坐標和縱坐標都為零，故設所求點為M(0,0，z)依題 意，有MAMB， 即 ， 兩邊平方，解得z ，因此，所求點為M . (2)證明：由兩點間的距離公式，得AB ， B

11、C ， CA ， 由于BCCA ，ABC是等腰三角形,變式2：(2010廣東模擬題)如右圖所示，以棱長為a的正方體 的三條棱所在的直線為坐標軸建立空間直角坐標系，點P在正 方體的對角線AB上，點Q在棱CD上 (1)當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，探究PQ 的最小值； (2)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究PQ 的最小值,解：(1)因為B(0,0，a)，A(a，a,0)，P為AB的中點，所以P .又因為Q在CD上運動，所以可設Q(0，a，z0)， 其中z00，a，因此PQ

12、 ， 可知，當z0 時，PQ取最小值 a.,(2)顯然，當P在AB上運動時，P到坐標平面xOz、yOz的距離相等，且P在第一卦限，所以可設P(t，t，at)，t0，a，又Q在CD上運動，所以可設Q(0，a，z0)，z00，a， 所以PQ ，當且僅當z0t 時，PQ取最小值 a.,1常見對稱點的坐標規(guī)律：在空間直角坐標系中，已知點P(x，y，z)，則點 P：(1)關于原點的對稱點是(x，y，z)(2)關于x軸的對稱點是 (x， y，z)(3)關于y軸的對稱點是(x，y，z)(4)關于z軸的對稱點是(x，y，z)(5)關于xOy坐標面的對稱點是(x

13、，y，z)(6)關于yOz坐標面 的對稱點是(x，y，z)(7)關于zOx坐標面的對稱點是(x，y，z),2中點坐標公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點P的坐 標為 . 3利用中點坐標公式也可求對稱點的坐標,【例3】 求點A(1,2，1)關于x軸及坐標平面xOy的對稱點B、C的坐標，以 及B、C兩點間的距離 思路點撥：通過點A向平面xOy及x軸作垂線 解：如右圖所示，過A作AMxOy交平面于M，并延長到C，使CMAM， 則A與C關于坐標平面xOy對稱且 C(1,2,1)過A作ANx軸于N，并延長到點B，,使NBAN，則A與B關于x軸對

14、稱且B(1，2,1) A(1,2，1)關于坐標平面xOy對稱的點C坐標為(1,2,1)； A(1,2，1)關于x軸對稱的點B坐標為(1，2,1) |BC| 4.,變式3：求點P(1,2,3)關于坐標平面、坐標軸及原點的對稱點的坐標 解：(1)關于xOy平面的對稱點坐標為(1,2，3)關于xOz平面的對稱點坐 標為(1，2,3) 關于yOz平面的對稱點坐標為(1,2,3) (2)關于x軸的對稱點坐標為(1，2，3) 關于y軸的對稱點坐標為(1,2，3)關于z軸的對稱點坐標為(1，2，3) (3)關于坐標原點的對稱點坐標為(1，2，3).,1建立空間直角坐標系后，可以把

15、空間抽象的推理求值轉(zhuǎn)化為具體的坐標 運算因此正確確定空間直角坐標系內(nèi)點的坐標，以及由點的坐標正確判 斷點的位置成為解題的關鍵 2在識圖和標圖時，一是要從直觀圖的角度來確定點的位置和坐標；二是 要習慣使用右手直角坐標系,【規(guī)律方法總結(jié)】,3特別情況，當z1z20時，點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)都在xOy平面 內(nèi)，空間兩點的距離公式就成了平面內(nèi)兩點的距離公式： P1P2 . 因此，平面內(nèi)兩點的距離公式是空間兩點的距離公式的特例.,【例4】 (本小題滿分14分)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90， ABACAA12，M為BC1的中點

16、，N為A1B1的中點，求|MN|. 規(guī)范解答：如圖，以A為原點，AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，4分 則B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，9分 N(1,0,2)，M(1,1,1)，12分 MN . 14分,1以長方體的一個頂點為原點，建立空間直角坐標系，將長方體的各個點 表示出來(已知長方體長、寬、高分別為3、4、5) 解：建立如圖所示的空間直角坐標系， |AB|3，|BC|4，|BB1|5， 各點的坐標為：O(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,3,0)，C(0,3,0)，D1(0,

17、0,5)， A1(4,0,5)，B1(4,3,5)，C1(0,3,5),2四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，PA底面ABCD，PDA30，AEPD.試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出各點的坐標 解：如圖所示，以點A為坐標原點，以AB、AD、AP所在的直線分別為x 軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系ABBCa， 點A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a, 0) |AD|2a，D(0,2a,0)PA底面ABCD，PAAD.,又PDA30，|PA||AD|tan 30 a.故點P . 面PAD面ABCD.過E作EFAD于F，則F為E在底面ABCD內(nèi)的射影在 RtAED中， EDA30，|AE| |AD|a.在RtEFA中，EAF60， |EF||AE|sin 60a a，|AF||AE|cos 60 ， E .,