高考數(shù)學(xué)壓軸大題--解析幾何.doc
高考數(shù)學(xué)壓軸大題-解析幾何
1. 設(shè)雙曲線(xiàn)C:相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.
(I)求雙曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍:
(II)設(shè)直線(xiàn)l與y軸的交點(diǎn)為P,且求a的值.
解:(I)由C與t相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),故知方程組
有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①
雙曲線(xiàn)的離心率
(II)設(shè)
由于x1+x2都是方程①的根,且1-a2≠0,
2. 已知為橢圓C的兩焦點(diǎn),P為C上任意一點(diǎn),且向量的夾角余弦的最小值為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò) 的直線(xiàn)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),求(O為原點(diǎn))的面積的最大值及相應(yīng)的直線(xiàn)的方程.
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a,
∴
=
=
又
∴
即 ∴
∴橢圓方程為
(Ⅱ) 由題意可知NM不可能過(guò)原點(diǎn),則可設(shè)直線(xiàn)NM的方程為:
設(shè)
=
即 .
由韋達(dá)定理得:
∴
= =
令 , 則
∴=.
又令, 易知在[1,+∞)上是增函數(shù),
所以當(dāng),即 時(shí)有最小值5.
∴有最大值 ∴ 的面積有最大值.
直線(xiàn)的方程為.
3. 橢圓E的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率=,過(guò)點(diǎn)C(-1,0)的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn),且滿(mǎn)足:= ().
(Ⅰ)若為常數(shù),試用直線(xiàn)的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面積.
(Ⅱ)若為常數(shù),當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時(shí),求橢圓E的方程.
(Ⅲ)若變化,且= k2+1,試問(wèn):實(shí)數(shù)和直線(xiàn)的斜率分別為何值時(shí),橢圓E的短半軸長(zhǎng)取得最大值?并求出此時(shí)的橢圓方程.
解:設(shè)橢圓方程為(a>b>0),
由==及a2= b2+c2得a2=3 b2,
故橢圓方程為x2+3y2= 3b2. ①
(Ⅰ)∵直線(xiàn):y = k(x+1)交橢圓于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),并且= (≥2),
∴(x1+1,y1) =(-1-x2,-y2),
即 ②
把y = k(x+1)代入橢圓方程,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2= 0,
且 k2 (3b2-1)+b2>0 (*),
∴x1+x2= -, ③
x1x2=, ④
∴=|y1-y2| =|+1|·| y2| =·| k |·| x2+1|.
聯(lián)立②、③得x2+1=,
∴=· (k≠0).
(Ⅱ)=·
=·
≤· (≥2).
當(dāng)且僅當(dāng)3| k | =,即k =時(shí),取得最大值,此時(shí)x1+x2= -1.
又∵x1+1= -( x2+1),
∴x1=,x2= -,代入④得3b2=.此時(shí)3b25,的值符合(*)
故此時(shí)橢圓的方程為x2+3y2=(≥2).
(Ⅲ)由②、③聯(lián)立得:
x1=-1,
x2=-1,
將x1,x2代入④,得=+1.
由k2=-1得=+1
=+1.
易知,當(dāng)時(shí),3b2是的減函數(shù),
故當(dāng)時(shí),取得最大值3. 所以,當(dāng),k =±1(符合(*))時(shí),橢圓短半軸長(zhǎng)取得最大值,
此時(shí)橢圓方程為x2 + 3y2 = 3.
4. 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上,斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn),與共線(xiàn).
(I)求橢圓的離心率;
(II)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且,證明為定值.
解:(I)設(shè)橢圓方程為
則直線(xiàn)AB的方程為.
化簡(jiǎn)得.
令
則
共線(xiàn),得
(II)證明:由(I)知,所以橢圓可化為.
在橢圓上,
即 ①
由(I)知
又又,代入①得
故為定值,定值為1.
5. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)求過(guò)點(diǎn)O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.
解:(I)
圓過(guò)點(diǎn)O、F,
圓心M在直線(xiàn)上。
設(shè)則圓半徑
由得
解得
所求圓的方程為
(II)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為
代入整理得
直線(xiàn)AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,方程有兩個(gè)不等實(shí)根。
記中點(diǎn)
則
的垂直平分線(xiàn)NG的方程為
令得
點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為
6. 已知點(diǎn),是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿(mǎn)足.設(shè)圓的方程為
(I) 證明線(xiàn)段是圓的直徑;
(II)當(dāng)圓C的圓心到直線(xiàn)X-2Y=0的距離的最小值為時(shí),求p的值。
(I)證明1:
整理得:
設(shè)M(x,y)是以線(xiàn)段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則
即
整理得:
故線(xiàn)段是圓的直徑
證明2:
整理得:
……..(1)
設(shè)(x,y)是以線(xiàn)段AB為直徑的圓上則
即
去分母得:
點(diǎn)滿(mǎn)足上方程,展開(kāi)并將(1)代入得:
故線(xiàn)段是圓的直徑
證明3:
整理得: ……(1)
以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程為
展開(kāi)并將(1)代入得: 故線(xiàn)段是圓的直徑
(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則
又因
所以圓心的軌跡方程為
設(shè)圓心C到直線(xiàn)x-2y=0的距離為d,則
當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .
解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則
又因
所以圓心的軌跡方程為
設(shè)直線(xiàn)x-2y+m=0到直線(xiàn)x-2y=0的距離為,則
因?yàn)閤-2y+2=0與無(wú)公共點(diǎn),
所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線(xiàn)x-2y=0的距離最小值為
將(2)代入(3)得
解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則
圓心C到直線(xiàn)x-2y=0的距離為d,則
又因
當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得
.
11、(如圖)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線(xiàn)
與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).
D
F
B
y
x
A
O
E
(1)若,求的值;
(2)求四邊形面積的最大值.
11.(Ⅰ)解:依題設(shè)得橢圓的方程為,
直線(xiàn)的方程分別為,. 2分
D
F
B
y
x
A
O
E
如圖,設(shè),其中,
且滿(mǎn)足方程,
故.①
由知,得;
由在上知,得.
所以, 化簡(jiǎn)得, 解得或. 6分
(Ⅱ)解法一:根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和①式知,點(diǎn)到的距離分別為
,
. 9分
又,所以四邊形的面積為
,
當(dāng),即當(dāng)時(shí),上式取等號(hào).所以的最大值為. 12分
解法二:由題設(shè),,. 設(shè),,由①得,,
故四邊形的面積為
9分
,
當(dāng)時(shí),上式取等號(hào).所以的最大值為. 12分
12、已知橢圓的離心率. 直線(xiàn)()與曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn),以線(xiàn)段為直徑作圓,圓心為.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 若圓與軸相交于不同的兩點(diǎn),求的面積的最大值.
12、(1)解:∵橢圓的離心率, ∴. …… 2分
解得. ∴ 橢圓的方程為. …… 4分
(2)解法1:依題意,圓心為.
由 得. ∴ 圓的半徑為. …… 6分
∵ 圓與軸相交于不同的兩點(diǎn),且圓心到軸的距離,
∴ ,即.
∴ 弦長(zhǎng). …… 8分
∴的面積 …… 9分
. …… 12分
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.
∴ 的面積的最大值為. …… 14分
解法2:依題意,圓心為.
由 得.∴ 圓的半徑為. …… 6分
∴ 圓的方程為.
∵ 圓與軸相交于不同的兩點(diǎn),且圓心到軸的距離,
∴ ,即.
在圓的方程中,令,得,
∴ 弦長(zhǎng). (資料來(lái)源:數(shù)學(xué)驛站 www.maths168.com) …… 8分
∴的面積 …… 9分
. ……12分
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立. ∴ 的面積的最大值為.
15、已知橢圓:()的上頂點(diǎn)為,過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為.若有一菱形的頂點(diǎn)、在橢圓上,該菱形對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為.
⑴求橢圓的方程;
⑵當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)的方程;
⑶(本問(wèn)只作參考,不計(jì)入總分)當(dāng)時(shí),求菱形面積的最大值.
15、解:⑴依題意,……1分,解……2分,得……3分,所以,……4分,橢圓的方程為……5分。
⑵直線(xiàn):……7分,設(shè):……8分,由方程組得……9分,當(dāng)時(shí)……10分,、的中點(diǎn)坐標(biāo)為,……12分,是菱形,所以的中點(diǎn)在上,所以……13分,解得,滿(mǎn)足,所以的方程為……14分。
⑶(本小問(wèn)不計(jì)入總分,僅供部分有余力的學(xué)生發(fā)揮和教學(xué)拓廣之用)因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?,所以,所以菱形的面積,由⑵可得
,因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí),菱形的面積取得最大值,最大值為。
12