時(shí)間序列分析方法講義 第2章 滯后算子及其性質(zhì)第二章 滯后算子及其性質(zhì)滯后算子是對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行動(dòng)態(tài)線性運(yùn)算的主要工具，利用滯后算子可以使得一些非線性運(yùn)算非常簡(jiǎn)潔。§2.1 基本概念時(shí)間序列是以觀測(cè)值發(fā)生的時(shí)期作為標(biāo)記的數(shù)據(jù)集合。一般情況下，我們是從某個(gè)特定的時(shí)間開(kāi)始采集數(shù)據(jù)，直到另一個(gè)固定的時(shí)間為止，我們可以將獲得的數(shù)據(jù)表示為：如果能夠從更早的時(shí)間開(kāi)始觀測(cè)，或者觀測(cè)到更晚的時(shí)期，那么上面的數(shù)據(jù)區(qū)間可以進(jìn)一步擴(kuò)充。相對(duì)而言，上述數(shù)據(jù)只是一個(gè)數(shù)據(jù)的片段，整個(gè)數(shù)據(jù)序列可以表示為：例2.1 幾種代表性的時(shí)間序列(1) 時(shí)間趨勢(shì)本身也可以構(gòu)成一個(gè)時(shí)間序列，此時(shí)：；(2) 另一種特殊的時(shí)間序列是常數(shù)時(shí)間序列，即：，是常數(shù)，這種時(shí)間的取值不受時(shí)間的影響；(3) 在隨機(jī)分析中常用的一種時(shí)間序列是高斯白噪聲過(guò)程，表示為：，是一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列，每個(gè)隨機(jī)變量都服從分布。時(shí)間序列之間也可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，類似于使用函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換。它是將輸入時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為輸出時(shí)間序列。例2.2 幾種代表性的時(shí)間序列轉(zhuǎn)換(1) 假設(shè)是一個(gè)時(shí)間序列，假設(shè)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：，這種算子是將一個(gè)時(shí)間序列的每一個(gè)時(shí)期的值乘以常數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)新的時(shí)間序列。(2) 假設(shè)和是兩個(gè)時(shí)間序列，算子轉(zhuǎn)換方式為：，此算子是將兩個(gè)時(shí)間序列求和。定義2.1 如果算子運(yùn)算是將一個(gè)時(shí)間序列的前一期值轉(zhuǎn)化為當(dāng)期值，則稱此算子為滯后算子，記做。即對(duì)任意時(shí)間序列，滯后算子滿足： (1)類似地，可以定義高階滯后算子，例如二階滯后算子記為，對(duì)任意時(shí)間序列，二階滯后算子滿足： (2)一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，有： (3)命題2.1 滯后算子運(yùn)算滿足線性性質(zhì)：(1) (2) 證明：(1) 利用滯后算子性質(zhì)，可以得到：(2) End由于滯后算子具有上述運(yùn)算性質(zhì)和乘法的交換性質(zhì)，因此可以定義滯后算子多項(xiàng)式，它的作用是通過(guò)它對(duì)時(shí)間序列的作用獲得一個(gè)新的時(shí)間序列，并且揭示這兩個(gè)時(shí)間序列之間的關(guān)系。顯然，滯后算子作用到常數(shù)時(shí)間序列上，時(shí)間序列仍然保持常數(shù)，即：。§2.2 一階差分方程利用滯后算子，可以將前面的一階差分方程表示成為滯后算子形式： (4)也可以表示為： (5)在上述等式兩邊同時(shí)作用算子：，可以得到：計(jì)算得到：利用滯后算子性質(zhì)得到： (6)上述差分方程的解同利用疊代算法得到的解是一致的。注意到算子作用后的等式：如果時(shí)間序列是有界的，即存在有限的常數(shù)，使得任意時(shí)間均有：，并且，則上式當(dāng)中的尾項(xiàng)隨著時(shí)間增加趨于零。從而有： (7)如果利用“1”表示恒等算子，則有： (8)記(需要注意的是，這里只是表示一個(gè)運(yùn)算符號(hào))： (9)因此得到了“逆算子”的表達(dá)式，這類似于以滯后算子為變量的函數(shù)展開(kāi)式。定義2.2 當(dāng)時(shí)，定義算子的逆算子為，它滿足：(1) (10)其中表示單位算子，即對(duì)任意時(shí)間序列，有：(2) 在形式上逆算子可以表示為： (11)這表示逆算子作為算子運(yùn)算規(guī)則是：對(duì)于任意時(shí)間序列，有：當(dāng)時(shí)，逆算子的定義以后討論。如果時(shí)間序列是有界的，則一階差分方程的解可以表示為：可以驗(yàn)算上述表達(dá)式確實(shí)滿足一階線性差分方程。但是解并惟一，例如對(duì)于任意實(shí)數(shù)，下述形式的表達(dá)式均是方程的解。上述差分方程的解中含有待定系數(shù)，這為判斷解的性質(zhì)留出一定的余地。§2.3 二階差分方程我們考察二階差分方程的滯后算子表達(dá)式：將其利用滯后算子表示為： (12)對(duì)二階滯后算子多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，即尋求和使得：顯然和是差分方程對(duì)應(yīng)的特征方程的根： (13)當(dāng)特征根和落在單位圓內(nèi)的時(shí)候(這也是差分方程的穩(wěn)定性條件)，滯后算子多項(xiàng)式分解為：，這時(shí)二階差分方程解可以表示為：注意到算子分式也可以進(jìn)行分項(xiàng)分式分解(如此分解需要證明，參見(jiàn)Sargent，1987，p. 184)：將上述表達(dá)式帶入到二階差分方程解中：其中：，利用上述公式，可以得到外生擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子為：， (14)上述利用滯后算子運(yùn)算得到的乘數(shù)與以前所得完全一致。例2.3 對(duì)于二階差分方程而言，其特征方程是：得到特征根為：，上述方程的穩(wěn)定性與滯后算子多項(xiàng)式的根落在單位圓內(nèi)是一致的。§2.4 p階差分方程上述算子多項(xiàng)式的分解方法可以直接推廣到p階差分方程情形。將p階差分方程表示成為滯后算子形式： (15)將上式左端的算子多項(xiàng)式分解為： (16)這相當(dāng)于尋求使得下述代數(shù)多項(xiàng)式恒等： (17)定義，則可以將上述多項(xiàng)式表示成為： (18)這意味著算子多項(xiàng)式的分解，就相當(dāng)于求出差分方程特征方程的根。如果差分方程的根相異，且全部落在單位圓內(nèi)，則可以進(jìn)行下述分式分解： (19)通過(guò)待定系數(shù)法，可以得到上述分式中的參數(shù)為：， (20)顯然有： (21)利用上述算子多項(xiàng)式分解，可以得到差分方程的解為： (22)通過(guò)上述方程通解，可以得到動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子為：， (23)命題2.2 外生變量對(duì)現(xiàn)值的影響和外生變量持續(xù)擾動(dòng)對(duì)的動(dòng)態(tài)影響乘子是：證明：將差分方程的解表示為：，其中：，設(shè)：利用算子多項(xiàng)式表示：對(duì)現(xiàn)值的影響可以表示為：注意到：因此有：長(zhǎng)期乘數(shù)相當(dāng)于的情形，從而得到公式所示的公式。 End上述命題結(jié)論是利用滯后算子多項(xiàng)式推導(dǎo)的，其結(jié)論同利用差分方程矩陣表示所得到的結(jié)論是一致的。§2.5 初始條件和無(wú)界序列假設(shè)給定下述線性差分方程： (24)一般情況下，求解p階差分方程的特解，需要p個(gè)初值：，也需要外生變量的一個(gè)輸入序列：，這樣一來(lái)根據(jù)差分方程結(jié)構(gòu)，便可以確定的時(shí)間路徑。但是，在一些常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)或者金融時(shí)間序列當(dāng)中，無(wú)法給定具體的初值或者完整的外生輸入變量，那么這時(shí)差分方程解的性質(zhì)如何？例2.4 假設(shè)變量表示股票價(jià)格，表示股票派發(fā)的紅利。如果一個(gè)投資者在時(shí)刻買(mǎi)入股票，然后在時(shí)刻賣(mài)出股票，則他將獲得實(shí)際紅利收入和價(jià)格收益，因此投資者的收益率為： (25)在簡(jiǎn)單的股票市場(chǎng)模型當(dāng)中，假設(shè)收益率是常數(shù)，則上述方程可以轉(zhuǎn)化為股票價(jià)格的差分方程模型： (26)如果知道紅利序列和股票價(jià)格的初值，則可以得到股票價(jià)格路徑為： (27)但是如果僅僅知道紅利序列，而不知道股票價(jià)格初值，則可能有很多價(jià)格軌跡滿足價(jià)格的差分方程。為了說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，進(jìn)一步假設(shè)紅利為常數(shù)，則有： (28)(1) 如果初始時(shí)期股票價(jià)格等于紅利貼現(xiàn)，即，則有：，此時(shí)股票價(jià)格保持常數(shù)，股價(jià)等于紅利除以收益率。這種股票價(jià)格被稱為在收益率是常數(shù)情形的股價(jià)基礎(chǔ)成分。(2) 假設(shè)初始股價(jià)超過(guò)了，即，這時(shí)股票價(jià)格出現(xiàn)了擴(kuò)散現(xiàn)象，這與資產(chǎn)定價(jià)理論相符。因?yàn)闉榱吮３仲Y產(chǎn)收益率不變，股票的價(jià)格就會(huì)出現(xiàn)持續(xù)上升，同時(shí)假設(shè)紅利是固定的，紅利帶來(lái)的實(shí)際收益減少將被股價(jià)的加速增長(zhǎng)所彌補(bǔ)，這樣就出現(xiàn)了股票價(jià)格膨脹的現(xiàn)象，即出現(xiàn)股票價(jià)格泡沫。(3) 為了消除股價(jià)中的投資泡沫，一種方法是對(duì)股票價(jià)格路徑給予有界性限制。例如，假設(shè)對(duì)于所有時(shí)期的股票價(jià)格滿足：，這樣一來(lái)，滿足上述約束的股票價(jià)格路徑便是常數(shù)的市場(chǎng)基礎(chǔ)價(jià)格。上面假設(shè)了常數(shù)紅利，現(xiàn)在假設(shè)紅利序列是有界的。將股價(jià)表示為：進(jìn)行向前疊代運(yùn)算有：如果價(jià)格序列滿足約束條件：在假設(shè)和均是有界序列，則得到股票價(jià)格水平滿足：這是紅利隨時(shí)間變化時(shí)股票價(jià)格的市場(chǎng)基礎(chǔ)成分。需要注意的是，對(duì)于上述情形的市場(chǎng)基礎(chǔ)成分，需要投資者對(duì)于未來(lái)紅利具有完全預(yù)期。當(dāng)引入預(yù)期紅利時(shí)，上述表達(dá)式仍然適用，這時(shí)可以修改為：利用紅利預(yù)期的股價(jià)公式，可以確定價(jià)格初值：如此初值是否滿足一般的股價(jià)模型，我們可以代入到具有初值的確定解中驗(yàn)證：將代入上式后得到：這正是在邊界條件下所推導(dǎo)的向前預(yù)期解，由此可見(jiàn)該解與初值選擇是吻合的。例2.5 我們繼續(xù)利用滯后算子方法討論股票價(jià)格路徑的性質(zhì)。利用算子表示為：在上述表達(dá)式中，滯后算子多項(xiàng)式的特征根小于1，無(wú)法采用逆算子的一般表達(dá)式，為此我們需要采取新的定義。定義滯后算子的逆算子為，具有性質(zhì)：(1) (2) 這樣一來(lái)，滯后算子乘積就具有冪乘的性質(zhì)：對(duì)于任意正整數(shù)和，有：對(duì)方程(2.12)兩端乘以算子多項(xiàng)式：整理得到：當(dāng)，且紅利序列是有界的，則上述極限為：根據(jù)上述運(yùn)算，可以定義下述算子的逆算子：§2.6 差分方程的求解方法上面我們主要論述了差分方程的表示和外生擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)乘子，下面我們給出差分方程的一般求解過(guò)程。第一步：構(gòu)造p階齊次差分方程，并且尋求齊次方程的p個(gè)解：，第二步：構(gòu)造p階非齊次差分方程的特解。第三步：齊次方程p個(gè)解的線性組合加上非齊次方程的一個(gè)特解，得到非齊次方程的通解。第四步：根據(jù)給定的邊界條件，確實(shí)通解當(dāng)中的未知參數(shù)，得到非齊次方程的確定解。2.6.1 齊次差分方程的通解和穩(wěn)定性p階齊次差分方程的形式是：命題2.3 對(duì)于差分方程而言，下述推斷成立：(1) 如果是方程的解，則對(duì)任意常數(shù)，也是解。(2) 如果和是方程的解，則對(duì)任意實(shí)數(shù)和，也是方程的解。證明：留做練習(xí)。對(duì)于p階齊次差分方程，我們嘗試地檢驗(yàn)解的形式是：，代入差分方程為：由此可見(jiàn)，應(yīng)該是上述特征方程的根。因此，如果差分方程具有相異實(shí)數(shù)根的時(shí)候，可以得到p個(gè)解為：，此時(shí)解的穩(wěn)定性要求所有根落在單位圓內(nèi)。命題2.4 對(duì)于齊次差分方程而言：(1) 齊次方程所有特征根落在單位圓內(nèi)的必要條件是：；(2) 齊次方程所有特征根落在單位圓內(nèi)的充分條件是：；(3) 齊次方程至少具有一個(gè)單位根的充要條件是：如果齊次方程的特征根出現(xiàn)重根，則應(yīng)該尋求多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)乘機(jī)形式的解。例如，如果二階齊次差分方程具有重根，則兩個(gè)解應(yīng)該分別是，。2.6.2 非齊次差分方程的特解如何尋求非齊次線性差分方程的特解，需要根據(jù)非齊次項(xiàng)的具體性質(zhì)判斷。(1) 指數(shù)形式的非齊次項(xiàng)此時(shí)方程形式是：可以嘗試特解形式為：，可以求解出特解為：如果，嘗試解的形式為：如果，可以選取其他形式的嘗試解。(2) 確定性時(shí)間趨勢(shì)此時(shí)方程形式是：此時(shí)嘗試解的形式選為：2.6.3 非齊次差分方程的通解獲得齊次方程的p個(gè)解以后，它們的線性組合構(gòu)成了齊次方程的通解；如果再獲得一個(gè)非齊次方程的一個(gè)特解，則可以得到非齊次方程的通解，它是齊次方程p個(gè)解的線性組合加上非齊次方程的特解。這里需要注意的是，上述通解中的線性組合中有p個(gè)未知系數(shù)，這是需要p個(gè)條件來(lái)確定這些系數(shù)，這些系數(shù)確定以后，就可以得到具有邊界或者初值條件的差分方程的具體解，或者唯一解。這個(gè)唯一解的系數(shù)則具有相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)含義。8