欄目索引第第2323講特殊平行四邊形講特殊平行四邊形欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易夯基礎(chǔ)學(xué)易考點一考點一 菱形的性質(zhì)及判定菱形的性質(zhì)及判定(5年年4考考)1.定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.性質(zhì)(1)菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì);(2)菱形的四條邊都相等;(3)菱形的對角線互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;(4)菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,它有兩條對稱軸,它的對稱中心是對角線的交點;欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易(5)面積S=ab(a,b分別為兩條對角線的長).3.判定(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;(3)四條邊都相等的四邊形是菱形.12欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易1.(2018嘉興,8,3分)用尺規(guī)在一個平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD,下列作法中錯誤的是(C )欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易2.(2018宿遷)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E為邊CD的中點.若菱形ABCD的周長為16,BAD=60,則OCE的面積是(A)A.B.2 C.2 D.4學(xué)法提點學(xué)法提點(1)菱形的定義既是菱形的性質(zhì)也是菱形的判定;(2)菱形的面積的兩種表示方式,既可以用對角線乘積的一半,也可以用底乘高;(3)菱形的每條對角線平分一組對角.33欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易考點二考點二 矩形的性質(zhì)及判定矩形的性質(zhì)及判定(5年年4考考)1.定義:有一個角是直角的平行四邊形是矩形.2.性質(zhì)(1)矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì);(2)矩形的四個角都是直角;(3)矩形的對角線互相平分且相等;(4)推論:在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半;(5)矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,它有2條對稱軸,它的對稱中心是對角線的交點;(6)面積:S=ab(a,b分別為長和寬).欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易3.判定(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形;(2)對角線相等的平行四邊形是矩形;(3)有三個角是直角的四邊形是矩形.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易3.(2018江西,10,3分)如圖,在矩形ABCD中,AD=3,將矩形ABCD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到矩形AEFG,點B的對應(yīng)點E落在CD上,且DE=EF,則AB的長為3.2欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易學(xué)法提點學(xué)法提點(1)矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì);(2)矩形的定義既是矩形的判定也是矩形的性質(zhì);(3)矩形的對角線不一定平分對角.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易考點三考點三 正方形的性質(zhì)及判定正方形的性質(zhì)及判定(5年年4考考)1.定義:有一個角是直角,一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.2.性質(zhì)(1)正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的全部性質(zhì);(2)正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,它有4條對稱軸,它的對稱中心是對角線的交點;(3)面積:S=a2(a為邊長).欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易3.判定(1)有一個角是直角,一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形;(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形;(3)一個角是直角的菱形是正方形;(4)對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形.4.平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關(guān)系欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易4.(2018瀘州,10,3分)如圖,正方形ABCD中,E,F分別在邊AD,CD上,AF,BE相交于點G,若AE=3ED,DF=CF,則的值是(C )A.B.C.D.學(xué)法提點學(xué)法提點(1)正方形的定義既是正方形的性質(zhì)又是正方形的判定;(2)正方形具有矩形和菱形的所有性質(zhì).AGGF43546576欄目索引研真題優(yōu)易例綜合與實踐美妙的黃金矩形例綜合與實踐美妙的黃金矩形閱讀理解在數(shù)學(xué)上稱短邊與長邊的比是(約為0.618)的矩形叫做黃金矩形(Golden Rectangle).黃金矩形蘊藏著豐富的美學(xué)價值,給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感.(1)某校團委舉辦“五四手抄報比賽”.手抄報的規(guī)格統(tǒng)一設(shè)計成:長是40 cm的黃金矩形,則寬約為 cm;(精確到0.1 cm)操作發(fā)現(xiàn)利用一張正方形紙片折疊出一個黃金矩形.512研真題優(yōu)易欄目索引研真題優(yōu)易第一步,如圖1,折疊正方形紙片ABCD,使AB和DC重合,得到折痕EF(點E,F分別在邊AD,BC上),然后把紙片展平;第二步,如圖2,折疊正方形紙片ABCD,使得BC落在BE上,點C和點C對應(yīng),得到折痕BG(點G在CD上),再次展平紙片;欄目索引研真題優(yōu)易第三步,如圖3,沿過點G的直線折疊正方形紙片ABCD,使點A和點D分別落在AB和CD上,折痕為HG,顯然四邊形HBCG為矩形.(2)在上述操作中,以AB=2為例,證明矩形HBCG是黃金矩形;參考計算:=推廣探索(3)“希望小組”的同學(xué)通過探究發(fā)現(xiàn):以黃金矩形的長邊為一邊,在原黃金矩形外作正方形,得到的新矩形仍然是黃金矩形.如圖4,如果四邊形ABCD是黃金矩形(ABAD),四邊形DCEF是正方形,那151514欄目索引研真題優(yōu)易么四邊形ABEF也是黃金矩形.他們的發(fā)現(xiàn)正確嗎?請說明理由.圖4欄目索引研真題優(yōu)易解析解析(1)24.7.(2)證明:四邊形ABCD是正方形,AB=2,BC=CD=AD=AB=2,A=C=D=90.由折疊的性質(zhì),可知AE=DE=AD=2=1.連接EG,設(shè)CG=x,則DG=2-x.1212由折疊的性質(zhì),可知CG=CG=x,BCG=C=90,BC=BC=2.在RtABE中,由勾股定理,得BE=.CE=BE-BC=-2.在RtCEG中,由勾股定理,得22ABAE222155欄目索引研真題優(yōu)易EG2=CE2+CG2=(-2)2+x2=9-4+x2.在RtDEG中,由勾股定理,得EG2=DE2+DG2,即12+(2-x)2=5-4x+x2.9-4+x2=5-4x+x2,解得x=-1.在矩形HBCG中,=.矩形HBCG是黃金矩形.(3)正確.理由如下:設(shè)AD=-1,AB=2.四邊形DCEF是正方形,5555CGBC5125欄目索引研真題優(yōu)易EF=DF=DC=AB=2.AF=AD+DF=-1+2=+1.=.四邊形ABEF也是黃金矩形.55EFAF251512欄目索引試真題練易命題點一命題點一 菱形的性質(zhì)和判定菱形的性質(zhì)和判定試真題練易1.(2016山西,22節(jié)選)問題情境在綜合與實踐課上,老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動,如圖1,將一張菱形紙片ABCD(BAD90)沿對角線AC剪開,得到ABC和ACD.操作發(fā)現(xiàn)(1)將圖1中的ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心,逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,使=BAC,得到如圖2所示的ACD,分別延長BC和DC交于點E,則四邊形ACEC的形狀是菱形;欄目索引試真題練易(2)創(chuàng)新小組將圖1中的ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,使=2BAC,得到如圖3所示的ACD,連接DB,CC,得到四邊形BCCD,發(fā)現(xiàn)它是矩形,請你證明這個結(jié)論.欄目索引試真題練易解析解析(1)菱形.(2)證明:作AECC于點E.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AC,CAE=CAE=BAC.四邊形ABCD是菱形,BA=BC,BCA=BAC,CAE=BCA,AEBC,同理AEDC,BCDC,又BC=DC,四邊形BCCD是平行四邊形,又AEBC,CEA=90,BCC=180-CEA=90,四邊形BCCD是矩形.12欄目索引試真題練易2.(2017山西,6,3分)如圖,將矩形紙片ABCD沿BD折疊,得到BCD,CD與AB交于點E.若1=35,則2的度數(shù)為(A )A.20 B.30 C.35 D.55命題點二命題點二 矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)欄目索引試真題練易3.(2015山西,16,3分)如圖,將正方形紙片ABCD沿MN折疊,使點D落在邊AB上,對應(yīng)點為D,點C落在C處.若AB=6,AD=2,則折痕MN的長為2.10命題點三命題點三 正方形的性質(zhì)和判定正方形的性質(zhì)和判定欄目索引探難疑知易易錯題易錯題 問題情境在綜合與實踐課上,老師組織同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.如圖1,現(xiàn)有矩形紙片ABCD(ABAD).探難疑知易操作發(fā)現(xiàn)(1)如圖2,將圖1中的矩形紙片沿對角線AC折疊,使點B落在點B處,則ADC與ABC重合部分三角形的形狀是 ;(2)如圖3,將圖2中的紙片展平,再次折疊,使點A與點C重合,折痕為EF,然后展平,則以點A,F,C,E為頂點的四邊形是什么特殊四邊形?并說明理由.欄目索引探難疑知易解析解析(1)等腰三角形.(2)菱形,理由如下:連接EA,CF,設(shè)EF與AC交于點M.由折疊的性質(zhì)可知:AME=CME=90,AM=CM.欄目索引探難疑知易AE=EC,AF=FC.四邊形ABCD是矩形,ECAF.ECM=FAM,CEM=AFM,ECM FAM,EC=FA,AE=EC=FC=FA,以點A,F,C,E為頂點的四邊形是菱形.欄目索引探難疑知易錯解錯解(2)中由折疊可知EAC=CAF.錯誤鑒定錯誤鑒定(2)中是沿EF折疊,不是AC折疊,所以不能得到EAC=CAF,折疊問題要分析清楚折痕是哪條線.欄目索引探難疑知易(2018普陀期中)如圖,已知ABC中,AD是邊BC上的中線,過點A作AEBC,過點D作DEAB,DE與AC、AE分別交于點O、點E,連接EC.(1)求證:四邊形ADCE是平行四邊形;(2)當(dāng)BAC=90時,求證:四邊形ADCE是菱形.欄目索引探難疑知易證明證明(1)AEBC,DEAB,四邊形ABDE是平行四邊形.AE=BD,AD是邊BC上的中線,BD=DC,AE=DC,又AEDC,四邊形ADCE是平行四邊形.(2)BAC=90,AD是邊BC上的中線.AD=CD,由(1)知四邊形ADCE是平行四邊形,四邊形ADCE是菱形.