第五章 無源網(wǎng)絡(luò)綜合第五章 無源網(wǎng)絡(luò)綜合§5.1 網(wǎng)絡(luò)分析與網(wǎng)絡(luò)綜合（a） (b)圖5.1 網(wǎng)絡(luò)分析與網(wǎng)絡(luò)綜合網(wǎng)絡(luò)綜合：研究科學(xué)的數(shù)學(xué)的設(shè)計(jì)方法。網(wǎng)絡(luò)分析與網(wǎng)絡(luò)綜合的區(qū)別：1 “分析”問題一般總是有解的(對實(shí)際問題的分析則一定是有解的)。而“設(shè)計(jì)”問題的解答可能根本不存在。圖5.2 網(wǎng)絡(luò)綜合解答不存在情況一(a) (b)圖5.3 網(wǎng)絡(luò)綜合解答不存在情況二2“分析”問題一般具有唯一解，而“設(shè)計(jì)”問題通常有幾個(gè)等效的解。 (a) (b) (c)圖5.4 網(wǎng)絡(luò)綜合存在多解情況3“分析”的方法較少，“綜合”的方法較多。網(wǎng)絡(luò)綜合的主要步驟：(1) 按照給定的要求確定一個(gè)和實(shí)現(xiàn)的逼近函數(shù)。(2) 尋找一個(gè)具有上述逼近函數(shù)的電路。§5.2 網(wǎng)絡(luò)的有源性和無源性 輸入一端口網(wǎng)絡(luò)N的功率從任何初始時(shí)刻到，該網(wǎng)絡(luò)的總能量式中為在初始時(shí)刻時(shí)該一端口儲(chǔ)存的能量。若對所有以及所有時(shí)間，有 （1）則此一端口N為無源的。如果一端口不是無源的，達(dá)就是有源的。就是說，當(dāng)且僅當(dāng)對某個(gè)激勵(lì)和某一初始值以及某一時(shí)間，有，則此一端口就是有源的。換句話說，如果一個(gè)一端口是有源的，就一定能找到某一激勵(lì)以及至少某一時(shí)間，式（1）對這個(gè)一端口不能成立。在以上有關(guān)無源性的定義中必須計(jì)及初始儲(chǔ)存能量。例如，對時(shí)不變的線性電容，設(shè)它的電容值為C，則有式中。所以時(shí)，電容元件為無源的，而當(dāng)時(shí)（線性負(fù)電容），則為有源的。但是，如不計(jì)及式中的初始能量項(xiàng)，則為從到輸入網(wǎng)絡(luò)的能量。這樣即使，在某些時(shí)間將小于零。事實(shí)上充電的電容有可能向外釋放儲(chǔ)存的能量，但是計(jì)及初始能量，它不可能釋放多余原先儲(chǔ)存的能量。為了考慮這種情況，引入了有關(guān)“無損性”的概念。設(shè)一端口的所有從為“平方可積”，即有： 如果對任何初始時(shí)間，下式成立式中為在初始時(shí)刻時(shí)該一端口儲(chǔ)存的能量，則稱此一端口為無損網(wǎng)絡(luò)。以上關(guān)于和平方可積的條件，也即就是說，一端口在和時(shí)均為松弛的。假設(shè)一端口在時(shí)無任何存儲(chǔ)能量，則無源性可按下式定義 （2）以上關(guān)于有源性的定義可以推廣到N端口。如果全部端口的電壓電流允許信號對是真實(shí)的，且對所有，輸入端口的總能量為非負(fù)的，則此N端口為無源的，即對全部，有這里設(shè)時(shí)，。如果對某些信號對，且對某些，有則此N為有源的。如果對所有平方可積有限值允許信號對，有則稱此N端口為無損的。一個(gè)無損的N端口將最終把輸入端口的能量全部返回。 線性（正）電阻元件、電容元件、電感元件均為無源元件。例如，對二端電阻，按式（2）有可見，只要，對所有，總是非負(fù)的。同理，對于非零的和，將是的單調(diào)非遞減正值函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，不可能是零值，所以線性電阻是無源的、非無損的。線性負(fù)電阻、負(fù)電感、負(fù)電容是有源元件。對于理想變壓器，有按式（125）所以理想變壓器是無源的且是無損的。練習(xí)：討論回轉(zhuǎn)器和負(fù)阻抗變換器的有源性和無源性?；剞D(zhuǎn)器：，負(fù)阻抗變換器：§5.3歸一化和去歸一化歸一化定義：用一些合適的系數(shù)(常數(shù))按比例換算所有電量，而不改變電路性質(zhì)。例如，用50作為電阻的換算系數(shù)(歸一化常數(shù))，則(實(shí)際值)變成(歸一化值)。歸一化值、實(shí)際值、歸一化常數(shù)之間的關(guān)系，對實(shí)際值適用的物理關(guān)系，對歸一化值網(wǎng)絡(luò)應(yīng)保持不變，因此得共七個(gè)關(guān)系式。綜上得知，只有兩個(gè)獨(dú)立的歸一化常數(shù)，若選擇多于兩個(gè)，則有可能破壞電量之間的關(guān)系。通常選擇和。此時(shí)【例】圖5.5(a)所示電路歸一化電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為中心角頻率為。(1) 如要求中心頻率為10kHz，求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。(2) 如固定，求L，C。(3) 如固定C=0.1µF,求R，L。 (a) (b)圖5.5 歸一化例題圖【解】：(1) 頻率歸一化常數(shù)為將代入已知的得：(2) µH， µF(3)§3.4正實(shí)函數(shù)1 定義 設(shè)是復(fù)變量的函數(shù)，如果(1) 當(dāng)時(shí)，；(2) 當(dāng)時(shí)，。則稱為正實(shí)函數(shù)，簡稱PR函數(shù)。正實(shí)函數(shù)的映射關(guān)系如圖5.6所示。2 正實(shí)函數(shù)的性質(zhì)(1) F(s)的全部極點(diǎn)位于s平面的閉左半平面，F(xiàn)(s)在s的右半平面是解析的。證明思路：設(shè)F(s)在s的右半平面存在極點(diǎn)，級數(shù)展開，F(xiàn)(s)變號，與正實(shí)函數(shù)矛盾，假設(shè)不成立。(2) 位于軸上的極點(diǎn)是一階的，且其留數(shù)為正實(shí)數(shù)。(包括0和±)(3) 正實(shí)函數(shù)的倒數(shù)仍為正實(shí)函數(shù)(對正實(shí)函數(shù)的零點(diǎn)也做了規(guī)定)。(4) 設(shè)。則，。因?yàn)椋?在和處為一階極點(diǎn)(零點(diǎn))。3 布隆定理(Otto Brune 1931年提出) （a） (b)圖5.7 布隆定理的證明對圖5.7(b)， 定理：當(dāng)且僅當(dāng)Z(s)是s的正實(shí)函數(shù)時(shí)，阻抗函數(shù)Z(s)使用集中參數(shù)的RLCM元件(非負(fù)值)才是可實(shí)現(xiàn)的。必要性的證明：(充分性留在后續(xù)各節(jié)) (5.1)其中由式(5.1) 得(1) 當(dāng)時(shí)，。(2) 設(shè)則所以Z(s)是正實(shí)函數(shù)。4 等價(jià)的正實(shí)條件一(1) 當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí)，F(xiàn)(s)也是實(shí)數(shù)；(2) 對全部實(shí)頻率，； (3) F(s)的全部極點(diǎn)位于s平面的閉左半平面，位于軸上的極點(diǎn)是一階的，且具有正實(shí)留數(shù)。 以Z(s)為例解釋如下：(1) 。所以Z(s)中的系數(shù)一定是實(shí)數(shù)，即Z(s)是s的有理實(shí)函數(shù)。(2)在正弦穩(wěn)態(tài)下，一端口的等效電路為它消耗的平均功率為(因?yàn)槭菬o源網(wǎng)絡(luò))所以。(3) 設(shè)，即，則沖激響應(yīng)電壓為若或，則發(fā)散；若(位于軸上)，則對應(yīng)高階極點(diǎn)的響應(yīng)項(xiàng)發(fā)散。以上對無源RLCM網(wǎng)絡(luò)是不可能的。5 等價(jià)正實(shí)條件二設(shè)(1) M(s)、N(s)全部系數(shù)大于零；(2) M(s)、N(s)的最高次冪最多相差1，最低次冪最多也相差1；(3) F(s)在軸上的極點(diǎn)是一階的，且具有正實(shí)留數(shù)；(4) ；(5) M(s)、N(s)均為Hurwitz多項(xiàng)式。例5.1 判斷下列正實(shí)函數(shù)是否為正實(shí)函數(shù)。(a) ；(b) 解 (a) 顯然滿足(1)、(3)。又，滿足(2)，是正實(shí)函數(shù)。(b) 顯然滿足(1)、(3)。但。不是正實(shí)函數(shù)。§5.5 LC一端口的實(shí)現(xiàn)LC一端口： 一 或的性質(zhì)1 在s=0處或是一零點(diǎn)或是一極點(diǎn)。端口處要么等效為短路，要么等效為斷路。分別對應(yīng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。2在處或是一零點(diǎn)或是一極點(diǎn)。解釋同上。3 Z(s)的全部極點(diǎn)和零點(diǎn)位于軸上。(因此是一階，留數(shù)大于零)LC一端口，R=0，沖激響應(yīng)不衰減(因?yàn)闊o損)，等幅振蕩，故全部極點(diǎn)位于軸上。的零點(diǎn)就是的極點(diǎn)，也應(yīng)位于軸上。極點(diǎn)(零點(diǎn))成對出現(xiàn)。4 為s的奇函數(shù)，即。解釋(1)N(s)、D(s)或?yàn)槠婧瘮?shù)或?yàn)榕己瘮?shù)。(2)P(s)為偶函數(shù)為實(shí)數(shù)； P(s)為奇函數(shù)為虛數(shù)。(4) ，純虛數(shù)，電抗性質(zhì)。所以N(s)、D(s)必為一偶一奇Z(s)為s的奇函數(shù)。5 Z(s)的零、極點(diǎn)交替出現(xiàn)在軸上。示意圖如下：(a) (b)圖5.10 LC導(dǎo)抗函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖綜上得LC導(dǎo)抗函數(shù)的充要條件：1 Z(s)或Y(s)為正實(shí)函數(shù)；2零、極點(diǎn)均位于軸上且交替出現(xiàn)。二 LC一端口的Foster綜合(基于部分分式展開)1 Foster第一種形式串聯(lián)形式，用Z(s)圖5.11 LC導(dǎo)抗函數(shù)的Foster第一種綜合形式2 Foster 第二種形式并聯(lián)形式，用Y(s)圖5.12 LC導(dǎo)抗函數(shù)的Foster第二種綜合形式【例】5.2 分別用Foster 第一和第二種形式綜合阻抗函數(shù)【解】 (1) 對Z(s)進(jìn)行展開圖5.13 例題5.2的Foster第一種綜合形式(2) 對Y(s)進(jìn)行展開圖5.14 例題5.2的Foster第二種綜合形式三 Cauer(考爾) 綜合 (基于連分式)1 Cauer 第一種形式(特點(diǎn)：逐次移出處的極點(diǎn)。串臂為電感，并臂為電容)【例】5.3 設(shè)。試用Cauer第一種形式綜合。【解】為Z(s)的零點(diǎn)，故首先用Y(s)。使用長除運(yùn)算得到上式。(多項(xiàng)式按降冪排列)2 Cauer 第二種形式(特點(diǎn)：逐次移出s=0處的極點(diǎn)。串臂為電容，并臂為電感)例5.4 設(shè)。試用Cauer第二種形式綜合?！窘狻渴褂瞄L除運(yùn)算得到上式。(多項(xiàng)式按升冪排列)圖5.18練習(xí) 1 試確定下列驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗函數(shù)能否用LC一端口來實(shí)現(xiàn)？ 2 試用Foster兩種形式綜合阻抗函數(shù)。3 試用Cauer兩種形式綜合阻抗函數(shù)。4 設(shè)計(jì)一個(gè)LC一端口網(wǎng)絡(luò)，要求時(shí)，阻抗為零；時(shí)，阻抗為無限大；時(shí)，阻抗為200。參考答案2 3§5.6 RC 一端口的實(shí)現(xiàn)一 RC一端口的性質(zhì)(必要條件)1 所有零極點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸上，而且是一階的。解釋：若不位于實(shí)軸沖激響應(yīng)振蕩同時(shí)存在LC元件；若位于正實(shí)軸沖激響應(yīng)發(fā)散。以上對無源RC網(wǎng)絡(luò)是不可能的。證明：（1） 位于負(fù)實(shí)軸：, ,令 得,令 得 (2) 零極點(diǎn)是一階的 (設(shè)為n階極點(diǎn)，則時(shí)，。令，得 故圖5.192 極點(diǎn)留數(shù)為正實(shí)數(shù)(它們與R、C值成比例)3 最低的臨界頻率(即最靠近原點(diǎn)的零極點(diǎn))為極點(diǎn)，原點(diǎn)處要么是極點(diǎn)，要么是常數(shù)。(a) (b)圖5.20 4 最高的臨界頻率為零點(diǎn)，在處要么為零點(diǎn)，要么為常數(shù)。5 零極點(diǎn)交替出現(xiàn)在負(fù)實(shí)軸上。圖5.21 RC阻抗函數(shù)的零極點(diǎn)分布二 Y(s)的性質(zhì)1 全部零極點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸上，而且是一階的。2 Y(s)的極點(diǎn)留數(shù)為負(fù)實(shí)數(shù)，而Y(s)/s的極點(diǎn)留數(shù)為正實(shí)數(shù)。3 最低的臨界頻率為零點(diǎn)。4 最高的臨界頻率為極點(diǎn)。5 零極點(diǎn)交替出現(xiàn)。三 Foster綜合(基于部分分式展開)1 Foster第一種形式(并串聯(lián)形式)圖5.22 Foster 第一種綜合形式Foster 第二種形式(串并聯(lián)形式)展開得 因?yàn)?，所以對進(jìn)行展開。 圖5.23 Foster 第二種綜合形式【例】5.5 試用Foster兩種形式綜合?！窘狻?1) Foster 第一種形式展開 (2) Foster 第二種形式展開圖5.24 例題5.5圖四 Cauer 型綜合(基于連分式)1 Cauer 第一種形式(串臂為電阻，并臂為電容)，由Z(s)性質(zhì)4得圖5.25 Cauer第一種形式多項(xiàng)式用降冪排列。2 Cauer 第二種形式(串臂為電容，并臂為電阻)。由Y(s)性質(zhì)3得圖5.26 Cauer 第二種形式多項(xiàng)式用升冪排列【例】5.6試用Cauer 兩種形式綜合。【解】(1) Cauer 1 圖5.27 用Cauer 1綜合結(jié)果 Cauer 2圖5.28 用Cauer 2 綜合結(jié)果練習(xí)1 試確定下列驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗函數(shù)那些能用RC一端口來實(shí)現(xiàn)？(a) ; (b) ；(c) ; (d) 。2 試用Foster兩種形式綜合RC阻抗函數(shù)3 試用Cauer 兩種形式綜合RC導(dǎo)納函數(shù)4 一個(gè)阻抗函數(shù)的零極點(diǎn)分布如圖5.29所示，。試用梯形電路實(shí)現(xiàn)此函數(shù)。圖5.29 §5.7 RLCM一端口的實(shí)現(xiàn)一 定義1 不含軸上極點(diǎn)的阻抗(導(dǎo)納)函數(shù)，稱為極小電抗(電納)函數(shù)。2 在軸上某一點(diǎn)具有零實(shí)部的阻抗（導(dǎo)納）函數(shù)，稱為極小實(shí)部函數(shù)；3 如果一個(gè)導(dǎo)抗函數(shù)同時(shí)是極小電抗函數(shù)、極小電納函數(shù)，極小實(shí)部函數(shù)，則稱之為極小函數(shù)。（極小函數(shù)是正實(shí)函數(shù)）。示例 極點(diǎn) (極小電抗函數(shù))，零點(diǎn)(極小電納函數(shù))。（極小實(shí)部函數(shù)）。二 從正實(shí)函數(shù)中分解出極小函數(shù)1 移出軸上的極點(diǎn)：設(shè) 移出上的極點(diǎn)：, (在軸上無零極點(diǎn))。2 電阻約簡（移出實(shí)部最小值）。當(dāng)時(shí)， -極小函數(shù)。圖5.28從正實(shí)函數(shù)中分解出極小函數(shù)示例三 極小函數(shù)的布隆綜合設(shè)為極小函數(shù)，則存在，使得。1 以情況為例：提取串聯(lián)元件，使余函數(shù),即要求。(1) 設(shè)串聯(lián)元件為電容，則。進(jìn)一步分析如下：(a) 在s=0處存在極點(diǎn)，且極點(diǎn)留數(shù)為-1/C1<0,Z2(s)不是正實(shí)函數(shù)。(b) Z1(s)=Z2(s)+1/(sC1)在s=0處存在極點(diǎn)，Z1(s)非極小函數(shù)，矛盾。故串聯(lián)元件不能為電容。(2) 設(shè)串聯(lián)元件為電感，則(a) 兩個(gè)正實(shí)函數(shù)之和仍為正實(shí)函數(shù)。在處存在零點(diǎn)(一定成對出現(xiàn))，移出之圖 5.29(b) ，時(shí)，圖5.30仍為正實(shí)函數(shù)，化為極小函數(shù)后重復(fù)上述過程。在處無極點(diǎn)。（c）解決負(fù)電感問題學(xué)習(xí)電路等效變換：圖5.31可實(shí)現(xiàn)的必須滿足條件： (1)由圖5.30得當(dāng)時(shí)， (為有限值)因?yàn)槭菢O小函數(shù)，在處無極點(diǎn)，所以 驗(yàn)證條件（1）全部滿足條件(1)?！纠?.7設(shè)。試綜合之?！窘狻?移出軸上的極點(diǎn)。, , 2 電阻約簡，令得, -極小函數(shù)3 ， (為零點(diǎn))4 ， 5 ， ，圖5.32消去負(fù)電感后得圖5.332 時(shí)，與對偶圖5.34消去負(fù)電感。圖5.35練習(xí)1 試綜合。參考答案：2 試綜合。參考答案：528