高等數(shù)學(xué)A 自測自檢題解答提示 第8章 第8章 空間解析幾何與向量代數(shù) 第一部分:必做題 一、選擇填空題 1．已知，，且，則 ． 提示：．由，，且知道， ，因此． 2．設(shè)直線與平面平行，則 ． 提示：直線的方向向量為，平面的法線向量為，由數(shù)量積，即解得 ． 3．通過原點(diǎn)且垂直于直線的平面方程為 ． 提示：所求平面的法線向量可取為，因此所求平面方程為． 4．平面與平面的位置關(guān)系是( )． (A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合 提示：由于兩個(gè)平面的法線向量分別為和 ，不互相平行也不互相垂直，因此是相交但不垂直． 5．設(shè)平面方程為，且，則平面( )． （A）平行于軸 （B）平行于軸 （C）經(jīng)過軸 （D）垂直于軸 提示：由于缺少變量，因此平面平行于軸，又由于，所以平面不經(jīng)過原點(diǎn)，選 (B)． 6．設(shè)直線方程為，且，則直線( )． （A）過原點(diǎn) （B）平行于軸 （C）垂直于軸 （D）平行于軸 提示：所給直線當(dāng)然位于平面內(nèi)．而平面垂直于軸，因此所給直線垂直于軸，選(C)． 7．空間直線 與平面的相互位置關(guān)系是（ ） （A）互相平行但不相交 （B）互相垂直 （C）不平行也不垂直 （D）直線在平面內(nèi) 提示：由于直線的方向向量與平面法線向量相等，因此直線垂直于平面．選(B)． 8．母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程是( )． (A) (B) (C) (D) 提示：曲線也是柱面的準(zhǔn)線．從中消去變量，即得柱面方程（也是柱面在坐標(biāo)平面上的準(zhǔn)線）．選(B)． 9．將曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的曲面為（ ） （A）圓錐面 （B）旋轉(zhuǎn)拋物面 （C）橢球面 （D）拋物柱面 提示：曲線是坐標(biāo)平面上的一條拋物線：頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開口向上、對稱軸為軸．因此繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的曲面為旋轉(zhuǎn)拋物面．選(B)． 10．在空間直角坐標(biāo)系中，是（ ） （A）圓 （B）球 （C）一點(diǎn) （D）圓柱面 提示：在坐標(biāo)平面上表示一圓周，在空間直角坐標(biāo)系中，表示母線平行于軸的圓柱面（因?yàn)榉匠讨腥鄙僮兞浚x(D)． 二、解答題 1．已知向量互相垂直，且，計(jì)算： （1） ；（2）． 提示：（1）. （2） . 2．求通過點(diǎn)而與直線垂直的平面方程． 提示：由題意，所求平面的法線向量可取作與直線的方向向量平行的任何向量（當(dāng)然越簡單越好）．而 ，因此取，所求平面方程為，即． 3．求下列直線的方程 （1）過點(diǎn)且垂直于平面； （2）過點(diǎn)且平行于直線； （3）過點(diǎn)和點(diǎn)． 提示：如果設(shè)所求直線的方向向量為，則 （1）可取，所以所求直線方程為． （2）可取，所以所求直線方程為． （3）可取，所以所求直線方程為． 4．由已知兩個(gè)球面與，求： （1）它們的公共部分所圍成的立體在面和面上的投影； （2）它們所表示的曲線在面和面上的投影． 提示：（1）由與消去得兩球面的交線所在平面方程，用去割球面得，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于軸的柱面，因此，兩個(gè)球面公共部分所圍成的立體在面上的投影是圓盤． 它們的公共部分所圍成的立體在面上的投影也可看作是柱面和在面上的公共部分，即． （2）它們所表示的曲線在面上的投影即為面上的圓周．在面上的投影是一條線段，在面上的方程為，其中． 第3頁 共3頁