科瓦列夫斯卡婭 杜瑞芝 (遼寧師范大學) 科瓦列夫斯卡婭，CB(KoBeBcka，Cob BacbeBHa)1850年1月15日生于俄國莫斯科；1891年2月10日卒于瑞典斯德哥爾摩數(shù)學、文學 科瓦列夫斯卡婭的父親柯文·克魯科夫斯基(KopBH-Kpy-KoBcK、BB)是匈牙利國王馬休斯·柯文(Mathias Korvin)的后裔，在俄羅斯部隊任陸軍中將母親柯文·克魯科夫斯卡婭(KopBH-KpyKoBCKa，E)出身于俄國貴族家庭1858年，柯文·克魯科夫斯基退職，帶全家到靠近立陶宛邊界的帕里賓諾莊園定居科瓦列夫斯卡婭早年受到良好的家庭教育她的伯父博覽群書，是一位科學愛好者，他經(jīng)常來帕里賓諾莊園作客，給小科瓦列夫斯卡婭講一些有趣的科學故事科瓦列夫斯卡婭臥室里的糊墻紙是她父親早年學習微積分時的筆記，那些奇怪的公式和符號使她困惑不解這些都激發(fā)了她強烈的求知欲不久，她在數(shù)學方面就表現(xiàn)出特殊的天賦據(jù)說，科瓦列夫斯卡婭14歲時曾自學三角學，既無教師，又無課本她通過在圓上作弦的方法，居然能解釋正弦函數(shù)并推導出一些三角公式，被譽為“新帕斯卡”16歲以后，她很渴望能進大學學習但19世紀的俄國，大學是婦女的禁區(qū)1866年冬，科瓦列夫斯卡婭的父親請彼得堡的一位著名數(shù)學教師AN斯特蘭諾留勃斯基(CTpaHHoocK)為她私入授課在此期間，她很快掌握了解析幾何和微積分 19世紀60年代，俄國正處在從農(nóng)奴制向資本主義過渡的時期，反對沙皇專制統(tǒng)治的革命民主主義運動蓬勃發(fā)展許多進步婦女起來為爭取上大學的權利而斗爭，科瓦列夫斯卡婭也加入了這個斗爭行列她中斷了在斯特蘭諾留勃斯基那里的學習之后，為能進大學學習而四處奔走，甚至直接拜訪了大數(shù)學家切比雪夫(ebIeB)，請求他的幫助，也未獲成功在這種情形下，要想繼續(xù)深造只有出國而未婚女子到國外求學會引起各種流言蜚語當時，一些進步女青年常采取“假婚”的方式來擺脫困境，即與某位男青年形式上結為夫婦，然后共同出國1868年，科瓦列夫斯卡婭與青年學者、莫斯科大學古生物系畢業(yè)生BO科瓦列夫斯基(KoBaeBCK)舉行了假結婚第二年，他們共同來到德國 在德國，科瓦列夫斯卡婭克服了重重困難，終于進入了海得堡大學，在數(shù)學家L柯尼希貝格(Konigsberger)的教授下學習數(shù)學，并兼聽大物理學家HLF亥姆霍茲(Helmholtz)的物理課柯尼希貝格在課堂上經(jīng)常向學生們頌揚他的老師，號稱“數(shù)學分析之父”的K魏爾斯特拉斯(Weierstrass)，激起科瓦列夫斯卡婭對這位數(shù)學大師的崇敬之情，她決心到柏林去，在魏爾斯特拉斯的直接指導下研究數(shù)學1870年，經(jīng)柯尼希貝格的推薦，她到柏林拜見了魏爾斯特拉斯，向他表述了自己獻身科學的決心和對數(shù)學的愛好魏爾斯特拉斯對她進行了測試，她的解題才能使魏爾斯特拉斯大為欣賞于是他親自向柏林大學校方請求，讓科瓦列夫斯卡婭非正式地隨班聽課，但遭到拒絕魏爾斯特拉斯決定做她的私人教師18701874年，他利用星期天單獨給科瓦列夫斯卡婭授課，并共同討論數(shù)學問題，從未間斷過科瓦列夫斯卡婭在這4年內(nèi)學習了橢圓函數(shù)論及其應用、綜合幾何學、阿貝爾函數(shù)、復變函數(shù)和變分法等課程，并與她的老師共同研究了有關的課題她很快就成為魏爾斯特拉斯最得意的學生，魏爾斯特拉斯曾說：“可以肯定，在我的學生中，在勤勉、才能、熱情和愛科學方面，可以和她相比的實在不多”科瓦列夫斯卡婭的所有數(shù)學研究都直接受到魏爾斯特拉斯的影響，他們之間結下了深厚的友誼，直至科瓦列夫斯卡婭去世 經(jīng)過幾年的努力，科瓦列夫斯卡婭寫出了三篇出色的論文，分別研究偏微分方程理論、阿貝爾積分和有關土星光環(huán)等課題1874年8月，根據(jù)魏爾斯特拉斯的推薦，沒有經(jīng)過考試和答辯，格丁根大學授予科瓦列夫斯卡婭博士學位，這是數(shù)學史上的第一位女博士 科瓦列夫斯卡婭和科瓦列夫斯基正式結婚后，于1874年秋季返回俄國科瓦列夫斯卡婭懷著滿腔熱情，希望用自己的學識為祖國人民服務但是沙皇統(tǒng)治下的俄國，仍像幾年前一樣黑暗從1874年起，科瓦列夫斯卡婭放棄了科學工作，以后的幾年內(nèi)，她進入社交界，也發(fā)表過戲劇評論和科普報導等魏爾斯特拉斯曾多次來信勸導她重返數(shù)學界，但都未能奏效1878年以后，科瓦列夫斯卡婭開始對自己的現(xiàn)狀不滿她寫信給魏爾斯特拉斯，表達了希望恢復數(shù)學研究的愿望然而，這種愿望由于她的女兒的出世而未能實現(xiàn)直到1880年在彼得堡召開的科學大會，才真正激勵了科瓦列夫斯卡婭重新從事數(shù)學研究的熱情 1880年末，科瓦列夫斯卡婭又來到柏林，在魏爾斯特拉斯的指導下進行數(shù)學研究18811883年，她完成了幾篇關于光的折射的研究論文在此期間，她仍為自己的就業(yè)問題而奔走不幸的是，1883年春她的丈夫因為破產(chǎn)而自殺這對科瓦列夫斯卡婭無疑是一沉重打擊，她勇敢地挑起生活的重擔，并繼續(xù)從事數(shù)學研究1883年11月，科瓦列夫斯卡婭在她的朋友、著名瑞典數(shù)學家MG米塔格-列夫勒(Mittag-Leffler)的幫助下，受聘擔任斯德哥爾摩大學講師，終于登上了大學的講臺她用德語講授數(shù)學課程，清晰易懂，引人入勝，頗具魏爾斯特拉斯的風格，大受歡迎1884年，她被提升為該校的數(shù)學教授，并擔任數(shù)學學報(Acta Mathematica)的編輯1889年，被任命為斯德哥爾摩大學的終身教授 在斯德哥爾摩大學任職期間，科瓦列夫斯卡婭研究了剛體繞定點旋轉的問題這個問題已有100多年的歷史，被稱為“數(shù)學水妖”許多著名數(shù)學家都曾致力于它的研究，甚至L歐拉(Euler)1157 和JL拉格朗日(Lagrange)也只得到了某些特殊情形下的結果法國科學院曾三次懸賞，給在該問題的研究中有所突破的人頒發(fā)鮑羅丁(Bordin)獎金1888年，法國科學院再次懸賞征求剛體旋轉理論的論文在用匿名提呈的15篇論文中、有一篇如此杰出，受到評獎委員會的高度贊賞，以致法國科學院把獎金從三千法郎增至五千法郎，這就是科瓦列夫斯卡婭提交的論文1888年12月，科瓦列夫斯卡婭榮獲鮑羅丁獎這項工作在1889年又得到瑞典科學院的獎賞 1889年12月，由切比雪夫等三位著名科學家聯(lián)名推薦，科瓦列夫斯卡婭當選為俄國科學院通訊院士，她是歷史上第一個獲得科學院院士稱號的女科學家 科瓦列夫斯卡婭不幸于1891年春患肺炎逝世，終年只有41歲從青年時代起，科瓦列夫斯卡婭就接受民主主義革命思想，她積極支持女權運動，同情巴黎公社(科瓦列夫斯卡婭的姐姐、姐夫參加了巴黎公社起義，其姐夫被捕入獄為營救姐夫，她曾只身進入戰(zhàn)火中的巴黎，并參加營救公社傷員的工作)在婦女倍受歧視的年代，她勇敢地沖破傳統(tǒng)的偏見和社會的壓制，屹然獨立，獻身科學科瓦列夫斯卡婭刻苦勤奮，勇于探索，以短暫的一生，在科學領域取得了杰出的成績她在數(shù)學、文學和政治等方面都留下了出色的成果 在數(shù)學方面，科瓦列夫斯卡婭在德國、法國和瑞典的科學雜志上共發(fā)表了10篇純粹數(shù)學和有關數(shù)學物理的論文，它們是： 1“關于偏微分方程理論”(俄文K TeopypaBheHBacTHbIX po3BoHbIX，德文Zur Theorie der partiellen Differential-gleichungen，1875) 2“論某一形式的第三類阿貝爾積分簡化成橢圓積分”(俄文OpBeeHHeKOTOPOTO Kacca aeeBbIX HTepaoB Tpetbeo paHaK TeCKM ThepaaM、德文ber die Reduction einer bestimmten Klasse Abelscher Integrale dritten Ranges aufelliptische Integrale，1884) 3“對拉普拉斯土星光環(huán)形態(tài)研究的補充和意見”(俄文 oaBeH aMeaH K cceoBaH aaca opMe Koa CaTypHa，德文Zustze und Bemerkungen zu Laplaces Untersu-chungen über die Gestalt der Saturnsringe，1885) 4“論光線在結晶介質中的折射”(俄文 OpeoMeHcBeTaB KpcTaecKX cpeax，德文ber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln，1883) 5(文5與文6是同一篇文章“O papoctpahehcBeTa B kpcTaqeckocpee”，分別在巴黎科學院和斯德哥爾摩科學院的雜志上發(fā)表)“論光在晶體中的傳播”(法文 Sur la propagation de lalumiére dans un milieu cristallisé，1884) 6“論光在晶體中的傳播”(瑞典文Om Ijusets fortplantninguti ett Kristallinisktmedium，1884) 7“剛體繞定點旋轉的一個問題”(俄文 aaa o BpeH TBepoo Tea okoo HeoBHo ToK，法文Sur le problème de la rotation dun corps solide autour dun point fixe，1889) 8“關于重物繞定點旋轉問題的一個特殊情形，其積分可借助時間的超橢圓函數(shù)實現(xiàn)”(俄文eMyap o oHOM acTHOM cyae aao BpaeH Teoo Tea BOKpy HeoBHO ToK，Koa HTeppoBaHe poBOTcC OMOb ybTpaTecKX yHK BpeMeH，法文Mémoire sur un cas particulier du problème de la rotation dun corps pesantautour dun pointfixe，où lintégration seffectue à laide de fonctions ultrae-lliptiques du temps，1890) 9“論確定一剛體統(tǒng)定點旋轉的微分方程組的一個性質”(俄文O oHOM cBocTBe CCTeMbI epeHaHIX ypaBHeH，opeee BpaeHe TBepoo Tea OKOO HeoBHo ToK，法文Surune propriété du système déquations differen-tielles qui définit la rotation dun corps solide autour dun point fixe，1890) 10“關于Bruns的一個定理”(俄文O oHoTeopeMe .pyHca，法文Sur un théorème de HBruns，1891) 以上的10篇論文，前3篇即是科瓦列夫斯卡婭在魏爾斯特拉斯指導下的博士論文(18701874)，關于光的折射的論文(第46篇)是她重返柏林時(18811883)撰寫的，后4篇論文是她在斯德哥爾摩大學任職期間完成的關于偏微分方程理論和剛體運動方面的論著是她最重要的工作，已被譯成英文傳世，下面作較詳細的介紹 18和19世紀的數(shù)學家們創(chuàng)立了大量類型的微分方程他們很快就發(fā)現(xiàn)，在許多情況下求方程的顯解歸于失敗于是，數(shù)學家們轉而去證明解的存在性1842年，AL柯西(Cauchy)給出了微分方程中第一個一般的存在性定理他討論了給定初始條件的微分方程的求解問題，證明了常微分方程和幾種線性偏微分方程解析解的存在性對于形如 (i=1，2， m) 的一階偏微分方程組，柯西問題就是求滿足初始條件 ui(0，x1；，xn)=wi(x1，xn)(i=1，m)的解u(x，t) 柯西假設Fi和wi都是解析的，用“優(yōu)函數(shù)方法”得到局部收斂的冪級數(shù)解他以一個簡單的解析函數(shù)代替原來的Fi，要求其冪級數(shù)展開的系數(shù)都是非負的，且不小于Fi對應項系數(shù)的絕對值所得到的方程組可以用明顯的求積法給出解，這就是原方程組具有初始條件的解的優(yōu)函數(shù) 科瓦列夫斯卡婭在她的論文中，把柯西的結果推廣到很一般的情形她首先考慮擬線性方程組 A如果u(x1，xr)10，u(x1，xr)n0是n個任意選擇的具有共同收斂域的冪級數(shù)，并且它們當(x1，xr)=(0，0)時的值均為0，那么在空間(t，x1，xr)中可確定n個冪級數(shù)，它們在u1，un空間中形式地滿足(1)，并且當t=0時，它們的值依次等于u(x1，xr)10，u(x1，xr)n0 B上述n個冪級數(shù)在某一域內(nèi)絕對收斂并在此域內(nèi)是確實滿足(1)的函數(shù) 接著，科瓦列夫斯卡婭又研究了方程組得到類似的結果 她在證明這些結果的過程中，利用了柯西和魏爾斯特拉斯的優(yōu)函數(shù)方法即以方程組 其中G，g都是常數(shù) 然后，科瓦列夫斯卡婭把柯西的存在唯一性定理推廣到包含高階時間導數(shù)的高階方程組的情形她考慮方程組 i，j=1，2，m；k0+k1+kn=kni；k0ni，和初始條件 假設所有的Fi在點 的一個鄰域內(nèi)解析，所有中j(k0)(x1，xn)在點(x01，x0n)的鄰域內(nèi)解析，她證明了上述柯西問題在點(t0，t01，t0n)附近有唯一的一組解析解 在現(xiàn)代數(shù)學文獻中，關于偏微分方程解的存在唯一性定理通常稱為柯西-科瓦列夫斯卡婭定理它的最簡形式可敘述為： 任意形如 附近存在唯一的解析解u(t，x)，它滿足 u(t0，x)=g(x)， 這里g(x)在點x0附近解析，并滿足 科瓦列夫斯卡婭的工作得到數(shù)學界的好評，法國數(shù)學家H龐加萊(Poincaré)曾說：“她極大地簡化了證明并給出定理的最終形式” 科瓦列夫斯卡婭最重要的貢獻是對剛體運動的研究剛體繞定點運動的方程是歐拉在1750年提出的，它們是： 其中，A，B，C是剛體關于定點的慣性橢球的主軸，M是剛體的質量，g是重力加速度，(，)是指向下方的單位向量，p，q，r是角速度沿各主軸的分量，(x0，y0，z0)是剛體重心的坐標 為確定任意時刻剛體的運動位置，要對這組方程求積1888年以前，只解決了兩種情形第一種情形要求滿足條件x0=y0=z0=0，曾被歐拉和SDB泊松(Poisson)研究過此時剛體的重心與固定點重合，這是不受力的對稱體的運動這時沒有外力作用于剛體，重力不影響運動，因此旋轉軸在剛體內(nèi)的固定位置上地球的自轉運動就是不受外力運動的一個例子 第二種情形要求A=B，x0=y0=0，曾由拉格朗日研究過此時，定點和重心位于同一軸上，有時這個軸是對稱軸的，比如陀螺的旋轉便是如此陀螺繞一個定點旋轉，這個定點不是重心，但它與重心都在陀螺的對稱軸上當陀螺旋轉時，它本身產(chǎn)生一個力矩，使陀螺保持平衡 以上兩種情形，都要求剛體是對稱的科瓦列夫斯卡婭在她的論文中指出，歐拉和拉格朗日所考慮的方程組，p，q，r，這六個未知量都是時間變量的單值函數(shù)，它們只有唯一的奇點，即極點方程組的通積分在通常情形下是否能保持這一性質呢？如果能保持這一性質，那么這些方程可以借助于下列級數(shù)進行積分： p=t-n1(p0+p1t+p2t2+)， q=t-n2(q0+q1t+q2t2+ )， r=t-n3(r0+r1t+r2t2+)， =t-m1(f0+f1t+f2t2+)， =t-m2(g0+g1t+g2t2+)， =t-m3(h0+h1t+h2t2+) 這里n1，n2，n3，m1，m2，m3都是正整數(shù)為了使這些級數(shù)能表示所研究方程組的通積分，它們應該包含5個任意常數(shù)比較方程組兩邊第一項的系數(shù)，不難確定 n1n2n3=1，m1=m2=m3=2 為確定系數(shù)p0，q0，r0，f0，g0，h0，科瓦列夫斯卡婭進一步分析方程，得到了剛體是非對稱的一種情形的解即當兩個慣性力矩相等，并等于第三個慣性力矩的二倍，而剛體重心在由相等的慣性矩決定的平面內(nèi)時，相當于在條件 A=B2C，z0=0 下給出了方程組的通積分 歐拉方程組具有如下形式的代數(shù)積分： Ap2+Bq2+Cr2-2Mg(x0+y0+z0)=C1， Ap+Bq+CrC2， 2+()2+()2=1 科瓦列夫斯卡婭在她限定的條件下導出了第四積分她用在xy坐標平面內(nèi)的轉軸變換和改變長度單位的辦法使y0=0，C=1，此時歐拉方程組變?yōu)椋?其中C0=Mgx0那么三個代數(shù)積分是 2(p2+q2)+2=2C0+6l1， 2(p+q)+r=2l， 2+()2+()2=1 此處l與l1是積分常數(shù)然后她導出第四積分：(p+qi)2+C0(+i)(p-qi)2+C0(-i)=k2，k為任意常數(shù)。接著，她令x1=p+qi，x2=p-qi，經(jīng)過幾次變量替換及代數(shù)運算，得到方程 這里R1(S)是5次多項式，其零點是唯一的，S1和S2是x1與x2的多項式這組方程引出了超橢圓積分，科瓦列夫斯卡婭用函數(shù)解出了這些積分 科瓦列夫斯卡婭還證明，她引進的關于p，q，r，的級數(shù)展開式是歐拉方程組的解的必要條件是A，B，C，x，y，z滿足下列四個條件之一： (1)A=B=C， (2)x0=y0=z0(歐拉研究的情形)， (3)A=B，x0=y0=0(拉格朗日研究的情形)， (4)A=B=2C，z0=0(科瓦列夫斯卡婭研究的情形)。 剛體繞定點旋轉問題如圖1 (引自PPolubarinova-Kochina，Sophia vasilyevna Kovalevskaya，1957，第60頁)所示 關于剛體繞定點旋轉問題的研究，自從拉格朗日之后，大約有一個世紀停步不前科瓦列夫斯卡婭的工作，打破了100年來的僵持局面，開辟了在近代力學中應用數(shù)學分析方法的新方向正是這項工作使她獲得法國科學院的鮑羅丁獎金法國科學院舉行了隆重的授獎儀式科學院院長皮埃爾·讓森(Pierre Janssen)先生親自到會致詞，高度評價了科瓦列夫斯卡婭的成就他說：“當今最輝煌、最難得的榮譽桂冠，有一頂將落到一位婦女頭上本科學院的成員們發(fā)現(xiàn)，她的工作不僅證明她擁有廣博深刻的科學知識，而且顯示了她的巨大的創(chuàng)造才智” 在文學方面，科瓦列夫斯卡婭曾和瑞典女作家安娜·列夫勒(Anna Leffler)共同創(chuàng)作劇本為幸福而斗爭(apa a CTaCTe 1877)，獲得成功她還寫了幾部小說，如童年的回憶(Ba coM-HaH eTCTBa 1890)、一個女虛無主義者(H -CTKa，1844)等其中以童年的回憶最為著名，已被譯成多種文字 1948年，蘇聯(lián)科學院出版了科瓦列夫斯卡婭科學著作全集1950年，莫斯科和斯德哥爾摩分別舉行了隆重的紀念大會，紀念科瓦列夫斯卡婭誕生100周年