第11講一元二次方程根的分布結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).圖 2-11-1圖 2-11-2方程有兩根(如圖 2-11-3)：x2k，x1 k af(k)0；圖 2-11-3方程有且只有一根在區(qū)間(k1，k2)內(nèi) f(k1)f(k2)0(如圖2-11-4)；圖 2-11-4方程兩根滿(mǎn)足 k1x1x2k2(如圖 2-11-5)圖 2-11-51.若集合 Ax|ax2ax10，則實(shí)數(shù) a 的值的集合是(D)A.a|0a4C.a|0a4B.a|0a4D.a|0a42.關(guān)于 x 的方程 x2axa10 有異號(hào)的兩個(gè)實(shí)根，則 a的取值范圍是_.a74.關(guān)于 x 的方程 x2axa240 有兩個(gè)正根，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是_.2a433考點(diǎn)1一元二次方程根的分布例1：若關(guān)于x 的一元二次方程(m1)x22(m1)xm0，分別滿(mǎn)足下列條件時(shí)，求 m 的取值范圍.(1)一根在(1,2)內(nèi)，另一根在(1,0)內(nèi)；(2)一根在(1,1)，另一根不在(1,1)內(nèi)；(3)一根小于 1，另一根大于 2；(4)一根大于1，另一根小于1；(5)兩根都在區(qū)間(1,3)；(6)兩根都大于 0；(7)兩根都小于 1；(8)在(1,2)內(nèi)有解.(2,1)【互動(dòng)探究】1.(2018 年山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)如果方程 x2(m1)xm220 的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于 1，另一個(gè)大于 1，那么實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_.解析：記 f(x)x2(m1)xm22，由題意，可知 f(1)m2m20.解得2m1.考點(diǎn)2一元二次方程根的分布的應(yīng)用例2：已知拋物線(xiàn) yx2mx1 與以 A(3,0)，B(0,3)為端點(diǎn)的線(xiàn)段 AB 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.思維點(diǎn)撥：由直線(xiàn)AB 的方程為 yx3，得線(xiàn)段 AB 的方程為：yx3(0 x3)，由題設(shè)拋物線(xiàn) yx2mx1與線(xiàn)段 AB：yx3(0 x3)恰有一個(gè)公共點(diǎn)，問(wèn)題歸結(jié)為方程組yx3，yx2mx1在 0 x3 內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.解：線(xiàn)段 AB 的方程為 yx3(0 x3).代入拋物線(xiàn)方程，得 x2(m1)x40(0 x3)，問(wèn)題歸結(jié)為方程 x2(m1)x40 在0,3內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解.令 f(x)x2(m1)x4，結(jié)合 f(x)x2(m1)x4 在區(qū)間0,3上的圖象可知：m3 時(shí)，方程有兩相等實(shí)根，且)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間0,3內(nèi).【互動(dòng)探究】2.若二次函數(shù) yx2mx1 的圖象與兩端點(diǎn)為 A(0,3)，B(3,0)的線(xiàn)段 AB 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求 m 的取值范圍.解：線(xiàn)段 AB 的方程為 xy3(0 x3)，由題意，得方程組xy3(0 x3)，yx2mx1有兩組實(shí)數(shù)解.代入，得 x2(m1)x40(0 x3)有兩個(gè)實(shí)根.令 f(x)x2(m1)x4，思想與方法 運(yùn)用分類(lèi)討論思想判斷方程根的分布例題：已知函數(shù) f(x)ax2x13a(aR)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解：方法一，當(dāng) a0 時(shí)，f(x)x1，令 f(x)0，得 x1，是區(qū)間1,1上的零點(diǎn).當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)分為三種情況：方程 f(x)0 在區(qū)間1,1上有重根，【規(guī)律方法】(1)函數(shù) f(x)ax2x13a(aR)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，應(yīng)該分類(lèi)討論：討論 a0 與a0；討論有一個(gè)零點(diǎn)或有兩個(gè)零點(diǎn)；如果只有一個(gè)零點(diǎn)還要討論是否是重根；(2)函數(shù) f(x)的零點(diǎn)不是“點(diǎn)”，它是一個(gè)數(shù)，是方程 f(x)0 的實(shí)數(shù)根；(3)準(zhǔn)確理解根的存在性定理：f(x)在a，b上連續(xù)；f(a)f(b)0；這是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，不是必要條件，并且滿(mǎn)足f(a)f(b)0 時(shí)，f(x)在a，b上至少有一個(gè)零點(diǎn)；不滿(mǎn)足f(a)f(b)0 時(shí)，f(x)在a，b上未必?zé)o零點(diǎn)，也可能有多個(gè)零點(diǎn).【互動(dòng)探究】3.已知二次函數(shù) f(x)x2(2a1)x12a.(1)判斷命題：“對(duì)于任意的 aR(R為實(shí)數(shù)集)，方程 f(x)1 必有實(shí)數(shù)根”的真假，并寫(xiě)出判斷過(guò)程；(2)若 yf(x)在區(qū)間(1,0)及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.解：(1)“對(duì)于任意的 aR(R為實(shí)數(shù)集)，方程 f(x)1 必有實(shí)數(shù)根”是真命題.依題意，得 f(x)1 有實(shí)數(shù)根，即 x2(2a1)x2a0 有實(shí)數(shù)根.(2a1)28a(2a1)20 對(duì)于任意的 aR(R為實(shí)數(shù)集)恒成立，x2(2a1)x2a0 必有實(shí)數(shù)根.f(x)1 必有實(shí)數(shù)根.