8.6 分布擬合的分布擬合的 檢驗法檢驗法2前面幾節(jié)中介紹的是在總體分布的形式已知時關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)檢驗。但在實際問題中，有時不能預(yù)先知道總體分布的形式。這時，就要用假設(shè)檢驗的方法，根據(jù)樣本的觀察值判斷總體是否具有某種分布，這類對總體分布形式的檢驗問題，稱為分布擬合檢驗。它是非參數(shù)檢驗中較為檢驗法。主要的內(nèi)容。本節(jié)只介紹分布擬合的 x2關(guān)于總體分布的 檢驗，是在總體x2 的分布為未知時，根據(jù)它的 個觀察nX值 來檢驗關(guān)于總體分布假設(shè)xxxn,.,21:0H總體 的分布函數(shù)為 的一種方法。X)(0 xF設(shè)總體 的分布未知，從總體中抽X取一個容量為 的樣本 ，檢n),.,(21XXXn分下面四個步驟進行。驗總體分布是否等于某確定分布 時，)(0 xF（1）檢驗假設(shè)).()(:);()(:0100 xxFxxFFHFH要求當 為真時，的形式H0)()(00 xxFF及參數(shù)都是已知的。但實際上參數(shù)值往往是未知的。這時，需要先用參數(shù)估計法（如矩估計法、極大似估計法）來求出參數(shù)的估計值。（2）由樣本構(gòu)造相應(yīng)的統(tǒng)計量。在實數(shù)軸上選取 個分點 將數(shù)1ktttk121,.,軸分成 個互不相交的區(qū)間kkittSiii,.,2,1,1其中 。當 為真時，記 為ttk,0H0pi總體 落在 內(nèi)的概率，即XSi),()(1011tFtpXP),()()(1020212tFtFttpXP.),()()(1001tFtFttpiiiiiXP).(1)(101tFtpkkkP 為 個樣本值落入 的個數(shù)，即組minSi頻數(shù)（一般要求 ，否則可合并相5mi鄰區(qū)間）。顯然有 。由頻率的穩(wěn)nkiim1定性可知，在 為真的條件下，的 H0pmiin值很小。作統(tǒng)計量.122)(kiippnmxnii稱為 統(tǒng)計量?？梢宰C明，當 充分大時x2n ，不論總體屬于什么分布，都近似地有50n.),1(1222)(kiirkniixppnmx其中 為被估計參數(shù)的個數(shù)r(3)對于給定的顯著性水平 ，由 x2分布表可查得臨界值 ，使)1(2 rkx.)1(2(2rkxxP因此，檢驗的拒絕域為),1(2(2rkxxW這里拒絕域為 分布的右側(cè)，是因為 x2H1成立時，有變大的趨勢。x2（4）由樣本觀察值計算出 的值。x2若 成立，則拒絕原假設(shè) ，)1(22rkxxH0即不能認為總體分布函數(shù)是 。若)(0 xF 成立，則接受原假設(shè) ，即)1(22rkxxH0可認為總體分布函數(shù)是 。)(0 xF例例1 從維尼綸正常生產(chǎn)時的生產(chǎn)報表上看到維尼綸纖度（表示纖維粗細的一量）的情況，有如下100個數(shù)據(jù)：,39.1,47.1,42.1,32.1,40.1,37.1,41.1,43.1,49.1,36.1,39.1,42.1,35.1,45.1,42.1,42.1,34.1,40.1,36.1,41.1,36.1,37.1,34.1,42.1,30.1,42.1,42.1,39.1,42.1,44.1,45.1,40.1,48.1,42.1,30.1,44.1,37.1,37.1,34.1,37.1,40.1,38.1,39.1,40.1,48.1,36.1,53.1,39.1,46.1,39.1,45.1,39.1,48.411.1,43.1,38.1,43.1,50.1,45.1,36.1,47.1,42.1,44.1,41.1,41.1,31.1,45.1,39.1,37.1,38.1,42.1,42.1,43.1,42.1,35.1,38.1,40.1,39.1,36.1,35.1,38.1,37.1,27.1,37.1,36.1,46.1,37.1,41.1,40.1,42.1.37.1,55.1,48.1,44.1,41.1,47.1,42.1,43.1,34.1,42.1試判斷纖度是否服從正態(tài)分布？)05.0(解解 本題是根據(jù)纖度的容量為100知。用矩法求出其估計值的樣本值，推算總體 （纖度）是否服X從正態(tài)分布。其中兩個參數(shù) 和 未2.0482.0,002322.0,406.122sxs（1）提出原假設(shè));,406.1(:0482.020NXH（2）在 為真的條件下，統(tǒng)計量H0).1(2122)(rkniikiippnm由于總體中有兩個參數(shù)用估計值代替，因此 。2r為計算出統(tǒng)計量 的值，首先在x2數(shù)軸上選取分點，劃分區(qū)間，然后統(tǒng)計出組頻數(shù) 本例由100個數(shù)據(jù)，可劃分mi為10組（通常樣本容量在 時，可10050分為 組），由于100個數(shù)據(jù)中最大106與最小者分別為1.55和1.27（加下劃線表示），這時組距按 028.01027.155.1c可取為0.03.取始點 （比數(shù)據(jù)中265.1最小值略小一點，即比最小值精度多一位，且末位數(shù)取5，）但不作為第一個分便得到如下9個分點：點（因為在 以下沒有實驗數(shù)據(jù)），這.535.1,505.1,475.1,445.1,415.1,385.1,355.1,325.1,295.1將數(shù)軸分為10個區(qū)間：,535.1,.,355.1,325.1,325.1,295.1,295.1,然后統(tǒng)計出頻數(shù) 。mi標準變換其次，計算 ，為此需將總體作為pi,0482.0406.1XU再計算 ，最后計算出 值。10,.,2,1ipix2統(tǒng)一列出計算表如下：組限的中心Umipinpmiin)(2nmippnminii)(2295.1325.1295.1355.1325.1385.1355.1415.1385.1445.1415.1475.1445.1505.1475.1535.1505.1535.130.2 68.130.206.168.144.006.119.044.081.019.043.181.005.243.168.205.268.24722232510611107.158.381.954.1853.2457.2126.1362.565.137.00516.69716.113409.27649.116273.101296.04185.06457.00954.05454.08051.0170.046.353.143.326.346.236.0,0107.0)30.2()30.2(1UPp,0358.0)30.2()68.1(2p,0981.0)68.1()106.0(3p,1854.0)06.1()44.0(4p,2453.0)44.0()19.0(5p,2157.0)19.0()81.0(6p,1326.0)81.0()43.1(7p,0562.0)43.1()05.2(8p,0165.0)05.2()68.2(9p.0037.0)68.2(110p（3）根據(jù)計算實踐，要求 。否5pin則適當合并區(qū)間，使?jié)M足 這個要求。5pin本例中前三組合并，后三組合并，由原來k的10變?yōu)?。對于給定的顯著性水平 ，01.0查 分布表確定臨界值x2,345.11)126()1(201.02xxrk和.01.0)345.11(2xP（4）由樣本值，通過計算表，得到).3(3.115235.2201.02xx尼綸纖度服從正態(tài)分布，亦即可以認為因此，接受原假設(shè) ，即可以認為維H0).,406.1(0482.02NX從本例中可以看出，若所檢驗的總體分布是連續(xù)型的，計算量比較大，也比較麻煩。若所檢驗的總體為離散型的，則問題往往比較簡單一些。例例2 某電話交換臺在一個小時內(nèi)接到電話用戶呼喚次數(shù)按每分鐘統(tǒng)計得到記錄如下表：012610171686543210呼叫次數(shù)頻 數(shù)7？)05.0(試檢驗電話呼喚次數(shù) 是否服從泊松分布X解解 本題所要檢驗的總體分布是離散型的?？梢园?的一個取值 看做一個Xi分組，相應(yīng)的 看成是第 組的組頻數(shù)。mii（1）原假設(shè) 。)(:0PXH總體分布中只有一個未知參數(shù) ，并得 的估計值。且 是總體 的數(shù)學(xué)期望。用矩估計法可X.2)0.17216180(601 x所以 ，即分布列為)2(PX,.2,1,!)(22iiiXPei（2）作統(tǒng)計量.)(22ppnminii在 成立的條件下，有H0,270671.0)1(,1353385.0)0(10XPXPpp,180447.0)3(,270671.0)2(32XPXPpp,036089.0)5(,090024.0)4(54XPXPpp.004534.0)7(,012030.0)6(76XPXPpp列出計算表如下：0.27070.72162.166255.412640.06270.67910.8341030.03540.57516.2421720.00360.058616.2421610.00170.01398.11880mipinpmiini)(2nmippnminii)(2-0.118-0.2420.758-0.8240.4320.1870.02180.1252x2（3）如表將后四組合為一組，此時組數(shù)為 又 。對給定的顯著性水5k1r平 ，查 分布表得臨界值05.0 x2,815.7)115()1(205.02rk使.05.0)815.7(2P（4）由樣本值，通過計算表得到).3(815.71252.0205.02因此，在 下接受原假設(shè)，即認為05.0呼喚次數(shù) 服從 的泊松分布。X2