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執(zhí)筆人： 周 榮 審核 ：于靈軍 姚宏剛 時間：2015年 月 日 星期： 班級： 九（ ）姓名 21．1 一元二次方程（1） 學習目標： 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應用一元二次方程概念解決一些簡單題目． 1．通過設置問題，建立數(shù)學模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義． 2．一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念． 3．解決一些概念性的題目． 4．通過生活學習數(shù)學，并用數(shù)學解決生活中的問題來激發(fā)學生的學習熱情． 重難點： 重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題． 難點：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念． 活動1 ：閱讀教材第2至3頁，并完成以下內(nèi)容。 問題1 要設計一座2m高的人體雕像，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，雕像的下部應設計為多高？ 分析：設雕像下部高x m，則上部高________,得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ① 問題2 如圖，有一塊長方形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600c㎡，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？ x 分析：設切去的正方形的邊長為x cm，則盒底的長為________________,寬為_____________.得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ 問題3 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場。根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？ 分析：全部比賽的場數(shù)為___________ 設應邀請x個隊參賽,每個隊要與其他_________個隊各賽1場，所以全部比賽共_________________場。列方程 ____________________________ 化簡整理得 ____________________________ ③ 請口答下面問題： （1）方程①②③中未知數(shù)的個數(shù)各是多少？___________ （2）它們最高次數(shù)分別是幾次？___________ 方程①②③的共同特點是： 這些方程的兩邊都是_________，只含有_______未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_____（二次）的方程. 1.一元二次方程:_____________________________________________ __________________________________________________________. 2. 一元二次方程的一般形式:____________________________ 一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是____________，_____是二次項系數(shù)；bx是__________, _____是一次項系數(shù)；_____是常數(shù)項。 （注意：二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項都要包含它前面的符號。二次項系數(shù)是一個重要條件，不能漏掉。） 3. 例 將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項． 活動2 知識運用 課堂訓練 例1:判斷下列方程是否為一元二次方程： 1. 將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、及常數(shù)項： ⑴ 5x2-1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3 2.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x; ⑵一個長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長x； ⑶把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長x。 3.求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程． 活動3 歸納內(nèi)化 一元二次方程： 1. 概念 2.一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） 活動4：課堂檢測 1．在下列方程中，一元二次方程有_____________． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0 2. 方程2x2=3（x-6）化為一般式后二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（ ）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p為任意實數(shù) 4．方程3x2-3=2x+1的二次項系數(shù)為_______，一次項系數(shù)為 ______， 常數(shù)項為_________． 5. 將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、及常數(shù)項： ⑴ 3x2+1=6x ⑵ 4x2+5x=81 ⑶ x(x+5)=0 ⑷ (2x-2)(x-1)=0 ⑸ x(x+5)=5x-10 ⑹ (3x-2)(x+1)=x(2x-1) 活動5：拓展延伸 1．當a______時，關(guān)于x的方程a（x2+x）=x2-（x+1）是一元二次方程. 2．若關(guān)于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，試求m的值，并計算這個方程的各項系數(shù)之和． 3．關(guān)于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？ 21．1 一元二次方程（2） 學習目標： 1．了解一元二次方程根的概念，會判定一個數(shù)是否是一個一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題． 2．提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根的概念；再由根的概念判定一個數(shù)是否是根．同時應用以上的幾個知識點解決一些具體問題． 重點、難點 重點：判定一個數(shù)是否是方程的根； 難點：由實際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實際問題的根． 活動1：閱讀教材P2 — P3 , 完成課前預習 1：知識準備 一元二次方程的一般形式:____________________________ 2：探究 問題: 一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？ 分析：設苗圃的寬為xm，則長為_______m． 根據(jù)題意，得___________________． 整理，得________________________． 1)下面哪些數(shù)是上述方程的根？ 0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等號左右兩邊相等的_______________的值。 3)將x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根嗎？ 4)雖然上面的方程有兩個根（______和______）但是苗圃的寬只有一個答案，即寬為_______.因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解． 練習：1.你能想出下列方程的根嗎？ (1) x2 -36 = 0 (2) 4x2-9 = 0 2.下面哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。 活動2：知識運用 課堂訓練 例1.下面哪些數(shù)是方程x2-x-6=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。 例2.你能用以前所學的知識求出下列方程的根嗎？ (1) (2) (3) 隨堂訓練 1.寫出下列方程的根： （1）9x2 = 1 （2）25x2-4 = 0 （3）4x2 = 2 2. 下列各未知數(shù)的值是方程的解的是（ ） A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-2 3.根據(jù)表格確定方程=0的解的范圍____________ x 1.0 1.1 1.2 1.3 0.5 -0.09 -0.66 -1.21 4.已知方程的一個根是1，則m的值是______ 5.試寫出方程x2-x=0的根，你能寫出幾個？ 活動3：歸納內(nèi)化 1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。 2.由實際問題列出方程并得出解后，還要考慮這些解______________ 活動4：課堂檢測 1.如果x2-81=0，那么x2-81=0的兩個根分別是x1=________，x2=__________． 2.一元二次方程的根是__________；方程x（x-1）=2的兩根為________ 3.寫出一個以為根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次項系數(shù)為1：_________________。 4.已知方程5x2+mx-6=0的一個根是x=3，則m的值為________． 5. 若關(guān)于X的一元二次方程的一個根是0，a的值是幾？你能得出這個方程的其他根嗎？ 活動5：拓展延伸 1. 若，則_____________。已知m是方程的一個根，則代數(shù)式________。 2. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一個根，求（a-b）2+4ab的值． 3. 方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________． 4.把化成一般形式是______________,二次項是____一次項系數(shù)是_______，常數(shù)項是_______。 5.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），則=（ ）． A．1 B．-1 C．0 D．2 6.方程x（x-1）=2的兩根為（ ）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 7.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2 8. 請用以前所學的知識求出下列方程的根。 ⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x2+2x+1=4 ⑷x2-6x+9=0 9.如果2是方程x2-c=0的一個根，那么常數(shù)c是幾？你能得出這個方程的其他根嗎？ 10.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次項系數(shù)與常數(shù)項之和等于一次項系數(shù)，求證：-1必是該方程的一個根． 21.2.1 直接開平方法解一元一次方程 學習目標： 1、理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，并能應用它解決一些具體問題． 2、提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重點：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領(lǐng)會降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想． 難點：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 活動1、閱讀教材第5頁至第6頁的部分，完成以下問題 一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱長嗎？ 我們知道x2=25，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±5，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？ 計算：用直接開平方法解下列方程： （1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x-1)2-9=108 解一元二次方程的實質(zhì)是: 把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”． 歸納：如果方程能化成 的形式，那么可得 活動2 知識運用 課堂訓練 例1用直接開平方法解下列方程： （1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2-24n+16=11 練習： （1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3 （3）(x+6)2-9=0 （4）3(x-1)2-6=0 （5）x2-4x+4=5 （6）9x2+6x+1=4 （7）36x2-1=0 （8）4x2=81 （9）(x+5)2=25 （10）x2+2x+1=4 活動3 歸納內(nèi)化 應用直接開平方法解形如 ，那么可得 達到降次轉(zhuǎn)化之目的． 活動4 課堂檢測 一、選擇題 1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根為（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．無實數(shù)根 3．用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是（ ）． A．（x-）2=，x=± B．（x-）2=-，原方程無解 C．（x-）2=，x1=+，x2= D．（x-）2=1，x1=，x2=- 4、若8x2-16=0，則x的值是_________． 5、如果方程2（x-3）2=72，那么，這個一元二次方程的兩根是________． 活動5 拓展延伸 1．如果a、b為實數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______． 2．用直接開平方法解下列方程： （1）（2-x）2-81＝0 （2）2（1-x）2-18＝0 （3）（2-x）2＝4 3．解關(guān)于x的方程（x+m）2=n． 4、某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻（墻長25m），另三邊用木欄圍成，木欄長40m． （1）雞場的面積能達到180m2嗎？能達到200m嗎？ （2）雞場的面積能達到210m2嗎？ 5．在一次手工制作中，某同學準備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學制成方框，并說明你制作的理由嗎？ 21.2.2配方法解一元二次方程（1） 學習目標 1、理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題． 2、通過復習可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟． 重點：講清“直接降次有困難”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟． 難點：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧． 活動1、閱讀教材第7頁至第9頁的部分，完成以下問題 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 問題：要使一塊長方形場地的長比寬多6cm，并且面積為16cm2,場地的長和寬應各是多少？ 思考？ 1、以上解法中，為什么在方程x2+6x=16兩邊加9？加其他數(shù)行嗎？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 這也是配方法的基本 4、配方法的關(guān)鍵是什么？ 用配方法解下列關(guān)于x的方程 （1）2x2-4x-8=0 （2）x2-4x+2=0 （3）x2-x-1=0 （4）2x2+2=5 總結(jié)：用配方法解一元二次方程的步驟： 活動2 知識運用 課堂訓練 例1用配方法解下列關(guān)于x的方程： （1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0 （4）x2+10x+9=0 （5）x2-x-=0 （6）3x2+6x-4=0 （7）4x2-6x-3=0 （8）x24x-9=2x-11 （9）x(x+4)=8x+12 【課堂練習】： 1. 填空： （1）x2+10x+______=（x+______）2；（2）x2-12x+_____=（x-_____）2 （3）x2+5x+_____=（x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 2．用配方法解下列關(guān)于x的方程 （1） x2-36x+70=0． （2）x2+2x-35=0 （3）2x2-4x-1=0 （4）x2-8x+7=0 （5）x2+4x+1=0 （6）x2+6x+5=0 （7）2x2+6x-2=0 （8）9y2-18y-4=0 （9）x2+3=2x 活動3 歸納內(nèi)化 用配方法解一元二次方程的步驟： 活動4 課堂檢測 1．將二次三項式x2-4x+1配方后得（ ）． A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3 2．已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（ ）． A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個關(guān)于x的完全平方式，則m等于（ ）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9 4．（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2 （3）x2+px+_____=（x+______）2． 5、（1）方程x2+4x-5=0的解是________．（2）代數(shù)式的值為0，則x的值為________． 活動5 拓展延伸 一、解下列方程 （1）x2+10x+16=0 （2）x2-x-=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x-9=0 二、綜合提高題 1．已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長． 2．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值． 21.2.3用公式法解一元二次方程 學習目標 1、理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程． 2、復習具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0） 的求根公式的推導公式，并應用公式法解一元二次方程． 重點：求根公式的推導和公式法的應用． 難點：一元二次方程求根公式法的推導． 活動1 閱讀教材第10頁至第12頁的部分，完成以下問題 1、用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟： 2、如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方 法的步驟求出它們的兩根？ 問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）試推導它的兩個根x1= x2= 分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當成一個具 體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去． 解：移項，得： ，二次項系數(shù)化為1，得 配方，得： 即 ∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三種情況： （1） b2-4ac＞0，則＞0 直接開平方，得： 即x= ∴x1= ，x2= （2） b2-4ac=0，則=0此時方程的根為 即一元二次程 ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個 的實根。 （3） b2-4ac＜0，則＜0，此時（x+）2 ＜0，而x取任何實數(shù)都不 能使（x+）2 ＜0，因此方程 實數(shù)根。 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定， 因此：（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac≥0時，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根，當b2-4ac＜0，方程沒有實數(shù)根。 （2）x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 實數(shù)根，也可能有 實根或者 實根。 （5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式，通常用希臘字Δ表示它，即Δ= b2-4ac 用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 活動2 知識運用 課堂訓練 用公式法解下列方程． （1）x2-4x-7=0 （2）2x2-x+1=0 （3）5x2-3x=x+1 （4）x2+17=8x 練習： 1、在什么情況下，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？ 2、寫出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的求根公式。 3、方程x2-4x+4=0的根的情況是（ ） A有兩個不相等的實數(shù)根 B有兩個相等的實數(shù)根 C有一個實數(shù)根 D沒有實數(shù)根 4、用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 （5）x2-x-=0 （6）3x2-6x-2=0 （7）x2+4x+8=4x+11 (8) x（2x-4）=5-8x （9）x2-x-=0 （10）x2+4x+8=2x+11 （11）x（x-4）=2-8x (12) x2+x+10=0 5、利用判別式判定下列方程的根的情況：（1）2x2-3x-=0 （2）16x2-24x+9=0 （3）x2-x+9=0 （4）3x2+10x=2x2+8x 活動3 歸納內(nèi)化 （1）求根公式的概念及其推導過程； （2）公式法的概念； （3）應用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情況． 活動4 課堂檢測 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）． A．x= B．x= C．x= D．x= 2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）． A.x1=，x2= B.x1=6，x2= C.x1=2，x2= D.x1=x2=- 3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2 4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________． 5．若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____． 活動5 拓展延伸 1．用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0． 2．設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根， （1）試推導x1+x2=-，x1·x2=； （2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值． 3、 某數(shù)學興趣小組對關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問題． （1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出． 21.2.4因式分解法 學習目標： 1．會用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。 2．能根據(jù)具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性。 重點、難點 1、 重點：應用分解因式法解一元二次方程 2、 難點：靈活應用各種分解因式的方法解一元二次方程. 活動1 閱讀教材P13— P14 , 完成課前預習 1：知識準備 將下列各題因式分解 am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2= 因式分解的方法： 解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法） 2：探究 仔細觀察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法嗎？ 3、歸納： （1）對于一元二次方程，先因式分解使方程化為__________ _______的形式，再使_________________________，從而實現(xiàn)_____ ____________， 這種解法叫做__________________。 （2）如果，那么或，這是因式分解法的根據(jù)。 如：如果，那么或_______，即或________。 練習1、說出下列方程的根： （1） （2） 練習2、用因式分解法解下列方程： (1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-20x+20=0 活動2 知識運用 課堂訓練 用因式分解法解下列方程 (1) (2) （3） (4) （5）4x2-144=0 （6）(2x-1)2=(3-x)2 （7） （8）3x2-12x=-12 隨堂訓練 1、 用因式分解法解下列方程 （1）x2+x=0 （2）x2-2x=0 （3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0 （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2 2、把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑。 活動3 歸納內(nèi)化 因式分解法解一元二次方程的一般步驟 （1） 將方程右邊化為 （2） 將方程左邊分解成兩個一次因式的 （3） 令每個因式分別為 ，得兩個一元一次方程 （4） 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解 活動4 課堂檢測 1．方程的根是 __________ 2．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________ 3．方程（x-1）（x-2）=0的兩根為x1、x2，且x1>x2，則x1-2x2的值等于___ 4．若（2x+3y）2+4（2x+3y）+4=0，則2x+3y的值為_________． 5．已知y=x2-6x+9，當x=______時，y的值為0；當x=_____時，y的值等于9． 活動5 拓展延伸 1．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ） A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2 2．若關(guān)于x的一元二次方程的根分別為-5，7，則該方程可以為（ ） A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0 3．方程（x+4）（x-5）=1的根為（ ） A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上結(jié)論都不對 4、用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x2+x（x-5）=0 21.2.5解一元二次方程 學習目標： 1、理解并掌握用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法 2、選擇合適的方法解一元二次方程 重點、難點 3、 重點：用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 4、 難點：選擇合適的方法解一元二次方程 活動1： 一、梳理知識 1、解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次 2、一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據(jù)和適用范圍如下表： 方法名稱 理論根據(jù) 適用方程的形式 直接開平方法 平方根的定義 或 配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程 公式法 配方法 所有的一元二次方程 因式分解法 兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0 一邊是0，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積的一元二次方程 3、一般考慮選擇方法的順序是： 直接開平方法、分解因式法、配方法或公式法 二、用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋? 1. 2. 3、X（x-2）+X-2=0 4. 5、5x2-2X- =x2-2X+ 6. 活動2 知識運用 課堂訓練： 1．用直接開方法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2．用因式分解法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 3．用配方法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 4．用公式法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 活動3： 歸納內(nèi)化 解一元一次方程的方法： 活動4 鞏固提高 1．用直接開方法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2．用因式分解法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 3．用配方法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 4．用公式法解方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 21.2.6一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 學習目標： 1．理解并掌握根與系數(shù)關(guān)系：，； 2．會用根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系解題. 重點、難點 重點：理解并掌握根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系. 難點：會用根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系解題； 活動1：閱讀教材P15 — 16 , 完成課前預習 1、知識準備 ( 1 ) 一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的解法： （3）一元二次方程的求根公式： 2、探究1：完成下列表格 方 程 2 5 x2+3x-10=0 -3 問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ ①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； ②x2+px+q=0的兩根,用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。 探究2：完成下列表格 方 程 2x2-3x-2=0 2 -1 3x2-4x+1=0 1 問題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？ 請完善規(guī)律； ①用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律； ② ax2+bx+c=0的兩根,用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。 3、利用求根公式推到根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理） ax2+bx+c=0的兩根= , = = = = = = = = = 練習1：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根和與兩根積： （1） （2） （3） 活動2 知識運用 課堂訓練： 例1：不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積： （1）x2-6x-15=0 （2）3x2+7x-9=0 （3）5x-1=4x2 例2：已知方程的一個根是 -3 ，求另一根及K的值。 例3:已知α,β是方程x2-3x-5=0的兩根,不解方程,求下列代數(shù)式的值 例4:已知關(guān)于x的方程3x2-5x-2=0,且關(guān)于y的方程的兩根 是x方程的兩根的平方,則關(guān)于y的方程是__________ 隨堂訓練 （1）x2-3x=15 （2）5x2-1=4x2+x （3）x2-3x+2=10 （4）4x2-144=0 （5）3x（x-1）=2（x-1） （6）（2x-1）2=（3-x）2 活動3： 歸納內(nèi)化 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系： 活動4 課堂檢測 1． 若方程(a≠0)的兩根為，則= ，= __ 2 ．方程 則= ，= __ 3 ．若方程的一個根2，則它的另一個根為____ p=____ 4 ．已知方程的一個根1，則它的另一根是____ m= ____ 5 ．若0和-3是方程的兩根，則p+q= ____ 活動5 拓展延伸 1 ．在解方程x2+px+q=0時，甲同學看錯了p，解得方程根為x=1與x=-3；乙同學看錯了q，解得方程的根為x=4與x=-2，你認為方程中的p=——，q=——。 2 ．兩根均為負數(shù)的一元二次方程是 （ ） A BC D 3 ．若方程的兩根中只有一個為0，那么 （ ） A p=q=0 B P=0,q≠0 C p≠0,q=0 D p≠0, q≠0） 4、不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積： （1）x2-5x-10=0 （2）2x2+7x+1=0 （3）3x2-1=2x+5 （5）x（x-1）=3x+7 （5）x2-3x+1=0 (6)3x2- 2x=2 21.3.1 實際問題與一元二次方程（1） 學習目標： 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型．并能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理． 2.經(jīng)歷將實際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運用一元二次方程對之進行描述。 3.通過解決傳播問題，學會將實際應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐應用意識． 4.通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學知識應用的價值，了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用． 重點、難點 重點：列一元二次方程解有關(guān)傳播問題、平均變化率問題的應用題 難點：發(fā)現(xiàn)傳播問題、平均變化率問題中的等量關(guān)系 活動一 閱讀教材P19— P20, 完成課前預習 探 究： 問題1：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？ 分析：1、設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么患流感的這一個人在第一輪中傳染了_______人，第一輪后共有______人患了流感； 2、第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了_______人，第二輪后共有_______人患了流感。 則：列方程 ， 解得 即平均一個人傳染了 個人。 再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？ 問題2：兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？（精確到0.001） 絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）÷2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大． 相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢?也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過計算來說明這個問題． 分析：①設甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為 元，兩年后甲種藥品成本為 元． 依題意，得 解得：x1≈ ，x2≈ 。 根據(jù)實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為 。 ②設乙種藥品成本的平均下降率為y．則， 列方程： 解得： 答：兩種藥品成本的年平均下降率 ． 思考：經(jīng)過計算，你能得出什么結(jié)論？成本下降額較大的藥品，它的下降率一定也較大嗎？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀態(tài)？ 活動2：典型例題，初步應用 例1：某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求每個支干長出多少小分支？ 例2：青山村種的水稻2001年平均每公頃產(chǎn)7200，2003年平均每公頃產(chǎn)8460，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率. 活動3：歸納內(nèi)化 1.列一元二次方程解應用題的一般步驟: (1)“設”，即設_____________，設未知數(shù)的方法有直接設和間接設未知數(shù)兩種； (2)“列”，即根據(jù)題中________ 關(guān)系列方程； (3)“解”，即求出所列方程的_________； (4)“檢驗”，即驗證是否符合題意； (5)“答”，即回答題目中要解決的問題。 2.增長率=（實際數(shù)-基數(shù)）/基數(shù)。平均增長率公式： 其中a是增長（或降低）的基礎(chǔ)量，x是平均增長（或降低）率，2是增長（或降低）的次數(shù)。 活動4 課堂檢測 1．生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學，那么根據(jù)題意列出的方程是（ ）A．x（x+1）=182 B．x（x-1）=182 C．2x（x+1）=182 D．x（1-x）=182×2 2．一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共（ ）． A．12人 B．18人 C．9人 D．10人 3．某次會議中，參加的人員每兩人握一次手，共握手190次，求參加會議共有多少人？ 4.學校組織了一次籃球單循環(huán)比賽（每兩隊之間都進行了一次比賽），共進行了15場比賽，那么有幾個球隊參加了這次比賽？ 5.參加一次足球聯(lián)賽的每兩個隊之間都進行兩次比賽（雙循環(huán)比賽），共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？ 活動6 拓展延伸 1．兩個連續(xù)偶數(shù)的積為168，求這兩個偶數(shù). 2.某商品原來單價96元，廠家對該商品進行了兩次降價，每次降低的百分數(shù)相同，現(xiàn)單價為54元，求平均每次降價的百分數(shù)？ 3.某銀行經(jīng)過最近的兩次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（結(jié)果精確到0.01﹪） 4.一個直角三角形的兩條直角邊的和是14 cm，面積是24 cm，求兩條直角邊的長。 5.一個菱形兩條對角線長的和是10cm，面積是12 cm，求菱形的周長。 21.3.2 實際問題與一元二次方程（2） 學習目標： 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型．并能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理． 2.經(jīng)歷將實際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運用一元二次方程對之進行描述。 3.通過解決傳播問題，學會將實際應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐應用意識． 4.通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學知識應用的價值，了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用． 重點、難點 重點：列一元二次方程解有關(guān)特殊圖形問題的應用題 難點：發(fā)現(xiàn)特殊圖形問題中的等量關(guān)系 活動一 閱讀教材P50 — 51 , 完成課前預習 探 究：問題：如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周的陰影邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？（精確到0.1cm） 分析：封面的長寬之比是27∶21= ，