新課標人教版數學七年級（上）知識要點概括第一章 有理數1.（1）正數：大于零的數； （2）負數：小于零的數（在正數前面加上負號“”的數）；注意：0既不是正數也不是負數，它是正負數的分界點；對于正數和負數，不能簡單理解為帶“+”號的數是正數，帶“”號的數是負數；字母a可以表示任意數，當a表示正數時，-a是負數；當a表示負數時，-a是正數；當a表示0時，-a仍是0。正數有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數的符號是正號。2.有理數的概念正整數、0、負整數統(tǒng)稱為整數；正分數和負分數統(tǒng)稱為分數；正整數，0，負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。理解：只有能化成分數的數才是有理數。是無限不循環(huán)小數，不能寫成分數形式，不是有理數；有限小數和無限循環(huán)小數都可化成分數，都是有理數；-a不一定是負數，+a也不一定是正數；3.有理數的分類按有理數的定義分類 按性質符號來分 正整數 正整數 整數 0 正有理數 負整數 正分數有理數 有理數 0 （0不能忽視） 正分數 負整數 分數 負有理數 負分數 負分數總結：正整數、0統(tǒng)稱為非負整數（也叫自然數） 負整數、0統(tǒng)稱為非正整數 正有理數、0統(tǒng)稱為非負有理數 負有理數、0統(tǒng)稱為非正有理數 0是整數不是分數。4. 規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。注意：數軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可；同一數軸上的單位長度要統(tǒng)一。（4） 數軸一般取右（或向上）為正方向，數軸的原點的選定，正方向的取向，單位長度大小的確定都是根據實際需要規(guī)定的。5.數軸上的點與有理數的關系所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，正有理數可用原點右側的點表示，負有理數可用原點左側的點表示，0用原點表示。所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點不都表示有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一 一對應關系。（如，數軸上的點不是有理數）6. 數軸的畫法（1）畫一條直線，在這條直線上任取一個點作為原點；（2）通常規(guī)定直線上從原點向右（或左）為正方向，從原點向左（或右）為負方向；（3）選取適當的長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，；從原點向左，用類似的方法依次表示-1，-2，-3，.7.利用數軸表示兩數大小在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大；正數都大于0，負數都小于0，正數大于負數；兩個負數比較，距離原點遠的數比距離原點近的數小。8.數軸上特殊的最大（?。底钚〉淖匀粩凳?，無最大的自然數；最小的正整數是1，無最大的正整數；最大的負整數是-1，無最小的負整數9.a可以表示什么數a>0表示a是正數；反之，a是正數，則a>0；a<0表示a是負數；反之，a是負數，則a<0；a=0表示a是0；反之，a是0,，則a=0；10.數軸上點的移動規(guī)律根據點的移動，向左移動幾個單位長度則減去幾，向右移動幾個單位長度則加上幾，從而得到所需的點的位置。11.歸納數軸上的點的意義：一般地，設a是一個正數，則數軸上表示a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度；表示a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度.12.只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，其中一個是另一個的相反數。注意：相反數是成對出現的；相反數只有符號不同，若一個為正，則另一個為負；0的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。13.相反數的性質與判定任何數都有相反數，且只有一個；0的相反數是0；互為相反數的兩數和為0，和為0的兩數互為相反數，即a，b互為相反數，則a+b=014.相反數的幾何意義在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0的相反數對應原點。說明：在數軸上，表示互為相反數的兩個點關于原點對稱。15.相反數的求法求一個數的相反數，只要在它的前面添上負號“-”即可求得（如：5的相反數是-5）；求多個數的和或差的相反數是，要用括號括起來再添“-”，然后化簡（如；5a+b的相反數是-（5a+b）?；喌?5a-b）；求前面帶“-”的單個數，也應先用括號括起來再添“-”，然后化簡(如：-5的相反數是-（-5），化簡得5)16.相反數的表示方法一般地，數a 的相反數是-a ，其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。當a>0時，-a<0（正數的相反數是負數）當a<0時，-a>0（負數的相反數是正數）當a=0時，-a=0，（0的相反數是0）17.多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個數不影響化簡的結果，可以直接省略；“-”號的個數決定最后化簡結果；即：“-”的個數是奇數時，結果為負，“-”的個數是偶數時，結果為正。18.一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|，讀作：a的絕對值.19.因為數的絕對值是表示兩點之間的距離，如：|a-b|表示數軸上a點到b點的距離。所以一個數的絕對值不可能是負數。即：任何數的絕對值都是非負數（0的絕對值是0）20. 絕對值的計算規(guī)律：（1） 互為相反數的兩個數的絕對值相等（2） 若，則a=b或a=-b；（3） 若21.絕對值的代數定義1）一個正數的絕對值是它本身2）一個負數的絕對值是它的相反數3）0的絕對值是0 22.可用字母表示為：如果a>0，那么|a|=a； 如果a<0，那么|a|=-a； 如果a=0，那么|a|=0?？蓺w納為：a0<> |a|=a （非負數的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數是非負數。）a0<> |a|=-a （非正數的絕對值等于其相反數；絕對值等于其相反數的數是非正數。）23.絕對值的性質任何一個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數，都有|a|0。0的絕對值是0；絕對值是0的數是0.即：a=0 <> |a|=0；一個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0.即：|a|0；任何數的絕對值都不小于原數。即：即：|a|a； ； ；絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；注意：|a|·|b|=|a·b|, ；絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；若幾個數的絕對值的和等于0，則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0）24.有理數大小的比較利用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而?。划愄杻蓴当容^大小，正數大于負數。（3）正數的絕對值越大，這個數越大；（4）正數永遠比0大，負數永遠比0??；（5）正數大于一切負數；（6）大數-小數 0，小數-大數 0.25.已知一個數的絕對值，求這個數一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離。一般地，絕對值為同一個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0，沒有絕對值為負數的數。26.有理數的加法法則同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩數相加，和為零；一個數與0相加，仍得這個數。27.有理數加法的運算律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)28.在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規(guī)律：互為相反數的兩個數先相加“相反數結合法”；符號相同的兩個數先相加“同號結合法”；分母相同的數先相加“同分母結合法”；幾個數相加得到整數，先相加“湊整法”；整數與整數、小數與小數相加“同形結合法”。29.有理數減法法則減去一個數，等于加上這個數的相反數。用字母表示為：a-b=a+(-b)。30.有理數加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數加減法混合運算中，根據有理數減法法則，可以將減法轉化成加法后，再按照加法法則進行計算。在和式里，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.31.有理數加減混合運算中運用結合律時的一些技巧：.把符號相同的加數相結合（同號結合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （將減法轉換成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加號和括號）=(-33-15-1)+(18+23) （把符號相同的加數相結合）=-49+41 （運用加法法則一進行運算）=-8 （運用加法法則二進行運算）.把和為整數的加數相結合 （湊整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （將減法轉換成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加號和括號）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和為整數的加數相結合）=4-10+3.8 （運用加法法則進行運算）=7.8-10 （把符號相同的加數相結合，并進行運算）=-2.2 （得出結論）.把分母相同或便于通分的加數相結合（同分母結合法）-+-+-原式=(-)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1.既有小數又有分數的運算要統(tǒng)一后再結合（先統(tǒng)一后結合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10.把帶分數拆分后再結合（先拆分后結合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1+=-1+ =-.分組結合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆項后結合（1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）32.有理數的乘法法則兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負”專指“兩數相乘”的情況，如果因數超過兩個，就必須運用法則三）任何數同0相乘，都得0；幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數；幾個數相乘，如果其中有因數為0,則積等于0.33.乘積是1的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數，用式子表示為a·=1（a0），就是說a和互為倒數，即a是的倒數，是a的倒數。0沒有倒數；求假分數或真分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分數的倒數時，先把帶分數化為假分數，再把分子、分母顛倒位置；正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。（求一個數的倒數，不改變這個數的性質）；倒數等于它本身的數是1或-1,不包括0。若ab=1Û a、b互為倒數；若ab=-1Û a、b互為負倒數.34.有理數的乘法運算律乘法交換律：ab=ba乘法結合律：(ab)c=a(bc).乘法分配律：a(b+c)=ab+ac35. 有理數的除法法則（1）除以一個不等0的數，等于乘以這個數的倒數；注意：零不能做除數，.（2）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數，都得0。36.有理數的乘除混合運算（1）乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。（2）有理數的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照先乘除，后加減的順序進行。37.有理數的乘方求n 個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在 中，a 叫做底數，n 叫做指數。（1）a2是重要的非負數，即a20；若a2+|b|=0 Û a=0,b=0；（2） 據規(guī)律 底數的小數點移動一位，平方數的小數點移動二位（3） 的結果：n為奇數時，=-1；n為偶數時，=1。38.乘方的性質（1）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪的正數；注意：當n為正奇數時: (-a)n=-an, 當n為正偶數時: (-a)n =an .（2）正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0。39.有理數的混合運算，應注意以下運算順序：1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級運算，從左到右進行；3.如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。40. 科學記數法把一個大于10的數表示成 的形式（其中， n是正整數），這種記數法是科學記數法41.近似數的精確位：一個近似數，四舍五入到那一位，就說這個近似數的精確到那一位.42.有效數字：從左邊第一個不為零的數字起，到精確的位數止，所有數字，都叫這個近似數的有效數字.有理數運算中的常見錯誤示例一、概念不清例1 計算:15+(-6)-|-5|.錯解:原式=15-6+5=14.錯解分析：錯在沒有弄清-(-5)與-|-5|的區(qū)別.-(-5)表示-5的相反數,為5;而-|-5|表示-5的絕對值的相反數,-5的絕對值為5,5的相反數是-5.正解:原式=15-6-5=4.例2 計算:.錯解:原式=.錯解分析：此解錯在混淆了乘方和有理數乘法的概念.需知表示,其結果為-8,因此,絕不是指數和底數相乘.正解:原式=.二、錯用符號例3 計算:-5-8×(-2).錯解:原式=-5-16=-21.錯解分析：錯在先將8前面的“-”當成性質符號,后來又當成運算符號重復使用,切記不可這樣重復用.正解1:若把-8中的“-”當成性質符號,則可得以下過程:原式=-5+(-8)×(-2)=-5+16=11.正解2:若把-8中的“-”當成運算符號,則可得以下過程:原式=-5-(-16)=-5+16=11.三、項動符號不動例4 計算:.錯解:原式=.錯解分析：在解答本題時,應先觀察數字的特點,將小數進行轉化,并使分母相同的分數合并計算.在運用加法交換律時一定要記住,項動其符號也一定要隨之而動.錯解在移動一項時,漏掉了其符號.正解:原式= =-12+11=-1.四、對負帶分數理解不清例5 計算:錯解:原式= = =.錯解分析：錯在把負帶分數理解為,而負帶分數中的“-”是整個帶分數的性質符號,把看成才是正確的.與之類似,也不等于.正解:原式= =.五、考慮不全面例6 已知|-1|=5,則的值為( ).A.6 B.-4 C.6或-4 D.-6或4錯解:由|-1|=5可得-1=5,解得=6.選A.錯解分析：一個數的絕對值等于5,則這個數可能為正,也可能為負,所以-1=±5,解得=6或-4.正解:選C.六、錯用運算律例7 計算: .錯解:原式= =.錯解分析：由于受乘法分配律(b+c)=b+c的影響,錯誤地認為÷(b+c)=÷b+÷c,這是不正確的.正解:原式=.七、違背運算順序例8 計算:.錯解:原式=4÷(-2)=-2.錯解分析：本題是乘除運算,應按從左到右的順序進行,而錯解是先計算,這樣就違背了運算順序.正解:原式=4×(-8)×16=-512.例9 計算:.錯解:原式=25-(-2)2=25-4=21.錯解分析：在計算時,錯誤地先進行乘法運算.事實上應該先算乘方,再算乘除.正解:原式=25-64=-39.有理數典型錯題示例一、例1計算：(1）-19.30.7；(2)錯解：（1）-19.30.7-20；(2)錯解分析：（1）這是沒有掌握有理數加法法則的常見錯誤對于絕對值不同的異號兩數相加，如何定符號和取和的絕對值，初學時要特別小心(2）混合運算中，同級運算應從左往右依次進行本題應先除后乘，這里先算了，是不按法則造成的計算錯誤正解：(1) -19.3十0.7-18.6；(2)二、例2計算：(1)；(2)錯解：（1）（-4) （-4)16；(2)-0.8錯解分析：（1），表示4的平方的相反數，即-（4×4），它與不同，兩者不能混淆(2)表示-0.2的三次方小數乘方運算應注意運算結果的小數點位置正解：（l）-16；(2)-0.008三、例3計算：(1)；(2)錯解：（1)；(2)錯解分析：帶分數相乘（或乘方）必須先把帶分數化成假分數后再計算正解：（1）原式；(2）原式四、例4已知：2，3，求錯解：因為2，3，所以±2，±3 所以±5錯解分析：本題錯在最后一步，本題應有四個解錯解中只注意同號兩數相加，忽略了還有異號兩數相加的情況正解：前兩步同上，所以±5，或±1五、例5下列說法正確的是（）(A)0是正整數 （B)0是最小的整數(C)0是最小的有理數（D)0是絕對值最小的有理數錯解：選A錯解分析： 0不是正數，也不是負數，0當然不在正整數之列；再則，在有理數范圍之內，沒有最小的數正解：選D六、例6按括號中的要求，用四舍五入法取下列各數的近似值：(l)57.898（精確到O.01)；(2)0.057988（保留三個有效數字）錯解：（1)57.89857.9； (2)0.0579880.058錯解分析：（1)57.898精確到0.01，在百分位應有數字0，不能認為這個小數部分末尾的O是無用的正確的答案應為57.90注意57.9和57.90是精確度不同的兩個近似數(2）發(fā)生錯解的原因是對“有效數字”概念不清有效數字是指一個由四舍五入得來的近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到末位數字為止的所有數字，都叫這個數的有效數字因此0.057988保留三個有效數字的近似值應為0.0580，而0.058只有兩個有效數字七、例7選擇題：(l)絕對值大于10而小于50的整數共有（）(A)39個（B)40個（C)78個（D)80個(2)不大于10的非負整數共有（）(A)8個（B)9個（C)10個（D)11個錯解：（1)D (2)C 錯解分析： (l)10到50之間的整數（不包括10和50在內）共39個，-50到-10之間的整數也有39個，故共有78個本題錯在考慮不周密(2)這里有兩個概念：一是“不大于”，二是“非負整數”前一概念不清，會誤以為是0至9十個數字；后一概念不清，會誤解為是1至10十個數字，都會錯選（C)正解：(l)C (2)D 八、例8計算：錯解：原式.錯解分析：絕對值符號有括號的功能，但不是括號絕對值符號的展開必須按絕對值意義進行；特別是絕對值號內是負值時，展開后應取它的相反數這是一個難點，應格外小心正解：因為，所以原式有理數的乘方錯解示例一、例1用乘方表示下列各式：（1）；（2）錯解：（1）；（2）.錯解分析：求n個相同因數的積的運算叫做乘方.（1）錯在混淆了與所表示的意義. 的底數是-5，表示4個-5相乘，即，而表示.（2）錯在最后結果沒有加上括號.實際上與的意義是不同的，表示，而表示.正解：（1）；（2）.二、例2計算：（1）；（2）.錯解：（1）；（2）.錯解分析：錯解（1）（2）的原因都是沒有真正理解乘方的意義，把指數與底數相乘了.實際上，表示2 008個-1相乘，表示3個-2相乘.正解：（1）；（2）.三、例3計算：（1）；（2）；（3）；（4）.錯解：（1）；（2）；（3）；（4）.錯解分析：以上錯誤都是由于沒有按照正確的運算順序進行運算造成的.有理數的運算應先算乘方，再算乘除，最后算加減.正解：（1）；（2）；（3）；（4）.四、例4計算：.錯解：.錯解分析：錯解中出現了以下錯誤：實際上，正解：科學記數法、近似數和有效數字的失誤點示例.一、將一個數用科學記數法表示時出現錯誤例1.生物學家發(fā)現一種病毒的長度約為0.000 043mm.用科學記數法表示這個數的結果為（ ）A. B. C. D. 錯解：選A或選D.錯解分析：小于1的很小的數用科學記數法來表示成時，的范圍仍是.n的值等于從左到右第一個不是零的數字前所有零的個數,正確答案應該選B.二、與近似數有關的錯誤1.近似數精確度的確定例2.精確到 位.錯解：精確到百分位.錯解分析：這種應用科學記數法表示的數在確定其精確到哪一位時, 應看其最后一位有效數字在原數中的位置.由，知原數中6在十位上，故精確到十位.錯誤的原因主要是忽略了所表示的數位, 其實, 表示的是千位, 所以整數2在千位上, 8在百位上, 6在十位上.2.近似數的取舍例3.用四舍五入法求精確到千分位的近似數.錯解：.錯解分析： 錯誤的原因是兩次使用四舍五入法求近似數, 即將先四舍五入得, 精確到萬分位, 然后再四舍五入得0.852 , 精確到千分位，實際上正確結果應為0.851.四、科學記數法×10n中和n值的確定例4 據統(tǒng)計，全球每分鐘約有8 480 000 t污水排入江河湖海，將這個排污量用科學記數法表示應是 t 錯解：8 480 000 t=848×104t 錯解分析：848×104不符合科學記數法的表示形式，即必須滿足110這一條件 正解：8 480 000 t=8.48×106 t 點撥：解答這道題的關鍵在于正確確定科學記數法×10n中和n的值是整數位數只有1位的數，而n的確定方法為n=原數的整數位數1.14