普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)5（人民教育出版社B版）第二章 數(shù)列陳愛華(北京市育英學(xué)校)一、新課標(biāo)解讀數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。在本模塊中，學(xué)生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實際問題。內(nèi)容與要求（1）數(shù)列的概念和簡單表示法通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列 通過實例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。 探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式。 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。 體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。解讀（1）教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種表示方法，揭示數(shù)列是一類特殊函數(shù)的本質(zhì)屬性，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型之一。重視通過具體實例（如教育貸款、購房貸款、人口增長等）使學(xué)生理解等差等比數(shù)列模型的作用，培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)列模型的能力。（2）新課標(biāo)要求在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)保證基本技能的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生通過必要的練習(xí)，掌握數(shù)列中各量之間的關(guān)系，但訓(xùn)練要控制難度和復(fù)雜程度。這體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)在內(nèi)容處理上的一個原則：刪減繁瑣的計算、人為技巧化難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容。（3）要學(xué)生掌握并能應(yīng)用等差等比數(shù)列有關(guān)公式解題，還在能力上要求學(xué)生會用歸納、疊加、疊乘、倒序相加、錯位相減等方法解決數(shù)列綜合問題（4）新課標(biāo)要求教學(xué)上要注重數(shù)列的實際應(yīng)用，關(guān)注學(xué)生對數(shù)列模型本質(zhì)的理解，以及培養(yǎng)運用數(shù)列模型解決實際應(yīng)用問題的能力二、地位與作用數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其地位作用體現(xiàn)在以下四個方面：（1）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它既與函數(shù)等知識有密切的聯(lián)系，又豐富了函數(shù)的內(nèi)容。同時數(shù)列知識還蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，如函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想、整體思想等。（2）數(shù)列內(nèi)容的教學(xué)突出學(xué)生的邏輯思維能力、運算能力、解決實際問題能力的培養(yǎng)。學(xué)習(xí)數(shù)列要經(jīng)常觀察、比較、分析、概括，還要運用歸納、演繹進(jìn)行推理，解決與生產(chǎn)生活有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，同時要求學(xué)生正確的運用公式進(jìn)行運算、處理數(shù)據(jù)。（3）數(shù)列知識是承前啟后的內(nèi)容，以前學(xué)過的數(shù)、式、方程、簡易邏輯、函數(shù)等知識都能在本章得到充分應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、解析幾何、立體幾何等有廣泛的聯(lián)系，有很強(qiáng)的綜合性，是高中代數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的好素材。（4）數(shù)列有著廣泛的實際應(yīng)用，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。數(shù)列知識，特別是等差數(shù)列、等比數(shù)列等知識結(jié)合社會實際需要解決了眾多實際應(yīng)用問題，如銀行利息的計算、產(chǎn)品規(guī)格的設(shè)計、堆放物品的數(shù)量計算、人口增長、細(xì)胞分裂等。對于數(shù)列的學(xué)習(xí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，發(fā)展應(yīng)用意識。三、教學(xué)目標(biāo)（1）了解數(shù)列的概念，掌握數(shù)列的幾種表示法，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出簡單數(shù)列的通項公式。能根據(jù)項數(shù)多少、數(shù)列的性質(zhì)對數(shù)列進(jìn)行分類。（2）理解等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，會用定義判斷已知數(shù)列是否是等差數(shù)列或等比數(shù)列，會求兩個已知數(shù)的等差中項和等比中項。（3）掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，前項和公式，并能應(yīng)用公式解決相關(guān)的問題。（4）能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列模型解決相應(yīng)的實際問題。（5）體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。（6）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，學(xué)會觀察、類比、歸納、猜想等思維方式，提高運算和論證能力，養(yǎng)成既能大膽猜想，又能嚴(yán)格證明的科學(xué)作風(fēng)。四、重點與難點本章的重點是數(shù)列的概念，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式。本章的難點是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式的推導(dǎo)及它們的綜合應(yīng)用。五、教學(xué)內(nèi)容及課時安排（約13課時）21 數(shù)列 2課時211數(shù)列的基本概念212數(shù)列的遞推公式（選學(xué)）22等差數(shù)列221 等差數(shù)列 2課時概念及等差中項通項公式應(yīng)用222 等差數(shù)列的前n項和 2課時公式推導(dǎo)及應(yīng)用歸納與倒序相加法應(yīng)用23等比數(shù)列231 等比數(shù)列 2課時概念及等比中項通項公式232 等比數(shù)列的前n項和 2課時公式推導(dǎo)及應(yīng)用構(gòu)造與錯位相減法應(yīng)用小結(jié)與復(fù)習(xí) 3課時概念及性質(zhì)應(yīng)用數(shù)列的通項、數(shù)列求和綜合應(yīng)用 六、教學(xué)建議1. 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識（1）概念課的教學(xué)中，設(shè)置直觀、生動的實際背景，使學(xué)生通過日常生活中的實例歸納出數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)就在身邊。（2）除了讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識來源于客觀世界，還應(yīng)該讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是解決實際問題的重要工具，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。（例貸款、儲蓄等問題）2 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力數(shù)列一章的思維過程主要是：直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、運算求解、演繹證明等。這有助于學(xué)生對客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行思考和作出判斷，提高數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的建模能力。在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生歸納猜想證明的思維模式解決問題。 給學(xué)生留出足夠的自主探索，獨立思考的空間。教材在頁邊處編排了一些帶有“？”的邊框，提出了值得學(xué)生思考的問題，讓學(xué)生能夠用好教材，自我發(fā)展。3 注重方法的教學(xué)與落實，把握好難度等差數(shù)列的通項公式是通過歸納法或疊加法得到的，前n項和公式是通過倒序相加的辦法求出來的；等比數(shù)列的通項公式是通過歸納法或疊乘法得到的，前n項和公式是通過構(gòu)造方程法或錯位相減法而得到的能力上要求學(xué)生會用歸納、疊加、疊乘、倒序加、錯位減等技巧解決數(shù)列綜合問題在教學(xué)中，注意例題的選取，應(yīng)致力于打好基礎(chǔ)并進(jìn)行初步的綜合訓(xùn)練，把握好難度，不要過早地進(jìn)行針對“高考” 的綜合性訓(xùn)練，從而影響了基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)和加重學(xué)生負(fù)擔(dān)。例如在學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式時，不要去搞涉及遞推公式變形的論證、計算問題，只要會根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項就行了；在研究數(shù)列求和問題時，不要涉及過多的技巧4加強(qiáng)數(shù)列內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系    （1）數(shù)列的本質(zhì)是函數(shù)，數(shù)列是一種定義域為正整數(shù)集(或它的前n個數(shù)組成的有限子集)的函數(shù) 在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)列的項是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項公式法由于數(shù)列的自變量為正整數(shù)，于是就有可能相鄰的兩項（或幾項）有關(guān)系，從而數(shù)列就有其特殊的表示法遞推公式法    （2）等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的聯(lián)系從等差數(shù)列的通項公式可以知道，公差不為零的等差數(shù)列的每一項a是關(guān)于項數(shù)n的一次函數(shù)式于是可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來認(rèn)識等差數(shù)列首項為、公差為d的等差數(shù)列前n項和的公式可以寫為，    即當(dāng)時，是n的二次函數(shù)式，于是可以運用二次函數(shù)的觀點和方法來認(rèn)識求等差數(shù)列前n項和的問題    （3）等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系    由于首項為、公比為q的等比數(shù)列的通項公式可以寫成，它的前項和公式為 ，它與指數(shù)函數(shù)y=有著密切聯(lián)系，從而可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列5 注意等差數(shù)列與等比數(shù)列的對比，突出兩類數(shù)列的基本特征    等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括：定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和的公式、兩個數(shù)的等差(等比)中項因此在教學(xué)與復(fù)習(xí)時可采用對比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。6.建議在2.1節(jié)數(shù)列的概念教學(xué)中補(bǔ)充數(shù)列前項和的概念每個數(shù)列都有前項和問題，所以在2.1節(jié)數(shù)列的概念課中應(yīng)補(bǔ)充前項和的概念，用表示的問題是重點問題，可先提出一個具體問題讓學(xué)生分析與的關(guān)系，再由特殊到一般，研究其一般規(guī)律，并給出嚴(yán)格的推理證明（強(qiáng)調(diào)的表達(dá)式是分段的）；之后再到特殊問題的解決，舉例時要兼顧結(jié)果可合并及不可合并的情況