億庫(kù)教育網(wǎng) http:/www.eku.cc 百萬(wàn)教學(xué)資源免費(fèi)下載專題三： 排列、組合及二項(xiàng)式定理一、排列、組合與二項(xiàng)式定理【基礎(chǔ)知識(shí)】1.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）.2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）.3.排列數(shù)公式 =.(n，mN*，且mn)4.組合數(shù)公式 =(n，mN*，且mn).5.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：(1) = ;(2) +=（3）.6.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是： .7.二項(xiàng)式定理： ;二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：.【題例分析】例1、從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問(wèn)共有多少種參賽方法？解法：?jiǎn)栴}分成三類：（1）甲乙二人均不參加，有種；（2）甲、乙二人有且僅有1人參加，有2（）種；（3）甲、乙二人均參加，有（2）種，故共有252種點(diǎn)評(píng)：對(duì)于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種例2: 有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選取5人擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生(2)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表(3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表,某男生必須擔(dān)任科代表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表解：(1)先取后排,有種,后排有種,共有5400種(2)除去該女生后先取后排：種(3)先取后排,但先安排該男生：種(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有種,再安排該男生有種,其余3人全排有種,共=360種例3、有6本不同的書(shū)（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（6）擺在3層書(shū)架上，每層2本，有多少種不同的擺法？解：（1）在6本書(shū)中，先取2本給甲，再?gòu)氖Ｏ碌?本書(shū)中取2本給乙，最后2本給丙，共有（種）。（2）6本書(shū)平均分成3堆，用上述方法重復(fù)了倍，故共有（種）。（3）從6本書(shū)中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有（種）（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有（種）。（5）平均分堆要除以堆數(shù)的全排列數(shù)，不平均分堆則不除，故共有（種）。（6）本題即為6本書(shū)放在6個(gè)位置上，共有（種）。例4、如果在 的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)。解：展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1， ， 由題意得：2×=1+得=8。設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8。有理項(xiàng)為。【鞏固訓(xùn)練】一.選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號(hào)內(nèi).1、設(shè)k=1，2，3，4，5，則（x+2）5的展開(kāi)式中xk的系數(shù)不可能是 A 10 B 40 C 50 D 80. 2、某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)，得3分；平一場(chǎng)，得1分；負(fù)一場(chǎng)，得0分.一球隊(duì)打完15場(chǎng)，積33分.若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況共有 A 3種 B 4種 C 5種 D 6種.二.填空題：把正確答案填寫(xiě)在題中的橫線上.3、將標(biāo)號(hào)為1，2，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，10的10個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法共有 種.（以數(shù)字作答）4、設(shè)則 三.解答題：(解答應(yīng)寫(xiě)文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)5、（1）10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)，共有多少種不同的分配方法？（2）10個(gè)優(yōu)秀名額分配到一、二、三3個(gè)班，若名額數(shù)不少于班級(jí)序號(hào)數(shù)，共有多少種不同的分配方法？6、若=，求（1）的值。（2）的值。二、等可能事件的概率【基礎(chǔ)知識(shí)】等可能性事件的概率.【題例分析】例1、 某班有學(xué)生36人，血型分別為A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，現(xiàn)從中抽出2人，求這兩人血型不相同的概率.解:P(兩人血型相同)P(兩人血型均為A型)P(兩人血型均為B型)P(兩人血型均為AB型)P(兩人血型均為O型).所以，P(兩人血型不同)1.點(diǎn)撥:從四種血型中抽出2種有C246種，依次分類則情形較復(fù)雜，所以本題用間接法較簡(jiǎn)便.例2、從男、女學(xué)生共有36名的班級(jí)中,任意選出兩名委員,任何人都有同樣的機(jī)會(huì)當(dāng)選,如果選得同性委員的概率等于，求男、女相差幾名？解：設(shè)男生有x名，則女生有36x名，選得2名委員都是男性的概率為.選得兩名委員都是女性的概率為.以上兩種選法是互斥的，所以選得兩名委員是同性委員的概率等于其概率和.依題意.解得x15或x21.即該班男生有15名，女生有361521人或者男生有21人，女生有362115人，總之，男女相差6名.例3、在袋中裝30個(gè)小球，其中彩球有n個(gè)紅色，5個(gè)藍(lán)色,10個(gè)黃色，其余為白色，求：(1)如果已經(jīng)從中取定了5個(gè)黃球和3個(gè)藍(lán)球，并將它們編上了不同的號(hào)碼后排成一排，那么使藍(lán)色小球不相鄰的排法有多少種？(2)如果從袋中取出3個(gè)都是顏色相同的彩球（不含白色）的概率是，且n2，計(jì)算紅球有幾個(gè)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，計(jì)算從袋中任取3個(gè)小球至少有一個(gè)紅球的概率？解：(1)將5個(gè)黃球排成一排共有A55種排法，將3個(gè)藍(lán)球放在5個(gè)黃球所形成的6個(gè)空位上，有A36種排法.所求的排法為A55·A3614400（種）.（2）取3個(gè)球的種數(shù)為C3304060，設(shè)“3個(gè)球全是紅色”為事件A，“3個(gè)球全是藍(lán)色”為事件B.“3個(gè)球都是黃色”為事件C，則P(B)，P(C).A、B、C彼此互斥，P(ABC)P(A)P(B)P(C)，即P(A).P(A)0，即取3個(gè)球，是紅球的個(gè)數(shù)小于或等于2.又n2，故n2.（3）記“3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球”為事件D，則為“3個(gè)球中沒(méi)有紅球”，則P(D)1P()1.例4、一種電器控制器在出廠時(shí)每四件一等品裝成一箱，工人在裝箱時(shí)不小心把兩件二等品和兩件一等品裝入一箱，為了找出該箱中的二等品，我們把該箱中產(chǎn)品逐一取出進(jìn)行測(cè)試. （1）求前兩次取出都是二等品的概率； （2）求第二次取出的是二等品的概率； 解：（1）四件產(chǎn)品逐一取出方式共有A種不同方式.前兩次取出都是二等品的方式共有A·A種不同方式.所以前兩次取出都是二等品的概率為：（2）第二次取出是二等品共有：，所以第二次取出是二等品的概率是：【鞏固訓(xùn)練】一.選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號(hào)內(nèi).1、數(shù)字1，2，3，4，5，中，隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為（ ）2、將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上和概率是 (A) (B) (C) (D)二.填空題：把正確答案填寫(xiě)在題中的橫線上.3、袋內(nèi)裝有10個(gè)相同的球，其中5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字0，5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字1，若從袋中摸出5個(gè)球，那么摸出的5個(gè)球所標(biāo)數(shù)字之和小于2或大于3的概率是 . 4、一次二期課改經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)打算交流試點(diǎn)學(xué)校的論文5篇和非試點(diǎn)學(xué)校的論文3篇。若任意排列交流次序，則最先和最后交流的論文都為試點(diǎn)學(xué)校的概率是_三.解答題：(解答應(yīng)寫(xiě)文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)5、8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽的方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組，每組4支，求： (1)A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率；(2)A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率6、有一個(gè)表面都涂有紅顏色的正方體，被均勻地鋸成了1000個(gè)小正方體,將這些正方體混合后，放入一個(gè)口袋內(nèi).(1)從該袋中任抽取一個(gè)正方體，恰有兩個(gè)面涂有紅色的概率是多少?(2)從袋中任取兩個(gè)正方體，其中至少有一個(gè)面上有紅色的概率是多少?三、互斥事件的概率【基礎(chǔ)知識(shí)】1、 (1)互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件.(2)對(duì)立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事件.2.重點(diǎn)公式(1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生（即A、B中有一個(gè)發(fā)生）的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P（A+B）=P（A）+P（B），推廣:P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）.(2)對(duì)立事件的概率和等于1.P(P)+P()=P（A+）=1.【題例分析】例1、甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè).甲、乙二人各抽一題：（1）求甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率；（2）求甲、乙兩人中至少一人抽到選擇題的概率.解：（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的可能結(jié)果有C·C個(gè)，又甲、乙依次抽到一題的可能結(jié)果有CC個(gè)，所以，所求概率為：=.（2）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為:1-=1-=1-=.例2、某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29.計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率.解：設(shè)這個(gè)射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)為事件A，命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)以及不夠8環(huán)的事件分別記為A1、A2、A3、A4.A2、A3、A4彼此互斥，P（A2+A3+A4）=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76.又A1=，P(A1)=1-P（A2+A3+A4）=1-0.76=0.24.A1與A2互斥，P（A）P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=0.24+0.280.52.故這個(gè)射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.例3、袋中放有3個(gè)伍分硬幣，3個(gè)貳分硬幣和4個(gè)壹分硬幣，從中任取3個(gè)，求總值超過(guò)8分的概率.解：記“總值超過(guò)8分”為事件A，它應(yīng)有四種情況：（1）“取到3個(gè)伍分硬幣”為事件A1；（2）“取到2個(gè)伍分和一個(gè)貳分硬幣”為事件A2；（3）“取到2個(gè)伍分和一個(gè)壹分硬幣”為事件A3；（4）“取到一個(gè)伍分硬幣和2個(gè)貳分硬幣”為事件A4.則P(A1)=.P(A2)=.P(A3)=. P(A4)=.依題意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，P(A)=P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=例4、經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某大型商場(chǎng)一個(gè)結(jié)算窗口每天排隊(duì)結(jié)算的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)0561011151620212525人以上概 率0.10.150.250.250.20.05（I）每天不超過(guò)20人排隊(duì)結(jié)算的概率是多少？（）一周7天中，若有3天以上（含3天）出現(xiàn)超過(guò)15人排隊(duì)結(jié)算的概率大于0.75，商場(chǎng)就需要增加結(jié)算窗口，請(qǐng)問(wèn)該商場(chǎng)是否需要增加結(jié)算窗口？解：（I）每天不超過(guò)20人排隊(duì)結(jié)算的概率為：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超過(guò)20人排隊(duì)結(jié)算的概率是0.75.（）每天超過(guò)15人排隊(duì)結(jié)算的概率為：0.25+0.2+0.05=，一周7天中，沒(méi)有出現(xiàn)超過(guò)15人排隊(duì)結(jié)算的概率為；一周7天中，有一天出現(xiàn)超過(guò)15人排隊(duì)結(jié)算的概率為；一周7天中，有二天出現(xiàn)超過(guò)15人排隊(duì)結(jié)算的概率為；所以有3天或3天以上出現(xiàn)超過(guò)15人排隊(duì)結(jié)算的概率為：，所以，該商場(chǎng)需要增加結(jié)算窗口.【鞏固訓(xùn)練】一.選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號(hào)內(nèi).1、如果A、B兩個(gè)事件互斥，那么（）A.A+B是必然事件 B.+是必然事件C.與一定互斥D.與一定不互斥2、在第3、6、16路公共汽車的一個(gè)?？空?，假定這個(gè)車站只能停靠一輛汽車，有一位乘客需5分鐘之內(nèi)趕到廠里，他可乘3路或6路車到廠里，已知3路車，6路車在5分鐘內(nèi)到此車站的概率分別為0.2和0.6，則此乘客在5分鐘內(nèi)能乘到所需車的概率為（）A.0.2 B.0.6C.0.8D.0.12二.填空題：把正確答案填寫(xiě)在題中的橫線上.3、甲、乙兩人下成和棋的概率為，乙獲勝的概率為，則乙不輸?shù)母怕蕿開(kāi).4、有兩個(gè)口袋，甲袋中有3只白球，7只紅球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只紅球，9只黑球，現(xiàn)從兩袋中各取一只球,則兩球顏色相同的概率為_(kāi).三.解答題：(解答應(yīng)寫(xiě)文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)5、已知袋中裝有紅色球3個(gè)、藍(lán)色球2個(gè)、黃色球1個(gè),從中任取一球確定顏色后再放回袋中，取到紅色球后就結(jié)束選取，最多可以取三次，求在三次選取中恰好兩次取到藍(lán)色球的概率.6、擲兩個(gè)骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為4點(diǎn)或5點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)的概率是多少？四、獨(dú)立事件的概率【基礎(chǔ)知識(shí)】1.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).2.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(A1· A2·· An)=P(A1)· P(A2)·· P(An)3.（不要求記憶）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率【題例分析】例1、某產(chǎn)品檢驗(yàn)員檢查每一件產(chǎn)品時(shí)，將正品錯(cuò)誤地鑒定為次品的概率為0.1，將次口錯(cuò)誤地鑒定為正品的概率為0.2，如果這位檢驗(yàn)員要鑒定4件產(chǎn)品，這4件產(chǎn)品中3件是正品，1件是次品，試求檢驗(yàn)員鑒定成正品，次品各2件的概率.解：有兩種可能：將原1件次品仍鑒定為次品，原3件正品中1件錯(cuò)誤地鑒定為次品;將原1件次品錯(cuò)誤地鑒定為正品，原3件正品中的2件錯(cuò)誤地鑒定為次品. 概率為P0.1998例2、已知兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平，讓他們各向目標(biāo)靶射擊10次，其中甲擊中目標(biāo)7次，乙擊中目標(biāo)6次，若在讓甲、乙兩人各自向目標(biāo)靶射擊3次中，求：（1）甲運(yùn)動(dòng)員恰好擊中目標(biāo)2次的概率是多少？（2）兩名運(yùn)動(dòng)員都恰好擊中目標(biāo)2次的概率是多少？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）解. 甲運(yùn)動(dòng)員向目標(biāo)靶射擊1次，擊中目標(biāo)的概率為7/10=0.7乙運(yùn)動(dòng)員向目標(biāo)靶射擊1次，擊中目標(biāo)的概率為6/10=0.6(1)甲運(yùn)動(dòng)員向目標(biāo)靶射擊3次，恰好都擊中目標(biāo)2次的概率是(2)乙運(yùn)動(dòng)員各向目標(biāo)靶射擊3次，恰好都擊中目標(biāo)2次的概率是例3、冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時(shí)從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等.（）求甲種飲料飲用完畢而乙種飲料還剩下3瓶的概率；（）求甲種飲料被飲用瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率.解：（I）. （II）P6(5)+P5(5)+P4(4) =C65P5(1P)+C55P5+C44P4=例4、有一批產(chǎn)品出廠前要進(jìn)行五項(xiàng)指標(biāo)檢驗(yàn)，如果有兩項(xiàng)指標(biāo)不合格，則這批食品不能出廠，已知每項(xiàng)指標(biāo)抽檢是相互獨(dú)立的，每項(xiàng)指標(biāo)抽檢出現(xiàn)不合格品的概率都是。（）求這批產(chǎn)品不能出廠的概率（保留三位有效數(shù)學(xué)）（）求直至五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，才能確定該批產(chǎn)品是否出廠的概率（保留三位有效數(shù)學(xué)）解答： （1）這批產(chǎn)品不能出廠的概率是：五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，這批食品可以出廠的概率是：五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，這批食品不能出廠的概率是：由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率加法可知：五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢才能確定這批產(chǎn)品是否可以出廠的概率是【鞏固訓(xùn)練】一.選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號(hào)內(nèi).1. 一臺(tái)X型號(hào)自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8000,有四臺(tái)這中型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作,則在一小時(shí)內(nèi)至多2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是 ( ) （A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.97282、種植兩株不同的花卉，它們的存活率分別為p和q，則恰有一株存活的概率為 ( )(A) p+q2p q (B) p+qpq (C) p+q (D) pq二.填空題：把正確答案填寫(xiě)在題中的橫線上.3、某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響.有下列結(jié)論：他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1；他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1-0.14.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）4、某健美中心對(duì)第一期60人進(jìn)行減肥訓(xùn)練，結(jié)果40人達(dá)到減肥標(biāo)準(zhǔn)目的，按此比率，現(xiàn)有5人參加第二期該訓(xùn)練，求：至少有4人沒(méi)有達(dá)到減肥目的的概率. 。三.解答題：(解答應(yīng)寫(xiě)文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)5、 已知甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.4和0.6現(xiàn)讓每人各投兩次，試分別求下列事件的概率：（）兩人都投進(jìn)兩球；（）兩人至少投進(jìn)三個(gè)球.6、設(shè)每門(mén)高射炮命中飛機(jī)的概率為0.6，試求：（1）兩門(mén)高射炮同時(shí)射擊一發(fā)炮彈而命中飛機(jī)的概率；（2）若今有一飛機(jī)來(lái)犯，問(wèn)需要多少門(mén)高射炮射擊，才能以至少99的概率命中它？五、概率與期望【基礎(chǔ)知識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)：（1）;（2）.2、數(shù)學(xué)期望3、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：（1）E（a+b）=aE()+b；（2）若B（n，p），則E=np.（二項(xiàng)分布）（3）若服從幾何分布，且P（=k）=g(k,p), E=1/p.4、方差:5、標(biāo)準(zhǔn)差:=.6、方差的性質(zhì):(1) （2）B（n，p），則D=np（1-p）. (3) 若服從幾何分布，且P（=k）=g(k,p), D=q/p2.7、 抽樣方法(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：概率 其中n為樣本容量， N為個(gè)體總數(shù)(2)分層抽樣： 其中n為樣本容量， N為個(gè)體總數(shù) n1為分層樣本容量， N1為分層個(gè)體總數(shù)【題例分析】例1：甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才算合格.（）求甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.解：（）依題意，甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布如下：甲答對(duì)試題數(shù)的數(shù)學(xué)期望（）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，甲、乙兩人考試均不合格的概率為甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.例2. 某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p（0<p<1）。他有10發(fā)子彈，現(xiàn)對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標(biāo)，或子彈打光為止。求他擊中目標(biāo)的期望。解：射手射擊次數(shù)的可能取值為1，2，9，10。若，則表明他前次均沒(méi)擊中目標(biāo)，而第k次擊中目標(biāo)；若k10，則表明他前9次都沒(méi)擊中目標(biāo)，而第10次可能擊中也可能沒(méi)擊中目標(biāo)。因此的分布列為用倍差法，可求得所以例3 、9粒種子分種在3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0 5，若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種，若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)發(fā)芽，則這個(gè)坑需補(bǔ)種假定每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次，每補(bǔ)種1個(gè)坑需10元，用表示補(bǔ)種費(fèi)用，寫(xiě)出的分布列并求的數(shù)學(xué)期望 （精確到0 01）解：某坑需補(bǔ)種的概率為，不需補(bǔ)種的概率為 的分布列為：0102030P E=0×+10×+20×+30×=3 75例4、有紅藍(lán)兩粒質(zhì)地均勻的正方體形狀骰子，紅色骰子有兩個(gè)面是8，四個(gè)面是2，藍(lán)色骰子有三個(gè)面是7，三個(gè)面是1，兩人各取一只骰子分別隨機(jī)投擲一次，所得點(diǎn)數(shù)較大者獲勝 分別求出兩只骰子投擲所得點(diǎn)數(shù)的分布列及期望；投擲藍(lán)色骰子者獲勝的概率是多少？解：紅色骰子投擲所得點(diǎn)數(shù)為是隨即變量，其分布如下： 82 P E8·2·4 藍(lán)色骰子投擲所得點(diǎn)數(shù)是隨即變量，其分布如下： 71 P E=7·+1·=4 【鞏固訓(xùn)練】一.選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號(hào)內(nèi).1、某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180 個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況,需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本,記這項(xiàng)調(diào)查為：在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷焦點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為，則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（A）分層抽樣，系統(tǒng)抽樣法 （B）分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法（C）系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 （D）簡(jiǎn)隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法二.填空題：把正確答案填寫(xiě)在題中的橫線上.3、某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5?，F(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件。那么此樣本的容量n=。4、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為a為常數(shù)，k1,2，、，則a= 三.解答題：(解答應(yīng)寫(xiě)文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)5、藍(lán)球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次得分的期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？6、從一批有5個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中,一件一件地抽取產(chǎn)品,設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽到的可能性相同.記為直到取出的是合格品為止時(shí)所需抽取的次數(shù),分別在下列三種情形下求出:(1) 每次抽取的產(chǎn)品都不放回到這批產(chǎn)品中的的分布列和所需平均抽取的次數(shù); (2) 每次抽取的產(chǎn)品都立即放回到這批產(chǎn)品中,然后再抽取一件產(chǎn)品的的分布列; (3) 每次抽取一件產(chǎn)品后,總將一件合格品放入這批產(chǎn)品中的的分布列.專題三答案：一、排列與組合5解：（1）如果按指標(biāo)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，討論比較復(fù)雜，可構(gòu)造模型，即用5個(gè)隔板插入10個(gè)指標(biāo)中的9個(gè)空隙，即即為所求。（2）先拿3個(gè)指標(biāo)分別給二班1個(gè)，三班2個(gè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為7個(gè)優(yōu)秀名額分給三個(gè)班，每班至少一個(gè)，同（1）知即為所求。6、【解析】：（1）在使用賦值法前，應(yīng)先將變形為：=才能發(fā)現(xiàn)應(yīng)取什么特殊值：令= 1，則=令=1則=因此：=·=1（2）因?yàn)?，而所以，=16二、等可能事件的概率5、（）解法：三支弱隊(duì)在同一組的概率為 故有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率為（）解法一：A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率 6、(1)從口袋中任取一個(gè)正方體，恰有兩面涂有紅色的概率是P.（2）從口袋中任取兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體表面都未涂有紅色的概率為，故其中至少有一個(gè)面上涂有紅色的概率為P10.738.三、互斥事件的概率5、解:設(shè)A為取到兩個(gè)藍(lán)色球和一個(gè)黃色球的事件,B為先取到兩個(gè)藍(lán)色球，第三次取到紅色球的事件，A、B互斥.P(A+B)=P(A)+P(B)=,即所求概率為6、解:設(shè)出現(xiàn)4點(diǎn)為事件A，出現(xiàn)5點(diǎn)為事件B，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)為事C,則P(A)=，P(B)=，P(C)=.A、B、C并非彼此互斥，4點(diǎn)是偶數(shù)之一，故A+C=C，而B(niǎo)與C互斥，A+B+C=B+C.P(A+B+C)=P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.四、獨(dú)立事件的概率4、5、（）（兩人都投進(jìn)兩球）=（）P（兩人至少投進(jìn)三個(gè)球）6、解：（1）P=0.84（2）設(shè)需要n門(mén)高射炮才能達(dá)目的，用A表示“命中飛機(jī)”這一事件，用Ai表示“第i門(mén)高射炮命中飛機(jī)”，則A1、A2An相互獨(dú)立，故也相互獨(dú)立，故P（A）=1P()=1P()=1P()P()P()=1.據(jù)題意P(A)0.99,199,得n5.02.答：至少需6門(mén)高射炮才能以99的概率命中。五、概率與期望5、解：的所有可能取值為0、1，并且有，所以，6、解析：（1）的所有可能取值為1、2、3、4，并且有；所以滿足（1）的的分布列如下：1234P (2) ;所以滿足（2）的的分布列為123P（3）的所有可能取值為1、2、3、4，并且有；所中（3）的分布列如為1234P億庫(kù)教育網(wǎng) http:/www.eku.cc 百萬(wàn)教學(xué)資源免費(fèi)下載