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1、第5章 量綱分析和相似原理,工程流體力學、水力學的問題，由于邊界條件復雜，大多數(shù)不能單純依靠數(shù)學方法求得嚴謹?shù)慕馕鼋猓患词故巧贁?shù)可以求解的問題，也要做相當多的簡化和假定；對于重要的工程，為確保工程安全，在付諸實施之前，一般還要經(jīng)過模型實驗的驗證。本章在量綱分析法的基礎上探討流動的相似理論，對流體力學試驗研究具有重要的指導意義。,主要內(nèi)容：,量綱分析的意義和量綱和諧原理,量綱分析法,相似理論基礎,模型實驗,,（1） 量綱的概念,單位是指量度物理量數(shù)值大小的標準，單位確定之后，一個具體的物理量就有了對應的一個數(shù)值，有了比較意義上的大小，這是物理量的“量”的特征。,量綱是指物理量的物理屬性。它包含物

2、理量的基本物理要素及其結合形式，表示物理量的類別，是物理量的“質”的特征。,任何物理量都是由自身的物理屬性（類別）和為度量該物理屬性而規(guī)定的量度標準（單位）兩個因素構成的。即“質”的特征和“量”的特征。,5.1 量綱分析的意義和量綱和諧原理,,,,,基本量綱具有獨立性，比如與溫度無關的動力學問題可選取長度L、時間T和質量M為基本量綱。,基本量綱,誘導量綱,量綱,,誘導量綱可由量綱公式通過基本量綱導出,稱為量綱指數(shù),如,思考：加速度的量綱是什么？力的量綱是什么？,,,,相同量綱量的比值,幾個有量綱量通過乘除組合而成,如三角函數(shù)，無量綱速度等,定義：物理量的所有量綱指數(shù)為零,如壓力系數(shù),（2） 無

3、量綱量,無量綱量的特性 客觀性 不受運動規(guī)模影響 可進行超越函數(shù)運算,量綱分析法是用于尋求一定物理過程中，相關物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對于正確地分析、科學地表達物理過程是十分有益的。,5.2 量綱分析法,量綱分析法是基于量綱和諧原理發(fā)展起來的。共有2種：瑞利法和 定理。,,（1） 瑞利法,則其中任何一個物理量qi可以表示為其他物理量的指數(shù)的乘積,瑞利法的基本原理如下：若某一物理過程可用下面的函數(shù)表示,將各物理量的量綱代入上式，并根據(jù)量綱和諧原理，確定出指數(shù)a,b,c,p,即可得到表達該物理過程的方程式。,瑞利法只能用于一些比較簡單的過程。,例,求初速度為零的自由落體運動位移 s的計算

4、式（不計空氣阻力）,解： （1）已知位移s和重力加速度 g和時間 t有關，物理過程可寫為,（2）寫出指數(shù)乘積關系式,（4）根據(jù)量綱和諧原理，有,（3）寫出量綱式,（5）所以,無量綱系數(shù)K可以用實驗測定。,物理過程的有量綱表達形式為 ,其中 m 個物理量的量綱被選為基本量綱，余下 n-m 個物理量可各自與這m 個物理量組合成無量綱量 ，定理的結論是：物理過程的無量綱表達形式為,（2） 定理,若某物理過程涉及 n 個物理量，其中有 m 個物理量的量綱是互相獨立的（不能相互導出），選這些量綱為基本量綱，可組成 n-m 個無量綱量，物理過程則可由這 n-m 個無量綱量的關系式描述。,（3）基

5、本量依次與余下 n-m 個物理量組合成無量綱量,應用 定理的基本步驟,（1）找出與物理過程有關的n 個物理量。,（2）選取 m 個物理量為基本量。不可壓縮流動中，m=3，通常取速度、密度和特征長度為基本量。,（5）整理方程式。,（4）定出各項指數(shù)。,例,求初速度為零的自由落體運動位移 s的計算式（不計空氣阻力）,解： （1）已知位移s和重力加速度 g和時間 t有關，物理過程可寫為,（2）選取基本量,（4）定出指數(shù),（3）組合無量綱量,（5）整理方程式,無量綱系數(shù)K可以用實驗測定。,在量綱分析法中，將物理過程表示成了無量綱量的函數(shù)，似乎物理過程涉及的因素減少了，其實涉及的物理量并未減少，只是這些

6、物理量組合成了若干無量綱量相互關聯(lián)。比起有量綱表達來，無量綱表達更接近于相關物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的實質，也更具普遍性。,應用 定理要點（也是難點）在于：確定物理過程涉及的物理量時，既不能遺漏，也不要多列。,例,水流圍繞橋墩流動時，將產(chǎn)生繞流阻力D，該阻力與橋墩尺寸l，水流速度v，水的密度，動力粘度及重力加速度g有關，試求阻力D的表達式。,解： （1）物理過程可寫為,（2）選取基本量,（3）組合無量綱量,（4）定出指數(shù),（5）整理方程式,為解決工程問題，需要進行實驗。 大多數(shù)實驗都是基于模型進行的。（擴大或縮?。?欲從模型實驗結果推知原型流動情況，必須保證模型試驗中的流動和原型流動具有相似性。

7、什么樣的流動才具有相似性？這就是相似理論要回答的問題。,53 相似理論基礎,一 相似理論的意義,兩個流動要相似，需滿足以下四方面要求： 幾何相似 運動相似 動力相似 邊界條件和初始條件相似,二 相似的概念,,,幾何相似：流場幾何形狀相似，相應長度成比例，相應角度相等。幾何相似還可認為包括流場相應邊界性質相同，如固體壁面，自由液面等。,長度比尺,,,,,運動相似：以幾何相似為前提。兩個流動相應點的速度方向一致，大小成比例。,,在對應瞬時，流場速度圖相似，即相應點速度大小成比例，方向相同。,速度比尺,加速度比尺,,長度比尺,時間比尺,動力相似：在對應位置和對應瞬時，流場中各種成分的力（慣性力、質量

8、力、壓差力和粘性力）矢量圖都相似，即相應點力的大小成比例，方向相同。并且各種成分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。,作用力比尺,,邊界條件相似：相應邊界性質相同，如固體壁面，自由液面等。 初始條件相似：對非恒定流（非定常流），初始條件要相似。對恒定流，則與初始條件無關。 有時可將邊界條件相似歸結為幾何相似。,,不可壓流體的流動都受N-S方程的控制，那么我們怎樣來保證兩個不同規(guī)模的流動是相似的呢？,三. 相似準則,用流動的時間、長度、流速和壓強特征量 ，將方程的自變量和因變量無量綱化：,帶的量成為無量綱量。,,將變量代入,連續(xù)方程,N-S方程,得到無量綱方程,和,其中,將無量綱 N-S

9、 方程整理，得到,必須相等。它們都是無量綱量，分別反映了慣性力、重力、壓差力和粘性力在流動動力平衡中的相對重要性。,兩個相似流動的無量綱解應完全相同，則它們的無量綱方程和無量綱邊界條件、初始條件應該完全一樣，所以兩個相似流動對應的上式中的各項的無量綱系數(shù),根據(jù)上面得到的四個無量綱量（有的作了取倒數(shù)、開方等改形）得到流動的相似參數(shù)：,它們分別是慣性力、重力、壓差力、粘性力相似的參數(shù)。,,時變慣性力,位變慣性力,,,表征,斯托哈爾數(shù),,歐拉數(shù),慣性力,,重力,慣性力,,壓差力,,表征,,表征,,表征,流動的特征量一般應取流動中容易測量到的、能顯著體現(xiàn)流動特征，或者對流動起到重要控制作用的量。如,這

10、些特征量常取在邊界處，使相似參數(shù)中自然融進邊界條件的相似。,相似準則：,弗勞德準則：重力相似準則，保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等,非恒定相似準則：保證兩現(xiàn)象的斯托哈爾數(shù)相等,歐拉準則：壓差力相似，即歐拉數(shù)相等,雷諾準則：粘性相似準則，保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等,,在相似的條件下進行實驗,應該測量實驗結果無量綱表達式包含的所有物理量,實驗結果應整理成以相似參數(shù)和其它無量綱量來表示的函數(shù)關系式或繪制成曲線；實驗結果只能應用于相似現(xiàn)象之間。,在什么條件下進行實驗?,應該測量哪些物理量?,實驗結果如何應用?,如何進行實驗?,54 模型實驗,,可見粘性和重力相似條件產(chǎn)生矛盾，除非改變 g 和 . 而我們知道改變

11、g 是不大可能的（由此可知為什么有些實驗要在航天飛機上做），改變 的可能性也不大，因為流體力學實驗可供選擇的流體種類是很少的。通常我們只能抓主要矛盾，保證起決定作用的那個相似參數(shù)相等，稱為 。,部分相似,在相似的條件下進行實驗,,例如,例,為研究風對高層建筑物的影響，在風洞中進行模型實驗，當風速為9m/s時，測得迎風面壓強為42N/m2，背風面壓強為-20N/m2，試求當風速增至12m/s時，迎風面和背風面的壓強。,解： 假設風速為9m/s時為狀態(tài)1， 12m/s時為狀態(tài)2，兩種狀態(tài)下流動是相似的，則各點的任意無量綱量均應相等。定義一無量綱量,在迎風面處，,在背風面處，,例,一個潮汐模型，按弗勞德準則設計，長度比尺為2000，問原型中的一天，相當于模型時間的多少？,解： 在原型和模型中，弗勞德數(shù)應相等，即,整理，得,又因為，,習題,5-13 5-15 5-19 5-20 5-23,