1.5不等式證明的基本方法,1.5.1比較法,1.理解和掌握比較法證明不等式的依據(jù). 2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟. 3.通過(guò)學(xué)習(xí)比較法證明不等式,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用.,比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種,【做一做1】 設(shè)m=a+2b,n=a+b2+1,則() A.mnB.mn C.m<nD.mn 解析:n-m=b2+1-2b=(b-1)20,nm. 答案:D 【做一做2】 下列命題中,是真命題的有(),A.B. C.D. 答案:A,1.用作差比較法證明不等式的一般步驟是什么? 剖析:用作差比較法證明不等式的一般步驟是:(1)作差:把不等式的左、右兩邊作差,可以是左邊減右邊,也可以是右邊減左邊;(2)變形:把這個(gè)差變化為易于判斷正負(fù)的形式,而不必考慮差的值是多少,變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等;(3)判斷差的符號(hào):主要依據(jù)差的最后變形的結(jié)果來(lái)判斷;(4)下結(jié)論:肯定所證明的不等式成立.,2.作商比較法中的符號(hào)問(wèn)題如何解決?,斷.否則,結(jié)論將是錯(cuò)誤的.對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題,分為含參數(shù)變量類(lèi)的和大小固定的兩種,因而也可以通過(guò)特殊值的方法進(jìn)行一定的猜測(cè),進(jìn)而給出一定的理性推理或證明過(guò)程.,題型一,題型二,題型三,題型四,用作差比較法證明不等式,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,反思(1)作差比較法中,變形具有承上啟下的作用,變形的目的在于判斷差的符號(hào),而不用考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少. (2)變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法. (3)因式分解是常用的變形手段,為了便于判斷“差式”的符號(hào),常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù),或幾個(gè)因式積的形式,當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí),常用判別式法判斷符號(hào).有時(shí)會(huì)遇到結(jié)果符號(hào)不能確定,這時(shí)候要對(duì)差式進(jìn)行分類(lèi)討論.,題型一,題型二,題型四,題型三,用作商比較法證明不等式 【例2】 已知abc0,求證:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b. 分析:證明這類(lèi)含冪指數(shù)乘積形式的不等式,往往通過(guò)作商與1比較大小來(lái)證明. 證明:由abc0,得ac+bbc+aca+b0. 所證不等式左邊除以右邊,得,題型一,題型二,題型四,題型三,反思證明此題易出現(xiàn)在不討論ab+cbc+aca+b0的前提下,就開(kāi)始作商;或在未得到a-b0, ,就得出商大于1,這些都是解題不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋憩F(xiàn),解題時(shí)要注意這一點(diǎn). 一般地,要比較的兩個(gè)解析式均為正值時(shí),可利用作商的方法比較其大小,如果兩個(gè)解析式均為負(fù)值時(shí),可用同樣的方法比較其絕對(duì)值的大小.,題型一,題型二,題型三,題型四,比較法的實(shí)際應(yīng)用 【例3】 已知買(mǎi)8千克胡蘿卜和10千克白菜的錢(qián)小于22元,而買(mǎi)12千克胡蘿卜和6千克白菜的錢(qián)大于24元,問(wèn)買(mǎi)2千克胡蘿卜與3千克白菜的錢(qián)哪個(gè)更多些? 分析:設(shè)每千克胡蘿卜和每千克白菜的錢(qián)分別為a元和b元,根據(jù)條件列出a,b間的關(guān)系式,比較2a與3b的大小即可.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思應(yīng)用不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問(wèn)題來(lái)解決.在實(shí)際應(yīng)用不等關(guān)系問(wèn)題時(shí),常用比較法來(lái)判斷數(shù)的大小關(guān)系,若是選擇題或填空題,則可用特殊值加以判斷.,題型一,題型二,題型三,題型四,易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn):作差后對(duì)差式變形不恰當(dāng),使判斷符號(hào)的過(guò)程含糊不清. 【例4】 判斷函數(shù)f(x)=x3在R上的單調(diào)性. 錯(cuò)解:設(shè)x1,x2是R上的任意兩個(gè)數(shù),且x1f(x1). f(x)=x3在R上為增函數(shù).,題型一,題型二,題型三,題型四,1 2 3 4 5,1下列關(guān)系式中對(duì)任意a<b<0的實(shí)數(shù)都成立的是 (),答案:B,1 2 3 4 5,2已知a0,且a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),則P,Q的大小關(guān)系是() A.PQB.P<Q C.P=QD.大小不確定,答案:A,1 2 3 4 5,A.PQB.P<Q C.PQD.PQ,答案:D,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1). 解析:(x+1)(x2-x+1)-(x-1)(x2+x+1)=x3+1-(x3-1)=20, 故(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1). 答案:,