2.2橢圓 2.2.1橢圓及其標準方程,自主學習 新知突破,1了解橢圓的實際背景，經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程 2了解橢圓的標準方程的推導及簡化過程 3掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形,取一條定長的無彈性的細繩，把它的兩端分別固定在圖板的兩點F1，F2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖 問題1若繩長等于兩點F1，F2的距離，畫出的軌跡是什么曲線？ 提示1線段F1F2. 問題2若繩長L大于兩點F1，F2的距離，移動筆尖(動點M)滿足的幾何條件是什么？動點的軌跡是什么？ 提示2|MF1|MF2|L. 動點的軌跡是橢圓,橢圓的定義,距離之和等于常數,定點,距離,|MF1|MF2|2a,對橢圓定義的理解 (1)集合的語言描述為PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2| (2)平面內到兩定點F1，F2的距離的和為常數，即|MF1|MF2|2a， 當2a|F1F2|時，軌跡是橢圓， 當2a|F1F2|時，軌跡是一條線段F1F2， 當2a<|F1F2|時，軌跡不存在,橢圓的標準方程,(c,0)，(c,0),(0，c)，(0，c),c2a2b2,橢圓標準方程中注意的幾個問題 (1)a2c2b2，ab0，a最大，其中a，b，c構成如圖的直角三角形，我們把它稱為“特征三角形”,(2)方程中的兩個參數a與b，確定橢圓的形狀和大??；焦點F1，F2的位置，是橢圓的定位條件，它決定橢圓標準方程的類型 (3)方程Ax2By2C表示橢圓的充要條件是： ABC0，且A，B，C同號，AB. AB時，焦點在y軸上，A<B時，焦點在x軸上,解析：由橢圓方程知a225，則a5， |PF1|PF2|2a10. 答案：D,答案：A,答案：(6，2)(3，),4求適合下列條件的橢圓的方程 (1)焦點在x軸上，且經過點(2,0)和點(0,1)； (2)焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P(0，10)，P到它較近的一個焦點的距離等于2.,合作探究 課堂互動,求橢圓的標準方程,思路點撥：求橢圓標準方程的關注點 確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面 (1)“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式； (2)“定量”是指確定a2，b2的具體數值，常根據條件列方程求解,用待定系數法求橢圓的標準方程的解題步驟：,如圖，在圓C：(x1)2y225內有一點A(1,0)Q為圓C上一點，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點M，求點M的軌跡方程,利用橢圓的定義求軌跡方程,思路點撥：首先觀察圖形，結合平面幾何的性質得到點M到線段AQ兩端的距離相等，然后由A，C這兩個定點聯想到橢圓的定義，得到點M到這兩個定點A，C的距離的和等于圓C的半徑5，從而可知所求點M的軌跡是橢圓,由題意知點M在線段CQ上， 從而有|CQ|MQ|MC|. 又點M在AQ的垂直平分線上， 則|MA|MQ|，|MA|MC|CQ|5.,求解有關橢圓的軌跡問題，一般有如下兩種思路： (1)首先通過題干中給出的等量關系列出等式，然后化簡等式得到對應的軌跡方程； (2)首先分析幾何圖形所揭示的幾何關系，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，則用待定系數法求解即可,2已知圓A：(x3)2y2100，圓A內一定點B(3,0)，圓P過B點且與圓A內切，求圓心P的軌跡方程,思路點撥：由余弦定理和橢圓定義分別建立|PF1|，|PF2|的方程，求出|PF1|，|PF2|后，再求PF1F2的面積,橢圓定義的應用,橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1，F2構成的F1PF2稱為焦點三角形，解關于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識,【錯解一】2c6，c3，由橢圓的標準方程知a225， b2m2，a2b2c2，得25m29， m216，又m0， 故實數m的值為4.,【錯因】當橢圓的焦點位置不確定時，求橢圓的標準方程需要進行分類討論，而錯解的原因是忽略了對橢圓的焦點位置的討論,