專題九數(shù)學(xué)思想方法,高考數(shù)學(xué)以能力立意，一是考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，基本技能；二是考查基本數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)思維的深度、廣度和寬度，數(shù)學(xué)思想方法是指從數(shù)學(xué)的角度來認(rèn)識、處理和解決問題，是數(shù)學(xué)意識，是數(shù)學(xué)技能的升華和提高，中學(xué)數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,欄目索引,一、函數(shù)與方程思想,例1(1)已知正四棱錐SABCD中，SA ，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為(),A.1 B.C.2 D.3,解析,解析設(shè)正四棱錐SABCD的底面邊長為a (a0)，,令y0，得04. 故函數(shù)y在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4，)上單調(diào)遞減. 可知當(dāng)a4時，y取得最大值，即體積V取得最大值，,解析,思維升華,解析設(shè)F(c,0)，A(m，n)，,所以b2c23a2c24a2b2， 所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)， 所以c48a2c24a40，,解析,思維升華,思維升華,函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用 (1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式. (2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要. (3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)有關(guān)理論. (4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.,思維升華,跟蹤演練1(1)若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x)f(2) C.2f(1)f(2) D.f(1)f(2),解析由于f(x)<xf(x)，,解析,返回,(2)如圖是函數(shù)yAsin(x)(其中A0，0，<<)在一個周期內(nèi)的圖象，則此函數(shù)的解析式是(),解析,返回,解析依函數(shù)圖象，知y的最大值為2，所以A2.,二、數(shù)形結(jié)合思想,例2(1)(2015湖南)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_.,(0,2),解析由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示.,則當(dāng)0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點， 從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點.,解析答案,答案,解析,思維升華,思維升華,思維升華,數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用 (1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍或解不等式. (2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根或函數(shù)的零點的范圍. (3)構(gòu)建解析幾何模型求最值或范圍. (4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系.,跟蹤演練2(1)已知奇函數(shù)f(x)的定義域是x|x0，xR，且在(0，)上單調(diào)遞增，若f(1)0，則滿足xf(x)<0的x的取值范圍是_.,解析作出符合條件的一個函數(shù)圖象草圖即可， 由圖可知xf(x)<0的x的取值范圍是(1,0)(0,1).,(1,0)(0,1),解析答案,解析答案,(2)已知P是直線l：3x4y80上的動點，PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為_.,返回,三、分類與整合思想,分類與整合思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略.對問題實行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度；分類研究后還要對討論結(jié)果進(jìn)行整合.,的取值范圍是(),解析由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.,當(dāng)a1時，有2a1，a0，a1.,解析,解析,思維升華,答案,解析若PF2F190，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，,若F2PF190， 則|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，,思維升華,分類與整合思想在解題中的應(yīng)用 (1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類.有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等. (2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論.有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等. (3)由數(shù)學(xué)運算和字母參數(shù)變化引起的分類.如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等. (4)由圖形的不確定性引起的分類討論.有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等.,思維升華,解析,解析因為m是2和8的等比中項， 所以m22816，所以m4.,綜上知，選項D正確.,(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項和Sn0(n1,2,3，)，則q的取值范圍是_.,解析因為an是等比數(shù)列，Sn0，可得a1S10，q0. 當(dāng)q1時，Snna10；,由，得11. 故q的取值范圍是(1,0)(0，).,(1,0)(0，),返回,解析答案,轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.,四、轉(zhuǎn)化與化歸思想,解析,解析依題意，問題等價于f(x1)ming(x2)max.,由f(x)0，解得1<x<3，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3)， 同理得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)和(3，)， 故在區(qū)間(0,2)上，x1是函數(shù)f(x)的極小值點，這個極小值點是唯一的，,解析,當(dāng)b2時，g(x2)maxg(2)4b8. 故問題等價于,解第一個不等式組得b<1，,解析,第三個不等式組無解，,(2)定義運算：(ab)xax2bx2，若關(guān)于x的不等式(ab)x<0的解集為x|1<x<2，則關(guān)于x的不等式(ba)x<0的解集為(),解析,思維升華,解析1,2是方程ax2bx20的兩實根，,由(31)x3x2x20，,思維升華,轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用 (1)在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉(zhuǎn)化與化歸將復(fù)雜的三角問題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化等. (2)換元法：是將一個復(fù)雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要的方法. (3)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時，常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化.,思維升華,思維升華,(4)在解決數(shù)列問題時，常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解. (5)在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f(x)構(gòu)成的方程、不等式問題求解. (6)在解決解析幾何、立體幾何問題時，常常在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.,答案,解析,解析g(x)3x2(m4)x2， 若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)， 則g(x)0在(t,3)上恒成立， 或g(x)0在(t,3)上恒成立. 由得3x2(m4)x20，,則m41，即m5；,解析,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為,4,答案,解析,返回,所以a(t1)2min4，故a的最大值是4.,返回,