第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列,專題四數(shù)列、推理與證明,欄目索引,解析,高考真題體驗,1,2,3,4,1.(2016課標全國乙)已知等差數(shù)列an前9項的和為27，a108，則a100等于() A.100 B.99 C.98 D.97,a100a1090d98，故選C.,1,2,3,4,2.(2016北京)已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若a16，a3a50，則S6_.,解析a3a52a40，a40. 又a16，a4a13d0，d2.,6,解析答案,1,2,3,4,解析設等差數(shù)列an公差為d，由題意可得：,則a9a18d48320.,20,解析答案,1,2,3,4,4.(2016課標全國乙)設等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_.,64,答案,解析,解析,1,2,3,4,解析設等比數(shù)列an的公比為q，,nN*，,1,2,3,4,此時 取到最大值2664，,a1a2an的最大值為64.,考情考向分析,返回,1.等差、等比數(shù)列基本量和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現(xiàn). 2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力.,熱點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算,1.通項公式 等差數(shù)列：ana1(n1)d； 等比數(shù)列：ana1qn1. 2.求和公式,熱點分類突破,3.性質 若mnpq， 在等差數(shù)列中amanapaq； 在等比數(shù)列中amanapaq.,解析,解析,思維升華,故a1，a7是方程x29x80的兩根，,因為等比數(shù)列an的各項都為正數(shù)，所以公比q0.,解析,思維升華,思維升華,思維升華,在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量.,跟蹤演練1(1)(2015浙江)已知an是等差數(shù)列，公差d不為零.若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1a21，則a1_，d_.,2a1a21，2a1a1d1，即3a1d1，,1,解析答案,解析在等比數(shù)列中，(a1a2)q2a3a4， 即q22，所以a2 013a2 014a2 015a2 016 (a1a2a3a4)q2 012321 006，,1 006,解析答案,熱點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明,數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法 (1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法： 利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)； 利用中項性質，即證明2anan1an1(n2). (2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：,例2已知數(shù)列an的前n項和為Sn (nN*)，且滿足anSn2n1. (1)求證：數(shù)列an2是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；,解析答案,證明anSn2n1，令n1，,anSn2n1， an1Sn12(n1)1 (n2，nN*).,解析答案,思維升華,思維升華,(1)判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項公式及前n項和公式，但不能作為證明方法.,跟蹤演練2(1)已知數(shù)列an中，a11，an12an3，則an_.,2n13,解析由已知可得an132(an3)， 又a134， 故an3是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列. an342n1， an2n13.,解析答案,A.bn一定為等比數(shù)列 B.bn一定為等差數(shù)列 C.bn只從第二項起為等比數(shù)列 D.bn只從第二項起為等差數(shù)列,解析,解析由已知條件可知，若數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”， 設數(shù)列bn的前n項和為Tn，,解析,兩式相減得,由各項均為正項，可得bnbn11(n2)， 由等差數(shù)列的定義可知bn一定為等差數(shù)列.,熱點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題,解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結合數(shù)列的單調性、最值求解.,例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126. (1)求數(shù)列an的通項公式an與前n項和Sn；,解由a2a7a126得a72，a14，,解析答案,(2)將數(shù)列an的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項，記bn的前n項和為Tn，若存在mN*，使對任意nN*，總有Sn<Tm恒成立，求實數(shù)的取值范圍.,解析答案,思維升華,解由題意知b14，b22，b31， 設等比數(shù)列bn的公比為q，,Tm為遞增數(shù)列，得4Tm<8.,解析答案,思維升華,故(Sn)maxS4S510， 若存在mN*，使對任意nN*總有Sn6.即實數(shù)的取值范圍為(6，).,思維升華,思維升華,(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便. (2)數(shù)列的項或前n項和可以看作關于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質求解數(shù)列問題. (3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解.,跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn13(an1)，nN*. (1)求數(shù)列an的通項公式；,解由已知得Sn3an2，令n1，得a11，,解析答案,(2)設數(shù)列bn滿足 若bnt對于任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍.,解由,得,返回,解析答案,1,2,3,4,解析,押題依據(jù),高考押題精練,1.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然數(shù)n的值為() A.6 B.7C.12 D.13,押題依據(jù)等差數(shù)列的性質和前n項和是數(shù)列最基本的知識點，也是高考的熱點，可以考查學生靈活變換的能力.,解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然數(shù)n的值為12.,A.1 B.2C.4 D.8,1,2,3,4,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識運用的綜合性和靈活性，是高考出題的重點.,解析設等差數(shù)列an的公差為d，,解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.,1,2,3,4,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題，綜合考查學生應用數(shù)學的能力，是高考命題的方向.,1,2,3,4,解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理有q2q20， 解得q2或q1(與條件中等比數(shù)列的各項都為正數(shù)矛盾，舍去)，,即有mn24，亦即mn6，,押題依據(jù)先定義一個新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個新數(shù)列的一些性質或者判斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般形式新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺.,4.定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)： f(x)x2；f(x)2x；f(x) ；f(x)ln|x|. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為() A. B.C. D.,1,2,3,4,解析,押題依據(jù),返回,1,2,3,4,f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1).故選C.,返回,