指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性，明確指數(shù)函數(shù)的定義域；2.掌握指數(shù)函數(shù)圖象：(1)能在基本性質(zhì)的指導(dǎo)下，用列表描點(diǎn)法畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，能從數(shù)形兩方面認(rèn)識指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；(2)掌握底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖象的影響；(3)從圖象上體會指數(shù)增長與直線上升的區(qū)別3.學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性來比較大小，包括較為復(fù)雜的含字母討論的類型；4.通過對指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法；5.通過對指數(shù)函數(shù)的研究，要認(rèn)識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，更善于從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=ax(a>0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)镽.要點(diǎn)詮釋：（1）形式上的嚴(yán)格性：只有形如y=ax(a>0且a1)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)像，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)（2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：如果，則如果，則對于一些函數(shù)，比如，當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在如果，則是個(gè)常量，就沒研究的必要了要點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：y=ax0<a<1時(shí)圖象a>1時(shí)圖象圖象性質(zhì)定義域R，值域 （0，+）a0=1, 即x=0時(shí)，y=1，圖象都經(jīng)過(0，1)點(diǎn)ax=a，即x=1時(shí)，y等于底數(shù)a在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)x<0時(shí)，ax>1x>0時(shí)，0<ax<1x<0時(shí)，0<ax<1x>0時(shí)，ax>1 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論。（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快。當(dāng)時(shí)，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快。（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱。要點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1） 則：0ba1dc又即：x(0,+)時(shí)， （底大冪大） x(,0)時(shí)，（2）特殊函數(shù)的圖像：要點(diǎn)四、指數(shù)式大小比較方法(1)單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)中間量法(3)分類討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：若；當(dāng)兩個(gè)式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可【典型例題】類型一、指數(shù)函數(shù)的概念例1函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值【答案】2【解析】由是指數(shù)函數(shù)，可得解得，所以【總結(jié)升華】判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)：（1）切入點(diǎn)：利用指數(shù)函數(shù)的定義來判斷；（2）關(guān)鍵點(diǎn)：一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)要求系數(shù)為1，底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)，指數(shù)必須是自變量舉一反三：【變式1】指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）為指數(shù)函數(shù)其中（6）=，符合指數(shù)函數(shù)的定義，而（2）中底數(shù)不是常數(shù)，而4不是變數(shù)；（3）是-1與指數(shù)函數(shù)的乘積；（4）中底數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)類型二、函數(shù)的定義域、值域例2求下列函數(shù)的定義域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù))【答案】（1）R，(0，1)；（2）R )；（3） ；（4）(-，-1)1，+) 1，a)(a，+)【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽 (對一切xR，3x-1). ，又 3x>0， 1+3x>1， ， ， ， 值域?yàn)?0，1).(2)定義域?yàn)镽， 2x>0， 即 x=-1時(shí)，y取最小值，同時(shí)y可以取一切大于的實(shí)數(shù)， 值域?yàn)?.(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即，值域是.(4) 定義域?yàn)?-，-1)1，+)，又 ， ， 值域?yàn)?，a)(a，+).【總結(jié)升華】求值域時(shí)有時(shí)要用到函數(shù)單調(diào)性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y>0的條件，第(4)小題中不能遺漏.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1時(shí)，；0<a<1時(shí)，【解析】(1)R(2)要使原式有意義，需滿足3-x0，即，即(3) 為使得原函數(shù)有意義，需滿足2x-10，即2x1，故x0，即(4) 為使得原函數(shù)有意義，需滿足，即，所以a>1時(shí)，；0<a<1時(shí)，.【總結(jié)升華】本題中解不等式的依據(jù)主要是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)所給的同底指數(shù)冪的大小關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性來判斷指數(shù)的大小關(guān)系.類型三、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例3討論函數(shù)的單調(diào)性，并求其值域【思路點(diǎn)撥】對于xR，恒成立，因此可以通過作商討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間此函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，因此可以逐層討論它的單調(diào)性，綜合得到結(jié)果【答案】函數(shù)在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間1，+）上是減函數(shù) （0，3【解析】解法一：函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?），設(shè)x1、x2（，+）且有x1x2，（1）當(dāng)x1x21時(shí)，x1+x22，即有x1+x220又x2x10，(x2x1)(x2+x12)0，則知又對于xR，恒成立，函數(shù)在（，1）上單調(diào)遞增（2）當(dāng)1x1x2時(shí)，x1+x22，即有x1+x220又x2x10，(x2x1)(x2+x12)0，則知函數(shù)在1，+）上單調(diào)遞減綜上，函數(shù)在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間1，+）上是減函數(shù)x22x=(x1)211，函數(shù)的值域?yàn)椋?，3解法二：函數(shù)的下義域?yàn)镽，令u=x22x，則u=x22x=(x1)21，在（，1上是減函數(shù)，在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，函數(shù)在（，1內(nèi)為增函數(shù)又在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，而u=x22x=(x1)21在1，+）上是增函數(shù)，函數(shù)在1，+）上是減函數(shù)值域的求法同解法一【總結(jié)升華】由本例可知，研究型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性用復(fù)合法，比用定義法要簡便些，一般地有：即當(dāng)a1時(shí)，的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)0a1時(shí)，的單調(diào)與的單調(diào)性相反舉一反三：【變式1】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域.【答案】上單增，在上單減. 【解析】1復(fù)合函數(shù)分解為：u=-x2+3x-2， y=3u； 2利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法求單調(diào)區(qū)間； 3求值域.設(shè)u=-x2+3x-2， y=3u，其中y=3u為R上的單調(diào)增函數(shù)，u=-x2+3x-2在上單增，u=-x2+3x-2在上單減，則在上單增，在上單減.又u=-x2+3x-2， 的值域?yàn)?【變式2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】當(dāng)a>1時(shí)，外層函數(shù)y=au在上為增函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，外層函數(shù)y=au在上為減函數(shù)，內(nèi)函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).例4證明函數(shù)在定義域上為增函數(shù).【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的單調(diào)性定義去證明?！窘馕觥慷x域?yàn)閤R，任取x1<x2， .， ，又a>1， x1<x2， ， ， f(x1)<f(x2)，則 在定義域上為增函數(shù).另：， ， a>1且x2-x1>0， .【總結(jié)升華】指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般性質(zhì)后，所學(xué)的第一個(gè)具體函數(shù).因此，在學(xué)習(xí)中，盡量體會從一般到特殊的過程.例5判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系：(1)1.8a與1.8a+1； (2) (3)22.5，(2.5)0， (4)【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)去比較大小?！敬鸢浮浚?）1.8a<1.8a+1 （2） （3）（4）當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)0<a<1時(shí)，【解析】(1)因?yàn)榈讛?shù)1.8>1，所以函數(shù)y=1.8x為單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)閍<a+1，所以1.8a<1.8a+1.(2)因?yàn)?，又是減函數(shù)，所以，即 (3)因?yàn)?，所?(4)當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)0<a<1時(shí)，【總結(jié)升華】(1)注意利用單調(diào)性解題的規(guī)范書寫；(2)不是同底的盡量化為同底數(shù)冪進(jìn)行比較(因?yàn)橥撞拍苡脝握{(diào)性)；(3)不能化為同底的，借助一個(gè)中間量來比較大小(常用的中間量是“0”和“1”).舉一反三：【變式1】比較大?。?1)22.1與22.3 (2)3.53與3.23 (3)0.9-0.3與1.1-0.1 (4)0.90.3與0.70.4 (5).【解析】(1)22.122.3(2)3.533.23.觀察兩函數(shù)值，底數(shù)不同，而指數(shù)不變不是指數(shù)函數(shù)，而是y=x3，它為增函數(shù).(3)由0.9-0.3，0<0.9<1， -0.3<0Þ0.9-0.3>1， 1.1>1， -0.1<0Þ0<1.1-0.1<1， 則0.9-0.3>1.1-0.1；(4)由指數(shù)函數(shù)圖象相對位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合，0.90.3>0.70.4.(5)，又函數(shù)為減函數(shù)， ，為增函數(shù)，時(shí)，y>1，.另解：冪函數(shù)為增函數(shù)，則有，(下略).【高清課堂：指數(shù)函數(shù) 369066 例1】【變式2】利用函數(shù)的性質(zhì)比較，【答案】【解析】= 作出的圖象知 所以【變式3】 比較1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.【答案】【解析】先比較的大小.由于底數(shù)(0，1)， 在R上是減函數(shù)， ， ，再考慮指數(shù)函數(shù)y=1.3x， 由于1.3>1， 所以y=1.3x在R上為增函數(shù)1.30.7>1.30=1， .【總結(jié)升華】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí)，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)(如0，1等)分別與之比較，從而得出結(jié)果.總之比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.例6. (分類討論指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)化簡：【思路點(diǎn)撥】先把被開方數(shù)變形成完全平方式的形式，然后對進(jìn)行分類討論，去掉絕對值?！窘馕觥颗e一反三：【變式1】如果（，且），求的取值范圍【答案】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由于，解得（2）當(dāng)時(shí)，由于，解得綜上所述，的取值范圍是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，類型四、判斷函數(shù)的奇偶性例7判斷下列函數(shù)的奇偶性： (為奇函數(shù))【答案】偶函數(shù)【解析】f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)的定義域是定義域除掉0這個(gè)元素)，令，則 g(x)為奇函數(shù)， 又 為奇函數(shù)， f(x)為偶函數(shù).【總結(jié)升華】求的奇偶性，可以先判斷與的奇偶性，然后在根據(jù)奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性舉一反三：【變式1】判斷函數(shù)的奇偶性：.【答案】偶函數(shù)【解析】定義域x|xR且x0，又 ， f(-x)=f(x)，則f(x)偶函數(shù).類型五、指數(shù)函數(shù)的圖象問題例8如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，而，則圖象C1、C2、C3、C4對應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次是_、_、_、_【答案】 【解析】由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律可知，C2的底數(shù)C1的底數(shù)C4的底數(shù)C3的底數(shù)【總結(jié)升華】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問題，同時(shí)還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡單地記作：在y軸的右邊“底大圖高”，在y軸的左邊“底大圖低”舉一反三：【變式1】 設(shè)，cba且，則下列關(guān)系式中一定成立的是（ ）A B C D 【答案】D【變式2】為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象()A向左平移9個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度B向右平移9個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度C向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度D向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度【答案】C【解析】注意先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用圖象的平移規(guī)律進(jìn)行判斷，把函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖象，故選C【總結(jié)升華】用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，利用其直觀性實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等