12.3角平分線的性質(zhì)（一）,角平分線的定義：,從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的角,C,平分線。,C,AOC =BOC,AOB =2AOC =2BOC,角平分線,在ADC和 ABC中，,AD= AB,AC=AC,DC=BC,ADC ABC,（SSS）, DAE=BAE,=,=,尺規(guī)作圖,已知:AOB,如圖. 求作:射線OC,使AOC=BOC. 作法:,用尺規(guī)作角的平分線.,請(qǐng)你說明OC為什么是AOB的平分線,并與同伴進(jìn)行交流.,老師提示: 作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實(shí)掌握.,則射線OC就是AOB的平分線.,角平分線有什么性質(zhì)呢？ OC是AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn)，,1. 操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PDOA，PE OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：,2. 觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系， 寫出結(jié)論：_,C,O,B,A,PD=PE,角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn) 到角的兩邊的距離相等。,題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上,結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等,已知：OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分別是D、E. 求證：PD=PE.,結(jié)論：,C,已知：AOC= BOC ，點(diǎn)P在OC上，PDOA于D， PEOB于E,求證: PD=PE,P,C, PDOA，PEOB,證明：, PDO= PEO= 90,在POD和PEO中, PDOPEO（AAS）, PDOPEO AOCBOC OP=OP, PDPE,OC是AOB的平分線, 且PDOA,PEOB PD=PE (角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等),幾何語言:,角平分線性質(zhì)： 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。,4,例1:如圖，在ABC中，C900，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，若BC8,BD5，則點(diǎn)D到AB的距離為？,例題講解,E,例2：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三角形三邊的距離均相等。,E,F,G,M,N,例題講解,例3：在OAB中，OE是 AOB的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D，求證：AC=BD。,例題講解,1、如圖，OC平分AOB， PMOB于點(diǎn)M， PNOA于點(diǎn)N， POM的面積為6，OM=6，則PN=_。,2,練習(xí),2、如圖:ABC中, C=900，AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF，求證：CF=EB,練習(xí),3、如圖，ABC中，C=90，AC=CB，AD為BAC的平分線，DEAB于點(diǎn)E。 求證：DBE的周長(zhǎng)等于AB。,A,B,C,D,E,練習(xí),B,如圖所示OC是AOB 的平分線,P 是OC上任意一點(diǎn),問PE=PD?為什么?,PD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等.,如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建？,思考題,練習(xí)1：如圖，的的外角的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn)求證：點(diǎn)到三邊，所在直線的距離相等,F,G,H,如圖，在ABC中，AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E。 （1）已知CD=4cm，求AC的長(zhǎng)； （2）求證：AB=AC+CD,