3-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) (Torsion of thin-walled cylindrical Vessels) 1.實(shí)驗(yàn)前 （ 1）畫(huà)縱向線 ,圓周線 ; （ 2）施加一對(duì)外力偶 . 一、應(yīng)力分析 (Analysis of stress) 薄壁圓筒：壁厚 （ r0 圓筒的平均半徑） 010 1 r dx x Me Me 2.實(shí)驗(yàn)后 （ 1）圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和 間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)； （ 2）各縱向線均傾斜了同一微小角度 ； （ 3）所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形 . 2 3.推論 (Inference) （ 1）橫截面上無(wú)正應(yīng)力，只 有切應(yīng)力； （ 2）切應(yīng)力方向垂直半徑或 與圓周相切 . dx 圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切 , 且數(shù)值相等 , 近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處 切應(yīng)力的數(shù)值無(wú)變化 . Me Me A B D C 此式為薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式 . 4.推導(dǎo)公式 (Derivation of formula) () d d 2 AAA r r A r r T 22 rT 薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力均勻分布 , 與半徑垂直 , 指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致 . T x dy dx y z 二、切應(yīng)力互等定理 (Shearing Stress Theorem) 1.在單元體左、右面（桿的橫截面）只有切應(yīng)力 , 其方向于 y 軸平行 . 兩側(cè)面的內(nèi)力元素 dy dz 大小相等 ,方向相反 ,將組成 一個(gè)力偶 . 由平衡方程 0 yF 其矩為 ( dy dz) dx x y dy z dx 2. 要滿足平衡方程 在單元體的上、下兩平面上必有 大小相等，指向相反的一對(duì)內(nèi)力元素 它們組成力偶，其矩為 此力偶矩與前一力偶矩 數(shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得 ( dy dz) dx 00 xz FM zyx d)dd( 3.切應(yīng)力互等定理 (Shearing stress theorem) 單元體兩個(gè)相互垂直平面上的切應(yīng)力同時(shí)存在 , 且大小相 等 ,都指相（或背離）該兩平面的交線 . 4.純剪切單元體 (Element in pure shear) 單元體平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力 , 則稱(chēng)為純剪切單元體 . Me Me l 式中 , r 為薄壁圓筒的外半經(jīng) . 三、剪切胡克定律 (Hookes law for shear) 由圖所示的幾何關(guān)系得到 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn) , 當(dāng)外力偶 Me 在某一范圍內(nèi)時(shí) , 與 Me （在數(shù)值上等于 T ）成正比 . l r 三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系 T O 從 T 與 之間的線性關(guān)系 ,可推出 與 間 的線性關(guān)系 . 該式稱(chēng)為材料的 剪切胡克定律 (Hookes law for shear) G 剪切彈性模量 l r r T 22 G )1(2 EG O