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2015-2016學年北京市門頭溝區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷 　 一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下列各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的． 1．如果4a=5b（ab≠0），那么下列比例式變形正確的是（　?。? A． B． C． D． 　 2．在Rt△ABC中，如果∠C=90°，AB=10，BC=8，那么cosB的值是（　?。? A． B． C． D． 　 3．已知⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為8，那么點P與⊙O的位置關系是（　?。? A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內 C．點P在⊙O 外 D．無法確定 　 4．小明的媽媽讓他在無法看到袋子里糖果的情形下從袋子里抽出一顆糖果．袋子里有三種顏色的糖果，它們的大小、形狀、質量等都相同，其中所有糖果的數(shù)量統(tǒng)計如圖所示．小明抽到紅色糖果的概率為（　?。? A． B． C． D． 　 5．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，則CD的長為（　?。? A．1 B． C．2 D． 　 6．將拋物線y=5x2先向左平移2個單位，再向上平移3個單位后得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是（　?。? A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3 　 7．已知點A（1，m）與點B（3，n）都在反比例函數(shù)的圖象上，那么m與n之間的關系是（　?。? A．m＞n B．m＜n C．m≥n D．m≤n 　 8．如圖，點A（6，3）、B（6，0）在直角坐標系內．以原點O為位似中心，相似比為，在第一象限內把線段AB縮小后得到線段CD，那么點C的坐標為（　?。? A．（3，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（2，1） 　 9．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（　?。? A．160° B．150° C．140° D．120° 　 10．如圖，點C是以點O為圓心、AB為直徑的半圓上的一個動點（點C不與點A、B重合），如果AB=4，過點C作CD⊥AB于D，設弦AC的長為x，線段CD的長為y，那么在下列圖象中，能表示y與x函數(shù)關系的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 　 　 二、填空題（本題共18分，每小題3分） 11．如果兩個相似三角形的相似比是1：3，那么這兩個三角形面積的比是　　　　　?。? 　 12．頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園．該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這個地基的周長是　　　　　　米． 　 13．圖1中的三翼式旋轉門在圓形的空間內旋轉，旋轉門的三片旋轉翼把空間等分成三個部分，圖2是旋轉門的俯視圖，顯示了某一時刻旋轉翼的位置，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)，可知的長是　　　　　　m． 　 14．寫出一個圖象位于二、四象限的反比例函數(shù)的表達式，y=　　　　　?。? 　 15．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何”此問題的實質就是解決下面的問題：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE=1，AB=10，求CD的長”．根據(jù)題意可得CD的長為　　　　　?。? 　 16．學習了反比例函數(shù)的相關內容后，張老師請同學們討論這樣的一個問題：“已知反比例函數(shù)，當x＞1時，求y的取值范圍？”同學們經(jīng)過片刻的思考和交流后，小明同學舉手回答說：“由于反比例函數(shù)的圖象位于第四象限，因此y的取值范圍是y＜0．”你認為小明的回答是否正確：　　　　　　，你的理由是：　　　　　?。? 　 　 三、解答題（本題共30分，每小題5分） 17．計算： |． 　 18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的高． （1）求證：△ABC∽△CBD； （2）如果AC=4，BC=3，求BD的長． 　 19．已知二次函數(shù)y=x2﹣6x+5． （1）將y=x2﹣6x+5化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）求該二次函數(shù)的圖象的對稱軸和頂點坐標； （3）當x取何值時，y隨x的增大而減?。? 　 20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，AC=． （1）以點B為旋轉中心，將△ABC沿逆時針方向旋轉90°得到△A′BC′，請畫出變換后的圖形； （2）求點A和點A′之間的距離． 　 21．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=﹣2x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點A（﹣1，n）． （1）求反比例函數(shù)y=的解析式； （2）若P是坐標軸上一點，且滿足PA=OA，直接寫出點P的坐標． 　 22．“永定樓”是門頭溝區(qū)的地標性建筑，某中學九年級數(shù)學興趣小組進行了測量它高度的社會實踐活動．如圖，他們在A點測得頂端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到達B點后，在B點測得頂端D的仰角∠DBC=45°．求永定樓的高度CD．（結果保留根號） 　 　 四、解答題（本題共20分，每小題5分） 23．已知二次函數(shù)y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）． （1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x軸總有交點； （2）如果此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值． 　 24．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點C作CE∥AD交AB于E，連接AC、DE，AC與DE交于點F． （1）求證：四邊形AECD為平行四邊形； （2）如果EF=2，∠FCD=30°，∠FDC=45°，求DC的長． 　 25．已知二次函數(shù)y1=x2+2x+m﹣5． （1）如果該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍； （2）如果該二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點B的坐標為（1，0），求它的表達式和點C的坐標； （3）如果一次函數(shù)y2=px+q的圖象經(jīng)過點A、C，請根據(jù)圖象直接寫出y2＜y1時，x的取值范圍． 　 26．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，過點A作AD⊥BF，垂足為D． （1）求證：AD為⊙O的切線； （2）若BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的直徑． 　 　 五、解答題（本題共22分，第27題7分，第28題8分，第29題7分） 27．在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點A（0，2）和B（1，）． （1）求該拋物線的表達式； （2）已知點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱，點D在拋物線上，且點D的橫坐標為4，求點C與點D的坐標； （3）在（2）的條件下，將拋物線在點A，D之間的部分（含點A，D）記為圖象G，如果圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點，求t的取值范圍． 　 28．在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義： 如果y′=，那么稱點Q為點P的“關聯(lián)點”． 例如：點（5，6）的“關聯(lián)點”為點（5，6），點（﹣5，6）的“關聯(lián)點” 為點（﹣5，﹣6）． （1）①點（2，1）的“關聯(lián)點”為　　　　　??；②如果點A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“關聯(lián)點”中有一個在函數(shù)的圖象上，那么這個點是　　　　　　（填“點A”或“點B”）． （2）①如果點M*（﹣1，﹣2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的“關聯(lián)點”， 那么點M的坐標為　　　　　??；②如果點N*（m+1，2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點N的“關聯(lián)點”，求點N的坐標． （3）如果點P在函數(shù)y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的圖象上，其“關聯(lián)點”Q的縱坐標 y′的取值范圍是﹣4＜y′≤4，那么實數(shù)a的取值范圍是　　　　　?。? 　 29．在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射線AP位于該菱形外側，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE、DE，直線DE與直線AP交于F，連接BF，設∠PAB=α． （1）依題意補全圖1； （2）如圖1，如果0°＜α＜30°，判斷∠ABF與∠ADF的數(shù)量關系，并證明； （3）如圖2，如果30°＜α＜60°，寫出判斷線段DE，BF，DF之間數(shù)量關系的思路；（可以不寫出證明過程） （4）如果60°＜α＜90°，直接寫出線段DE，BF，DF之間的數(shù)量關系． 　 　  2015-2016學年北京市門頭溝區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下列各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的． 1．如果4a=5b（ab≠0），那么下列比例式變形正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】比例的性質． 【分析】根據(jù)等式的性質：兩邊都除以同一個不為零的數(shù)（或整式），結果不變，可得答案． 【解答】解：兩邊都除以ab，得=，故A正確； B、兩邊都除以20，得=，故B錯誤； C、兩邊都除以4b，得=，故C錯誤； D、兩邊都除以5a，得=，故D錯誤． 故選：A． 【點評】本題考查了比例的性質，利用兩邊都除以同一個不為零的數(shù)（或整式），結果不變是解題關鍵． 　 2．在Rt△ABC中，如果∠C=90°，AB=10，BC=8，那么cosB的值是（　?。? A． B． C． D． 【考點】銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的余弦為鄰邊比斜邊，可得答案． 【解答】解：cosB===， 故選：D． 【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊． 　 3．已知⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為8，那么點P與⊙O的位置關系是（　　） A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內 C．點P在⊙O 外 D．無法確定 【考點】點與圓的位置關系． 【分析】根據(jù)點在圓上，則d=r；點在圓外，d＞r；點在圓內，d＜r（d即點到圓心的距離，r即圓的半徑）． 【解答】解：∵OP=8＞5，∴點P與⊙O的位置關系是點在圓外． 故選：C． 【點評】此題主要考查了點與圓的位置關系，注意：點和圓的位置關系與數(shù)量之間的等價關系是解決問題的關鍵． 　 4．小明的媽媽讓他在無法看到袋子里糖果的情形下從袋子里抽出一顆糖果．袋子里有三種顏色的糖果，它們的大小、形狀、質量等都相同，其中所有糖果的數(shù)量統(tǒng)計如圖所示．小明抽到紅色糖果的概率為（　?。? A． B． C． D． 【考點】概率公式；條形統(tǒng)計圖． 【專題】計算題． 【分析】先利用條形統(tǒng)計圖得到綠色糖果的個數(shù)為2，紅色糖果的個數(shù)為5，紫色糖果的個數(shù)為8，然后根據(jù)概率公式求解． 【解答】解：根據(jù)統(tǒng)計圖得綠色糖果的個數(shù)為2，紅色糖果的個數(shù)為5，紫色糖果的個數(shù)為8， 所以小明抽到紅色糖果的概率==． 故選B． 【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．也考查了條形統(tǒng)計圖． 　 5．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，則CD的長為（　　） A．1 B． C．2 D． 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】由條件可證明△CBD∽△CAB，可得到=，代入可求得CD． 【解答】解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C， ∴△CBD∽△CAB， ∴=，即=， ∴CD=2， 故選C． 【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵． 　 6．將拋物線y=5x2先向左平移2個單位，再向上平移3個單位后得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是（　?。? A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【專題】幾何變換． 【分析】先確定拋物線y=5x2的頂點坐標為（0，0），再利用點平移的規(guī)律得到點（0，0）平移后所得對應點的坐標，然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式． 【解答】解：拋物線y=5x2的頂點坐標為（0，0），把點（0，0）向左平移2個單位，再向上平移3個單位后得到對應點的坐標為（﹣2，3），所以新拋物線的表達式是y=5（x+2）2+3． 故選A． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式． 　 7．已知點A（1，m）與點B（3，n）都在反比例函數(shù)的圖象上，那么m與n之間的關系是（　?。? A．m＞n B．m＜n C．m≥n D．m≤n 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的增減性來比較m與n的大?。? 【解答】解：∵反比例函數(shù)中系數(shù)2＞0， ∴反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，且在每一象限內y隨x的增大而減?。? 又∵點A（1，m）與點B（3，n）都位于第一象限，且1＜3， ∴m＞n． 故選：A． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答該題時，也可以把點A、B的坐標分別代入函數(shù)解析式求得相應的m、n的值，然后比較它們的大小即可． 　 8．如圖，點A（6，3）、B（6，0）在直角坐標系內．以原點O為位似中心，相似比為，在第一象限內把線段AB縮小后得到線段CD，那么點C的坐標為（　　） A．（3，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（2，1） 【考點】位似變換；坐標與圖形性質． 【分析】根據(jù)得A、B的坐標求出OB、AB的長，根據(jù)位似的概念得到比例式，計算求出OD、CD的長，得到點C的坐標． 【解答】解：∵A（6，3）、B（6，0）， ∴OB=6，AB=3， 由題意得，△ODC∽△OBA，相似比為， ∴==， ∴OD=2，CD=1， ∴點C的坐標為（2，1）， 故選：D． 【點評】本題考查的是位似變換的概念和性質以及坐標與圖形的性質，掌握位似的兩個圖形一定是相似形和相似三角形的性質是解題的關鍵． 　 9．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（　?。? A．160° B．150° C．140° D．120° 【考點】圓周角定理；垂徑定理． 【專題】壓軸題． 【分析】利用垂徑定理得出=，進而求出∠BOD=40°，再利用鄰補角的性質得出答案． 【解答】解：∵線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB， ∴=， ∵∠CAB=20°， ∴∠BOD=40°， ∴∠AOD=140°． 故選：C． 【點評】此題主要考查了圓周角定理以及垂徑定理等知識，得出∠BOD的度數(shù)是解題關鍵． 　 10．如圖，點C是以點O為圓心、AB為直徑的半圓上的一個動點（點C不與點A、B重合），如果AB=4，過點C作CD⊥AB于D，設弦AC的長為x，線段CD的長為y，那么在下列圖象中，能表示y與x函數(shù)關系的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 【考點】動點問題的函數(shù)圖象． 【專題】計算題． 【分析】連結BC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用勾股定理得到BC=，再利用面積法可得到y(tǒng)=，CD為半徑時最大，即y的最大值為2，此時x=2，由于y與x函數(shù)關系的圖象不是拋物線，也不是一次函數(shù)圖象，則可判斷A、C錯誤；利用y最大時，x=2可對B、D進行判斷． 【解答】解：連結BC，如圖， ∵AB為直徑， ∴∠ACB=90°， ∴BC==， ∵CD?AB=AC?BC， ∴y=， ∵y的最大值為2，此時x=2． 故選B． 【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．解決本題的關鍵是利用圓周角定理得到∠ACB=90°． 　 二、填空題（本題共18分，每小題3分） 11．如果兩個相似三角形的相似比是1：3，那么這兩個三角形面積的比是　1：9?。? 【考點】相似三角形的性質． 【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出即可． 【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是1：3， 又∵相似三角形的面積比等于相似比的平方， ∴這兩個三角形面積的比是1：9． 故答案為：1：9． 【點評】本題考查了相似三角形的性質，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方． 　 12．頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園．該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這個地基的周長是　12　米． 【考點】正多邊形和圓． 【分析】由正六邊形的半徑為2，則OA=OB=2米；由∠AOB=60°，得出△AOB是等邊三角形，則AB=OA=OB=2米，即可得出結果． 【解答】解：如圖所示： ∵正六邊形的半徑為2米， ∴OA=0B=2米， ∴正六邊形的中心角∠AOB==60°， ∴△AOB是等邊三角形， ∴AB=OA=OB， ∴AB=2米， ∴正六邊形的周長為6×2=12（米）； 故答案為：12． 【點評】本題考查了正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質；解決正多邊形的問題，常常把多邊形問題轉化為等腰三角形或直角三角形來解決． 　 13．圖1中的三翼式旋轉門在圓形的空間內旋轉，旋轉門的三片旋轉翼把空間等分成三個部分，圖2是旋轉門的俯視圖，顯示了某一時刻旋轉翼的位置，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)，可知的長是　　m． 【考點】弧長的計算． 【專題】應用題． 【分析】首先根據(jù)題意，可得，然后根據(jù)圓的周長公式，求出直徑是2m的圓的周長是多少；最后用直徑是2m的圓的周長除以3，求出的長是多少即可． 【解答】解：根據(jù)題意，可得， ∴（m）， 即的長是m． 故答案為：． 【點評】此題主要考查了弧長的計算，以及圓的周長的計算方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是判斷出，并求出直徑是2m的圓的周長是多少． 　 14．寫出一個圖象位于二、四象限的反比例函數(shù)的表達式，y=　答案不唯一，如y=﹣x等?。? 【考點】正比例函數(shù)的性質． 【專題】開放型． 【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的系數(shù)與圖象所過象限的關系，易得答案． 【解答】解：根據(jù)正比例函數(shù)的性質，其圖象位于第二、四象限，則其系數(shù)k＜0； 故只要給出k小于0的正比例函數(shù)即可；答案不唯一，如y=﹣x等． 【點評】解題關鍵是掌握正比例函數(shù)的圖象特點． 　 15．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何”此問題的實質就是解決下面的問題：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE=1，AB=10，求CD的長”．根據(jù)題意可得CD的長為　26?。? 【考點】垂徑定理的應用． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解． 【解答】解：連接OA，AB⊥CD， 由垂徑定理知，點E是AB的中點，AE=AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE， 設半徑為r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2，即r2=52+（r﹣1）2， 解得：r=13， 所以CD=2r=26， 即圓的直徑為26． 【點評】本題利用了垂徑定理和勾股定理求解． 　 16．學習了反比例函數(shù)的相關內容后，張老師請同學們討論這樣的一個問題：“已知反比例函數(shù)，當x＞1時，求y的取值范圍？”同學們經(jīng)過片刻的思考和交流后，小明同學舉手回答說：“由于反比例函數(shù)的圖象位于第四象限，因此y的取值范圍是y＜0．”你認為小明的回答是否正確：　否　，你的理由是：　y＜﹣2?。? 【考點】反比例函數(shù)的性質． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限和函數(shù)的增加性解答． 【解答】解：否，理由如下： ∵反比例函數(shù)，且x＞1， ∴反比例函數(shù)的圖象位于第四象限， ∴y＜﹣2． 故答案是：否；y＜﹣2． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質．注意在本題中，當x＞0時，y＜0． 　 三、解答題（本題共30分，每小題5分） 17．計算： |． 【考點】實數(shù)的運算；特殊角的三角函數(shù)值． 【專題】計算題；實數(shù)． 【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，以及絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結果． 【解答】解：原式=×﹣+﹣1 =﹣1． 【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 　 18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的高． （1）求證：△ABC∽△CBD； （2）如果AC=4，BC=3，求BD的長． 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定，由已知可證∠A=∠DCB，又因為∠ACB=∠BDC=90°，即證△ABC∽△CBD， （2）根據(jù)勾股定理得到AB=5，根據(jù)三角形的面積公式得到CD=，然后根據(jù)勾股定理即可得到結論． 【解答】（1）證明：∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°． ∴∠A+∠ACD=90°． ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°． ∴∠A=∠DCB． 又∵∠ACB=∠BDC=90°， ∴△ABC∽△CBD； （2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=5， ∴CD=， ∵CD⊥AB， ∴BD===． 【點評】本題考查了相似三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵． 　 19．已知二次函數(shù)y=x2﹣6x+5． （1）將y=x2﹣6x+5化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）求該二次函數(shù)的圖象的對稱軸和頂點坐標； （3）當x取何值時，y隨x的增大而減?。? 【考點】二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的性質． 【分析】（1）運用配方法把一般式化為頂點式； （2）根據(jù)二次函數(shù)的性質解答即可； （3）根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和對稱軸解答即可． 【解答】解：（1）y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4； （2）二次函數(shù)的圖象的對稱軸是x=3，頂點坐標是（3，﹣4）； （3）∵拋物線的開口向上，對稱軸是x=3， ∴當x≤3時，y隨x的增大而減?。? 【點評】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式和二次函數(shù)的性質，靈活運用配方法把一般式化為頂點式是解題的關鍵，注意二次函數(shù)的性質的應用． 　 20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，AC=． （1）以點B為旋轉中心，將△ABC沿逆時針方向旋轉90°得到△A′BC′，請畫出變換后的圖形； （2）求點A和點A′之間的距離． 【考點】作圖-旋轉變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）在BA上截取BC′=BC，延長CB到A′使BA′=BA，然后連結A′C′，則△A′BC′滿足條件； （2）先利用勾股定理計算出AB=2，再利用旋轉的性質得BA=BA′，∠ABA′=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質計算AA′的長即可． 【解答】解：（1）如圖，△A′BC′為所作； （2）∵∠ABC=90°，BC=1，AC=， ∴AB==2， ∵△ABC沿逆時針方向旋轉90°得到△A′BC′， ∴BA=BA′，∠ABA′=90°， ∴△ABA′為等腰直角三角形， ∴AA′=AB=2． 【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形． 　 21．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=﹣2x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點A（﹣1，n）． （1）求反比例函數(shù)y=的解析式； （2）若P是坐標軸上一點，且滿足PA=OA，直接寫出點P的坐標． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【專題】計算題． 【分析】（1）先把A（﹣1，n）代入y=﹣2x求出n的值，確定A點坐標為（﹣1，2），然后把A（﹣1，2）代入y=可求出k的值，從而可確定反比例函數(shù)的解析式； （2）過A作AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，則B點坐標為（﹣1，0），C點坐標為（0，2），由于PA=OA，然后利用等腰三角形的性質易確定滿足條件的P點坐標． 【解答】解：（1）把A（﹣1，n）代入y=﹣2x得n=﹣2×（﹣1）=2， ∴A點坐標為（﹣1，2）， 把A（﹣1，2）代入y=得k=﹣1×2=﹣2， ∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣； （2）過A作AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，如圖， ∵點A的坐標為（﹣1，2）， ∴B點坐標為（﹣1，0），C點坐標為（0，2） ∴當P在x軸上，其坐標為（﹣2，0）； 當P點在y軸上，其坐標為（0，4）； ∴點P的坐標為（﹣2，0）或（0，4）． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了等腰三角形的性質． 　 22．“永定樓”是門頭溝區(qū)的地標性建筑，某中學九年級數(shù)學興趣小組進行了測量它高度的社會實踐活動．如圖，他們在A點測得頂端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到達B點后，在B點測得頂端D的仰角∠DBC=45°．求永定樓的高度CD．（結果保留根號） 【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題． 【分析】根據(jù)題意得出DC=BC，進而利用tan30°=求出答案． 【解答】解：由題意可得：AB=46m，∠DBC=45°， 則DC=BC， 故tan30°===， 解得：DC=23（+1）． 答：永定樓的高度CD為23（+1）m． 【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是從題目中整理出直角三角形并正確的利用邊角關系求解． 　 四、解答題（本題共20分，每小題5分） 23．已知二次函數(shù)y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）． （1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x軸總有交點； （2）如果此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值． 【考點】拋物線與x軸的交點． 【專題】證明題． 【分析】（1）令y=0，使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠?，然后求出方程中△的值，即可證明結論； （2）令y=0，使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠?，然后對方程分解因式，又因此二次函?shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，從而可以求得符合要求的正整數(shù)m的值． 【解答】解：（1）證明：∵二次函數(shù)y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）， ∴當y=0時，0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）， △=[﹣（m+2）]2﹣4×m×2=m2+4m+4﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2≥0 ∴0=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）有兩個實數(shù)根， 即二次函數(shù)y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）的圖象與x軸總有交點； （2）∵二次函數(shù)y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）， ∴當y=0時，0=mx2﹣（m+2）x+2=（mx﹣2）（x﹣1）， ∴， 又∵此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)， ∴正整數(shù)m的值是：1或2， 即正整數(shù)m的值是1或2． 【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是建立二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系，然后找出所求問題需要的條件． 　 24．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點C作CE∥AD交AB于E，連接AC、DE，AC與DE交于點F． （1）求證：四邊形AECD為平行四邊形； （2）如果EF=2，∠FCD=30°，∠FDC=45°，求DC的長． 【考點】平行四邊形的判定與性質． 【分析】（1）由平行四邊形的定義即可得出四邊形AECD為平行四邊形； （2）作FM⊥CD于M，由平行四邊形的性質得出DF=EF=2，由已知條件得出△DFM是等腰直角三角形，DM=FM=DF=2，由含30°角的直角三角形的性質和勾股定理得出CF=2FM=4，CM=2，得出DC=DM+CM=2+2即可． 【解答】（1）證明：∵AB∥CD，CE∥AD， ∴四邊形AECD為平行四邊形； （2）解：作FM⊥CD于M，如圖所示： 則∠FND=∠FMC=90°， ∵四邊形AECD為平行四邊形， ∴DF=EF=2， ∵∠FCD=30°，∠FDC=45°， ∴△DFM是等腰直角三角形， ∴DM=FM=DF=2，CF=2FM=4， ∴CM=2， ∴DC=DM+CM=2+2． 【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，通過作輔助線構造直角三角形是解決問題（2）的關鍵． 　 25．已知二次函數(shù)y1=x2+2x+m﹣5． （1）如果該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍； （2）如果該二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點B的坐標為（1，0），求它的表達式和點C的坐標； （3）如果一次函數(shù)y2=px+q的圖象經(jīng)過點A、C，請根據(jù)圖象直接寫出y2＜y1時，x的取值范圍． 【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點得出判別式△＞0，得出不等式，解不等式即可； （2）二次函數(shù)y1=x2+2x+m﹣5的圖象經(jīng)過把點B坐標代入二次函數(shù)解析式求出m的值，即可得出結果；點B（1，0）； （3）由圖象可知：當y2＜y1時，比較兩個函數(shù)圖象的位置，即可得出結果． 【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1=x2+2x+m﹣5的圖象與x軸有兩個交點， ∴△＞0， ∴22﹣4（m﹣5）＞0， 解得：m＜6； （2）∵二次函數(shù)y1=x2+2x+m﹣5的圖象經(jīng)過點（1，0）， ∴1+2+m﹣5=0， 解得：m=2， ∴它的表達式是y1=x2+2x﹣3， ∵當x=0時，y=﹣3， ∴C（0，﹣3）； （3）由圖象可知：當y2＜y1時，x的取值范圍是x＜﹣3或x＞0． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點；由題意求出二次函數(shù)的解析式是解決問題的關鍵． 　 26．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，過點A作AD⊥BF，垂足為D． （1）求證：AD為⊙O的切線； （2）若BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的直徑． 【考點】切線的判定． 【分析】（1）要證AD是⊙O的切線，連接OA，只證∠DAO=90°即可． （2）根據(jù)三角函數(shù)的知識可求出AD，從而根據(jù)勾股定理求出AB的長，根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出⊙O的直徑． 【解答】（1）證明：連接OA； ∵BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，AD⊥BF， ∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA； ∵∠OAC=∠OCA， ∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°， ∴DA為⊙O的切線． （2）解：∵BD=1，tan∠BAD=， ∴AD=2， ∴AB==， ∴cos∠DBA=； ∵∠DBA=∠CBA， ∴BC===5． ∴⊙O的直徑為5． 【點評】本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了三角函數(shù)的知識． 　 五、解答題（本題共22分，第27題7分，第28題8分，第29題7分） 27．在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點A（0，2）和B（1，）． （1）求該拋物線的表達式； （2）已知點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱，點D在拋物線上，且點D的橫坐標為4，求點C與點D的坐標； （3）在（2）的條件下，將拋物線在點A，D之間的部分（含點A，D）記為圖象G，如果圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點，求t的取值范圍． 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【專題】計算題． 【分析】（1）把A點和B點坐標代入得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式； （2）利用配方法得到y(tǒng)=（x﹣1）2+，則拋物線的對稱軸為直線x=1，利用點C與點A關于直線x=1對稱得到C點坐標為（2，2）；然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求D點坐標； （3）畫出拋物線，如圖，先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+1，再利用平移的性質得到圖象G向下平移1個單位時，點A在直線BC上；圖象G向下平移3個單位時，點D在直線BC上，由于圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點，所以1＜t≤3． 【解答】解：（1）把A（0，2）和B（1，）代入得，解得， 所以拋物線解析式為y=x2﹣x+2； （2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+， ∴拋物線的對稱軸為直線x=1， ∵點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱， ∴C點坐標為（2，2）； 當x=4時，y=x2﹣x+2=8﹣4+2=6， ∴D點坐標為（4，6）； （3）如圖， 設直線BC的解析式為y=mx+n， 把B（1，），C（2，2）代入得，解得， ∴直線BC的解析式為y=x+1， 當x=0時，y=x+1=1， ∴點圖象G向下平移1個單位時，點A在直線BC上， 當x=4時，y=x+1=3， ∴點圖象G向下平移3個單位時，點D在直線BC上， ∴當1＜t≤3時，圖象G向下平移t（t＞0）個單位后與直線BC只有一個公共點． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式． 　 28．在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義： 如果y′=，那么稱點Q為點P的“關聯(lián)點”． 例如：點（5，6）的“關聯(lián)點”為點（5，6），點（﹣5，6）的“關聯(lián)點” 為點（﹣5，﹣6）． （1）①點（2，1）的“關聯(lián)點”為?。?，1）??；②如果點A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“關聯(lián)點”中有一個在函數(shù)的圖象上，那么這個點是　B?。ㄌ睢包cA”或“點B”）． （2）①如果點M*（﹣1，﹣2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的“關聯(lián)點”， 那么點M的坐標為　（﹣1，2）??；②如果點N*（m+1，2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點N的“關聯(lián)點”，求點N的坐標． （3）如果點P在函數(shù)y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的圖象上，其“關聯(lián)點”Q的縱坐標 y′的取值范圍是﹣4＜y′≤4，那么實數(shù)a的取值范圍是　﹣2＜a＜2?。? 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：如果y′=，那么稱點Q為點P的“關聯(lián)點”，可得答案； （2）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：如果y′=，那么稱點Q為點P的“關聯(lián)點”，可得答案； （3）根據(jù)在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：如果y′=，那么稱點Q為點P的“關聯(lián)點”，可得P點自變量的取值范圍，可得答案． 【解答】解：（1）①點（2，1）的“關聯(lián)點”為（2，1）； ②如果點A（3，﹣1）的關聯(lián)點為（3，﹣1）； B（﹣1，3）的“關聯(lián)點”為（﹣1，﹣3）， 一個在函數(shù)的圖象上，那么這個點是 B； 故答案為：（2，1），B； （2）①如果點M*（﹣1，﹣2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的“關聯(lián)點”是（﹣1，2）， 那么點M的坐標為（﹣1，2）； ②如果點N*（m+1，2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上， 點N*（﹣1，2）的“關聯(lián)點”（﹣1，﹣2）， 點N的坐標是（﹣1，﹣2）， 故答案為：（﹣1，2），（﹣1，﹣2）； （3）如果點P在函數(shù)y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的圖象上， 當﹣2＜x≤0時，0＜y≤4，即﹣2＜a≤0； 當x＞0時，y=y′，即﹣4＜y≤4， ﹣x2+4＞﹣4，解得x＜2， 即0＜x＜2， 綜上所述：﹣2＜x＜2， ﹣2＜a＜2． “關聯(lián)點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣4＜y′≤4，那么實數(shù)a的取值范圍是﹣2＜a＜2， 故答案為：﹣2＜a＜2． 【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用關聯(lián)點的定義是解題關鍵，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：如果y′=，那么稱點Q為點P的“關聯(lián)點”． 　 29．在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射線AP位于該菱形外側，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE、DE，直線DE與直線AP交于F，連接BF，設∠PAB=α． （1）依題意補全圖1； （2）如圖1，如果0°＜α＜30°，判斷∠ABF與∠ADF的數(shù)量關系，并證明； （3）如圖2，如果30°＜α＜60°，寫出判斷線段DE，BF，DF之間數(shù)量關系的思路；（可以不寫出證明過程） （4）如果60°＜α＜90°，直接寫出線段DE，BF，DF之間的數(shù)量關系． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）根據(jù)題目要求補全圖形即可； （2）連接AE．由軸對稱圖形的性質可知EA=AB，∠ABF=∠AEF，由菱形的定義可知AB=AD，從而得到AE=AD，由等腰三角形的性質可知∠AEF=∠ADF，于是得到∠ABF=∠ADF； （3）由軸對稱圖形的性質可知EF=BF，然后由DF=ED﹣EF，可知DF=ED﹣BF； （4）由軸對稱圖形的性質可知EF=BF，然后由EF=ED+DF，可知BF=DE+DF． 【解答】解：（1）如圖1所示： （2）∠ABF=∠ADF． 理由：如圖2所示：連接AE． ∵點B與點E關于直線PA對稱， ∴EA=AB，∠ABF=∠AEF． ∵四邊形ABCD為菱形， ∴AB=AD． ∴AE=AD． ∴∠AEF=∠ADF． ∴∠ABF=∠ADF． （3）DF=ED﹣BF． 理由：如圖3所示： ∵點B與點E關于PA對稱， ∴EF=BF． 又∵DF=ED﹣EF， ∴DF=ED﹣BF． （4）BF=DE+DF． 理由：如圖4所示： ∵點B與點E關于PA對稱， ∴EF=BF． 又∵EF=ED+DF， ∴BF=DE+DF． 【點評】本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了菱形的性質、軸對稱圖形的性質、等腰三角形的性質，由菱形的性質和軸對稱圖形的性質得到AE=AD是解題的關鍵．