《2013年九年級上數(shù)學(xué)《相似三角形》期末復(fù)習(xí)題及答案解析.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013年九年級上數(shù)學(xué)《相似三角形》期末復(fù)習(xí)題及答案解析.doc（38頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

九年級數(shù)學(xué)《相似三角形》提優(yōu)訓(xùn)練題 　 一．選擇題（共10小題） 1．（2013?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長為（　?。? 　 A． 11 B． 10 C． 9 D． 8 　 2．（2013?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點(diǎn)F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長為（　?。? 　 A． 5cm B． 6cm C． 7cm D． 8cm 　 3．（2013?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．則EF等于（　?。? 　 A． B． C． D． 　 4．（2013?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（　?。? 　 A． B． C． D． 　 5．（2013?綏化）如圖，點(diǎn)A，B，C，D為⊙O上的四個點(diǎn)，AC平分∠BAD，AC交BD于點(diǎn)E，CE=4，CD=6，則AE的長為（　　） 　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 　 6．（2013?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（　?。? 　 A． 2：5 B． 2：3 C． 3：5 D． 3：2 　 7．（2013?黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點(diǎn)G，連接DG交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點(diǎn)M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的個數(shù)是（　?。? 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 　 8．（2013?恩施州）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為OD的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則DF：FC=（　　） 　 A． 1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2 　 9．（2013?德陽）如圖，在⊙O上有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P，位于直徑AB的異側(cè)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是（　　） 　 A． 5 B． C． D． 　 10．（2012?岳陽）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結(jié)論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（　?。? 　 A． ①②⑤ B． ②③④ C． ③④⑤ D． ①④⑤ 　 二．填空題（共10小題） 11．（2013?昭通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，∠ABC=60°．若動點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)在AB上沿著A→B→A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0≤t＜16），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時，t（s）的值為　_________?。ㄌ畛鲆粋€正確的即可） 　 12．（2013?南通）如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長為　_________　cm． 　 13．（2013?菏澤）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=　_________?。? 　 14．（2013?巴中）如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則球拍擊球的高度h為　_________?。? 　 15．（2012?自貢）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM=　_________　cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為　_________　cm2． 　 16．（2012?宜賓）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D的切線交EC的延長線于點(diǎn)G，連接AD，分別交CF、BC于點(diǎn)P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點(diǎn)P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB． 其中正確的是　_________?。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）． 　 17．（2012?泉州）在△ABC中，P是AB上的動點(diǎn)（P異于A、B），過點(diǎn)P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的△ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數(shù)）． （1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時，P（l1）、P（l2）都是過點(diǎn)P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC，l2∥AC），此外，還有　_________　條； （2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當(dāng)=　_________　時，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的． 　 18．（2012?嘉興）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG丄CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF．給出以下四個結(jié)論： ①； ②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn)； ③AF=AB； ④S△ABC=5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是　_________?。? 　 19．（2012?瀘州）如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則Sn=　_________?。ㄓ煤琻的式子表示） 　 20．（2013?荊州）如圖，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個內(nèi)接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上），再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個內(nèi)接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，則第n個小正方形AnBnDnEn 的邊長是　_________?。? 　 三．解答題（共8小題） 21．（2013?珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點(diǎn)E． （1）求證：∠CBP=∠ABP； （2）求證：AE=CP； （3）當(dāng)，BP′=5時，求線段AB的長． 　 22．（2013?湛江）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點(diǎn)，且OP∥BC，∠P=∠BAC． （1）求證：PA為⊙O的切線； （2）若OB=5，OP=，求AC的長． 　 23．（2013?宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，當(dāng)BD=5，CD=4時，求AF的值． 　 24．（2013?襄陽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F． （1）求證：DP∥AB； （2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長． 　 25．（2013?紹興）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上． （1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD． （2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值． 　 26．（2013?汕頭）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E． （1）求證：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的長； （3）求證：BE是⊙O的切線． 　 27．（2013?朝陽）如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，直徑DC的延長線交AB于點(diǎn)B，AB=8，OB=10 （1）求⊙O的半徑． （2）點(diǎn)E在⊙O上，連接AE，AC，EC，并且AE=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論． （3）求弦EC的長． 　 28．（2013?成都）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC． （1）求證：AC=AD+CE； （2）若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點(diǎn)Q； （i）當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時，求的值； （ii）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程） 　  九年級數(shù)學(xué)《相似三角形》提優(yōu)訓(xùn)練題 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共10小題） 1．（2013?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長為（　?。? 　 A． 11 B． 10 C． 9 D． 8 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．4387773 分析： 判斷出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長度，繼而得到EC的長度，在Rt△BGE中求出GE，繼而得到AE，求出△ABE的周長，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△EFC的周長． 解答： 解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E， ∴∠BAF=∠DAF， ∵AB∥DF，AD∥BC， ∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形， ∵AD∥BC， ∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE， ∴EC=FC=9﹣6=3， 在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4， ∴AG==2， ∴AE=2AG=4， ∴△ABE的周長等于16， 又∵△CEF∽△BEA，相似比為1：2， ∴△CEF的周長為8． 故選D． 點(diǎn)評： 本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周長之比等于相似比，此題難度較大． 　 2．（2013?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點(diǎn)F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長為（　　） 　 A． 5cm B． 6cm C． 7cm D． 8cm 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．4387773 分析： 由邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，即可證得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案． 解答： 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴△AFE∽△DEC， ∴AE：DE=AF：CD， ∵AE=2ED，CD=3cm， ∴AF=2CD=6cm． 故選B． 點(diǎn)評： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 3．（2013?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．則EF等于（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 壓軸題． 分析： 依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例的知識，可得出EF的長度． 解答： 解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠CBD=∠A， ∴△ABC∽△BDC， 同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE， ∴=，=，=，=， ∵AB=AC， ∴CD=CE， 解得：CD=CE=，DE=，EF=． 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，本題中相似三角形比較容易找到，難點(diǎn)在于根據(jù)對應(yīng)邊成比例求解線段的長度，注意仔細(xì)對應(yīng)，不要出錯． 　 4．（2013?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 相似三角形的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)；幾何概率．4387773 專題： 壓軸題． 分析： 求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率； 解答： 解：設(shè)正方形的ABCD的邊長為a， 則BF=BC=，AN=NM=MC=a， ∴陰影部分的面積為（）2+（a）2=a2， ∴小鳥在花圃上的概率為= 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查了正方形的性質(zhì)及幾何概率，關(guān)鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩個陰影正方形的邊長，最后表示出面積． 　 5．（2013?綏化）如圖，點(diǎn)A，B，C，D為⊙O上的四個點(diǎn)，AC平分∠BAD，AC交BD于點(diǎn)E，CE=4，CD=6，則AE的長為（　?。? 　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 考點(diǎn)： 圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 分析： 根據(jù)圓周角定理∠CAD=∠CDB，繼而證明△ACD∽△DCE，設(shè)AE=x，則AC=x+4，利用對應(yīng)邊成比例，可求出x的值． 解答： 解：設(shè)AE=x，則AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵∠CDB=∠BAC（圓周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∴△ACD∽△DCE， ∴=，即=， 解得：x=5． 故選B． 點(diǎn)評： 本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出∠CAD=∠CDB，證明△ACD∽△DCE． 　 6．（2013?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（　　） 　 A． 2：5 B． 2：3 C． 3：5 D． 3：2 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．4387773 分析： 先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出結(jié)論． 解答： 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF=4：25， ∴DE：AB=2：5， ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3． 故選B． 點(diǎn)評： 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵． 　 7．（2013?黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點(diǎn)G，連接DG交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點(diǎn)M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的個數(shù)是（　?。? 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．4387773 專題： 壓軸題． 分析： 如解答圖所示： 結(jié)論①正確：證明△ACM≌△ABF即可； 結(jié)論②正確：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，進(jìn)而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF； 結(jié)論③正確：證法一：利用四點(diǎn)共圓；證法二：利用三角形全等； 結(jié)論④正確：證法一：利用四點(diǎn)共圓；證法二：利用三角形全等． 解答： 解：（1）結(jié)論①正確．理由如下： ∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°， ∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN， ∴∠5=∠6， ∴AM=AE=BF． 易知ADCN為正方形，△ABC為等腰直角三角形，∴AB=AC． 在△ACM與△ABF中， ， ∴△ACM≌△ABF（SAS）， ∴CM=AF； （2）結(jié)論②正確．理由如下： ∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4， ∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°， ∴CE⊥AF； （3）結(jié)論③正確．理由如下： 證法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四點(diǎn)共圓， ∴∠7=∠2，∵∠2=∠4， ∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°， ∴△ABF∽△DAH； 證法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2， ∴△ACF為等腰三角形，AC=CF，點(diǎn)G為AF中點(diǎn)． 在Rt△ANF中，點(diǎn)G為斜邊AF中點(diǎn)， ∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG． 在△ADG與△NCG中， ， ∴△ADG≌△NCG（SAS）， ∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4， ∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°， ∴△ABF∽△DAH； （4）結(jié)論④正確．理由如下： 證法一：∵A、D、C、G四點(diǎn)共圓， ∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°， ∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC． 證法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2 則∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°． ∵△ADG≌△NCG， ∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC， ∴GD平分∠AGC． 綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共4個． 故選D． 點(diǎn)評： 本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知識點(diǎn)，有一定的難度．解答中四點(diǎn)共圓的證法，僅供同學(xué)們參考． 　 8．（2013?恩施州）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為OD的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則DF：FC=（　?。? 　 A． 1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．4387773 分析： 首先證明△DFE∽△BAE，然后利用對應(yīng)變成比例，E為OD的中點(diǎn)，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值． 解答： 解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC， 則△DFE∽△BAE， ∴=， ∵O為對角線的交點(diǎn)， ∴DO=BO， 又∵E為OD的中點(diǎn)， ∴DE=DB， 則DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3， ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故選D． 點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行證明△DFE∽△BAE，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例求值． 　 9．（2013?德陽）如圖，在⊙O上有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P，位于直徑AB的異側(cè)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是（　?。? 　 A． 5 B． C． D． 考點(diǎn)： 圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 根據(jù)圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，再根據(jù)正切的定義得到tan∠ABC==，然后根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠P，則可證得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=?PC=PC，PC為直徑時，PC最長，此時CQ最長，然后把PC=5代入計算即可． 解答： 解：∵AB為⊙O的直徑， ∴AB=5，∠ACB=90°， ∵tan∠ABC=， ∴=， ∵CP⊥CQ， ∴∠PCQ=90°， 而∠A=∠P， ∴△ACB∽△PCQ， ∴=， ∴CQ=?PC=PC， 當(dāng)PC最大時，CQ最大，即PC為⊙O的直徑時，CQ最大，此時CQ=×5=． 故選D． 點(diǎn)評： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)． 　 10．（2012?岳陽）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結(jié)論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（　?。? 　 A． ①②⑤ B． ②③④ C． ③④⑤ D． ①④⑤ 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；切線長定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項(xiàng)②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項(xiàng)⑤正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE?CD，選項(xiàng)①正確；又ABCD為直角梯形，利用梯形的面積計算后得到梯形ABCD的面積為AB（AD+BC），將AD+BC化為CD，可得出梯形面積為AB?CD，選項(xiàng)④錯誤，而OD不一定等于OC，選項(xiàng)③錯誤，即可得到正確的選項(xiàng)． 解答： 解：連接OE，如圖所示： ∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切， ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°， ∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC， ∴CD=DE+EC=AD+BC，選項(xiàng)②正確； 在Rt△ADO和Rt△EDO中， ， ∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）， ∴∠AOD=∠EOD， 同理Rt△CEO≌Rt△CBO， ∴∠EOC=∠BOC， 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°， ∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，選項(xiàng)⑤正確； ∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC， ∴△EDO∽△ODC， ∴=，即OD2=DC?DE，選項(xiàng)①正確； 而S梯形ABCD=AB?（AD+BC）=AB?CD，選項(xiàng)④錯誤； 由OD不一定等于OC，選項(xiàng)③錯誤， 則正確的選項(xiàng)有①②⑤． 故選A 點(diǎn)評： 此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及梯形面積的求法，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 二．填空題（共10小題） 11．（2013?昭通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，∠ABC=60°．若動點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)在AB上沿著A→B→A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0≤t＜16），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時，t（s）的值為　4s?。ㄌ畛鲆粋€正確的即可） 考點(diǎn)： 圓周角定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 壓軸題；開放型． 分析： 根據(jù)圓周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中點(diǎn)，所以當(dāng)EF∥AC時，△BEF是直角三角形，此時E為AB的中點(diǎn)，易得t=4s；當(dāng)從A點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到B點(diǎn)名，再運(yùn)動到O點(diǎn)時，此時t=12s；也可以過F點(diǎn)作AB的垂線，點(diǎn)E點(diǎn)運(yùn)動到垂足時，△BEF是直角三角形． 解答： 解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠C=90°， 而∠ABC=60°，BC=4cm， ∴AB=2BC=8cm， ∵F是弦BC的中點(diǎn)， ∴當(dāng)EF∥AC時，△BEF是直角三角形， 此時E為AB的中點(diǎn)，即AE=AO=4cm， ∴t==4（s）． 故答案為4s． 點(diǎn)評： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓周角定理的推論以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 　 12．（2013?南通）如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長為　5　cm． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．4387773 專題： 壓軸題． 分析： 首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長；然后，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)分別得出EF，F(xiàn)C的長，即可得出答案． 解答： 解：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE； 又∵AD∥BC， ∴∠BEA=∠DAE=∠BAE， ∴AB=BE=6cm， ∴EC=9﹣6=3（cm）， ∵BG⊥AE，垂足為G， ∴AE=2AG． 在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm， ∴AG==2（cm）， ∴AE=2AG=4cm； ∵EC∥AD， ∴====， ∴=，=， 解得：EF=2（cm），F(xiàn)C=3（cm）， ∴EF+CF的長為5cm． 故答案為：5． 點(diǎn)評： 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，難度適中． 　 13．（2013?菏澤）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=　12　． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．4387773 專題： 壓軸題． 分析： 延長BQ交射線EF于M，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得EF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠M=∠CBM，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBM=∠CBM，從而得到∠M=∠PBM，根據(jù)等角對等邊可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根據(jù)CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根據(jù)△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可． 解答： 解：如圖，延長BQ交射線EF于M， ∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)， ∴EF∥BC， ∴∠M=∠CBM， ∵BQ是∠CBP的平分線， ∴∠PBM=∠CBM， ∴∠M=∠PBM， ∴BP=PM， ∴EP+BP=EP+PM=EM， ∵CQ=CE， ∴EQ=2CQ， 由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ， ∴==2， ∴EM=2BC=2×6=12， 即EP+BP=12． 故答案為：12． 點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，延長BQ構(gòu)造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 　 14．（2013?巴中）如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則球拍擊球的高度h為　1.5米?。? 考點(diǎn)： 相似三角形的應(yīng)用．4387773 分析： 根據(jù)球網(wǎng)和擊球時球拍的垂直線段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根據(jù)其相似比即可求解． 解答： 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB，即=， 則=， ∴h=1.5m． 故答案為：1.5米． 點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題． 　 15．（2012?自貢）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM=　　cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為　　cm2． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)．4387773 專題： 壓軸題． 分析： 設(shè)BM=xcm，則MC=1﹣xcm，當(dāng)AM⊥MN時，利用互余關(guān)系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值． 解答： 解：設(shè)BM=xcm，則MC=1﹣xcm， ∵∠AMN=90°， ∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°， ∴∠AMB=∠MNC， 又∵∠B=∠C ∴△ABM∽△MCN，則，即， 解得CN==x（1﹣x）， ∴S四邊形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+， ∵﹣＜0， ∴當(dāng)x=﹣=cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2． 故答案是：，． 點(diǎn)評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數(shù)關(guān)系式． 　 16．（2012?宜賓）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D的切線交EC的延長線于點(diǎn)G，連接AD，分別交CF、BC于點(diǎn)P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點(diǎn)P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB． 其中正確的是?、冖邰堋。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 計算題；壓軸題． 分析： 連接BD，由GD為圓O的切線，根據(jù)弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP為直角，再由一對公共角，得到三角形APF與三角形ABD相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出∠APF等于∠ABD，根據(jù)等量代換及對頂角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD，選項(xiàng)②正確；由直徑AB垂直于弦CE，利用垂徑定理得到A為的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，再由C為的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，等量代換得到三條弧相等，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點(diǎn)，即為直角三角形ACQ的外心，選項(xiàng)③正確；利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，得到三角形ACQ與三角形ABC相似，根據(jù)相似得比例得到AC2=CQ?CB，連接CD，同理可得出三角形ACP與三角形ACD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得出AC2=AP?AD，等量代換可得出AP?AD=CQ?CB，選項(xiàng)④正確． 解答： 解：∠BAD與∠ABC不一定相等，選項(xiàng)①錯誤； 連接BD，如圖所示： ∵GD為圓O的切線， ∴∠GDP=∠ABD， 又AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°， ∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°， ∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD， ∴△APF∽△ABD， ∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD， ∴∠GDP=∠GPD， ∴GP=GD，選項(xiàng)②正確； ∵直徑AB⊥CE， ∴A為的中點(diǎn)，即=， 又C為的中點(diǎn)，∴=， ∴=， ∴∠CAP=∠ACP， ∴AP=CP， 又AB為圓O的直徑，∴∠ACQ=90°， ∴∠PCQ=∠PQC， ∴PC=PQ， ∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點(diǎn)， ∴P為Rt△ACQ的外心，選項(xiàng)③正確； 連接CD，如圖所示： ∵=， ∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA， ∴△ACQ∽△BCA， ∴=，即AC2=CQ?CB， ∵=， ∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC， ∴△ACP∽△ADC， ∴=，即AC2=AP?AD， ∴AP?AD=CQ?CB，選項(xiàng)④正確， 則正確的選項(xiàng)序號有②③④． 故答案為：②③④ 點(diǎn)評： 此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外接圓與圓心，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵． 　 17．（2012?泉州）在△ABC中，P是AB上的動點(diǎn)（P異于A、B），過點(diǎn)P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的△ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數(shù)）． （1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時，P（l1）、P（l2）都是過點(diǎn)P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC，l2∥AC），此外，還有　1　條； （2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當(dāng)=　或或　時，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 壓軸題． 分析： （1）過點(diǎn)P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC，l3是第3條相似線； （2）按照相似線的定義，找出所有符合條件的相似線．總共有4條，注意不要遺漏． 解答： 解：（1）存在另外 1 條相似線． 如圖1所示，過點(diǎn)P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC； 故答案為：1； （2）設(shè)P（lx）截得的三角形面積為S，S=S△ABC，則相似比為1：2． 如圖2所示，共有4條相似線： ①第1條l1，此時P為斜邊AB中點(diǎn)，l1∥AC，∴=； ②第2條l2，此時P為斜邊AB中點(diǎn)，l2∥BC，∴=； ③第3條l3，此時BP與BC為對應(yīng)邊，且=，∴==； ④第4條l4，此時AP與AC為對應(yīng)邊，且=，∴==，∴=． 故答案為：或或． 點(diǎn)評： 本題引入“相似線”的新定義，考查相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的運(yùn)算；難點(diǎn)在于找出所有的相似線，不要遺漏． 　 18．（2012?嘉興）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG丄CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF．給出以下四個結(jié)論： ①； ②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn)； ③AF=AB； ④S△ABC=5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是?、佗邸。? 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．4387773 專題： 壓軸題． 分析： 首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BA=BC，繼而證得正確；由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，易證得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，繼而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC=AB，即可求得AF=AB；則可得S△ABC=6S△BDF． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∴AB⊥BC，AG⊥AB， ∴AG∥BC， ∴△AFG∽△CFB， ∴， ∵BA=BC， ∴， 故①正確； ∵∠ABC=90°，BG⊥CD， ∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°， ∴∠DBE=∠BCD， ∵AB=CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)， ∴BD=AB=CB， ∵tan∠BCD==， ∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==， ∵=， ∴FG=FB， ∵GE≠BF， ∴點(diǎn)F不是GE的中點(diǎn)． 故②錯誤； ∵△AFG∽△CFB， ∴AF：CF=AG：BC=1：2， ∴AF=AC， ∵AC=AB， ∴AF=AB， 故③正確； ∵BD=AB，AF=AC， ∴S△ABC=6S△BDF， 故④錯誤． 故答案為：①③． 點(diǎn)評： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 　 19．（2012?瀘州）如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則Sn=　?。ㄓ煤琻的式子表示） 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 壓軸題；規(guī)律型． 分析： 由n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)，即可求得△B1C1Mn的面積，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案． 解答： 解：∵n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)， ∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=， S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=， S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=， S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=， S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=， ∵BnCn∥B1C1， ∴△BnCnMn∽△B1C1Mn， ∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2， 即Sn：=， ∴Sn=． 故答案為：． 點(diǎn)評： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及直角三角形面積的公式．此題難度較大，注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵． 　 20．（2013?荊州）如圖，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個內(nèi)接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上），再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個內(nèi)接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，則第n個小正方形AnBnDnEn 的邊長是　　． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．4387773 專題： 規(guī)律型． 分析： 求出第一個、第二個、第三個內(nèi)接正方形的邊長，總結(jié)規(guī)律可得出第n個小正方形AnBnDnEn 的邊長． 解答： 解：∵∠A=∠B=45°， ∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B， ∴第一個內(nèi)接正方形的邊長=AB=1； 同理可得： 第二個內(nèi)接正方形的邊長=A1B1=AB=； 第三個內(nèi)接正方形的邊長=A2B2=AB=； 故可推出第n個小正方形AnBnDnEn 的邊長=AB=． 故答案為：． 點(diǎn)評： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出前幾個內(nèi)接正方形的邊長，得出一般規(guī)律． 　 三．解答題（共8小題） 21．（2013?珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點(diǎn)E． （1）求證：∠CBP=∠ABP； （2）求證：AE=CP； （3）當(dāng)，BP′=5時，求線段AB的長． 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 幾何綜合題；壓軸題． 分析： （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可； （2）過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP，從而得證； （3）設(shè)CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可． 解答： （1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到， ∴AP=AP′， ∴∠APP′=∠AP′P， ∵∠C=90°，AP′⊥AB， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°， 又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等）， ∴∠CBP=∠ABP； （2）證明：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D， ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°， ∴CP=DP， ∵P′E⊥AC， ∴∠EAP′+∠AP′E=90°， 又∵∠PAD+∠EAP′=90°， ∴∠PAD=∠AP′E， 在△APD和△P′AE中，， ∴△APD≌△P′AE（AAS）， ∴AE=DP， ∴AE=CP； （3）解：∵=， ∴設(shè)CP=3k，PE=2k， 則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k， 在Rt△AEP′中，P′E==4k， ∵∠C=90°，P′E⊥AC， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°， ∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等）， ∴∠CBP=∠EP′P， 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°， ∴△ABP′∽△EPP′， ∴=， 即=， 解得P′A=AB， 在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2， 即AB2+AB2=（5）2， 解得AB=10． 點(diǎn)評： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵，（3）利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出P′A=AB是解題的關(guān)鍵． 　 22．（2013?湛江）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點(diǎn)，且OP∥BC，∠P=∠BAC． （1）求證：PA為⊙O的切線； （2）若OB=5，OP=，求AC的長． 考點(diǎn)： 切線的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 分析： （1）欲證明PA為⊙O的切線，只需證明OA⊥AP； （2）通過相似三角形△ABC∽△PAO的對應(yīng)邊成比例來求線段AC的長度． 解答： （1）證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠B=90°． 又∵OP∥BC， ∴∠AOP=∠B， ∴∠BAC+∠AOP=90°． ∵∠P=∠BAC． ∴∠P+∠AOP=90°， ∴由三角形內(nèi)角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP． 又∵OA是的⊙O的半徑， ∴PA為⊙O的切線； （2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5， ∴OA=OB=5． 又∵OP=， ∴在直角△APO中，根據(jù)勾股定理知PA==， 由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°． ∵∠BAC=∠P， ∴△ABC∽△POA， ∴=． ∴=， 解得AC=8．即AC的長度為8． 點(diǎn)評： 本題考查的知識點(diǎn)有切線的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，得到兩個三角形中的兩組對應(yīng)角相等，進(jìn)而得到兩個三角形相似，是解答（2）題的關(guān)鍵． 　 23．（2013?宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，當(dāng)BD=5，CD=4時，求AF的值． 考點(diǎn)： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 壓軸題． 分析： （1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，繼而可判斷AC是⊙O的切線． （2）根據(jù)（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，繼而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質(zhì)得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長． 解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切線． （2）∵△ADC∽△BAC（已證）， ∴=，即AC2=BC×CD=36， 解得：AC=6， 在Rt△ACD中，AD==2， ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA﹣CD=2， 在Rt△AFD中，AF==2． 點(diǎn)評： 本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的表達(dá)式． 　 24．（2013?襄陽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F． （1）求證：DP∥AB； （2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773 專題： 證明題；壓軸題． 分析： （1）連結(jié)OD，由AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，則∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB； （2）先根據(jù)勾股定理計算出AB=10，由于△DAB為等腰直角三角形，可得到AD==5；由△ACE為等腰直角三角形，得到AE=CE==3，在Rt△AED中利用勾股定理計算出DE=4，則CD=7，易證得∴△PDA∽△PCD，得到===，所以PA=