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1、第七章　　真空中的靜電場 q 2q -4q 2q 習(xí)題7－1圖 7－1 在邊長為a的正方形的四角，依次放置點電荷q,2q,-4q和2q，它的幾何中心放置一個單位正電荷，求這個電荷受力的大小和方向。 解：如圖可看出兩2q的電荷對單位正電荷的在作用力 將相互抵消，單位正電荷所受的力為 ＝方向由q指向-4q。 7－2 如圖，均勻帶電細(xì)棒，長為L，電荷線密度為λ。（1）求棒的延長線上任一點P的場強(qiáng)；(2)求通過棒的端點與棒垂直上任一點Q的場強(qiáng)。 解：（1）如圖7－2 圖a，在細(xì)棒上任取電荷元dq，建立如圖坐標(biāo)，dq＝ldx，設(shè)棒的延長線上任一點P與坐標(biāo)原點0的距離為x，則 0

2、 dq x dx , P 習(xí)題7－2 圖a x 則整根細(xì)棒在P點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為 ＝方向沿x軸正向。 （2）如圖7－2 圖b，設(shè)通過棒的端點與棒垂直上任一點Q與坐標(biāo)原點0的距離為y 0 dq x dx , P 習(xí)題7－2 圖b y dE q y Q q0 0 ， 因， 代入上式，則 ＝，方向沿x軸負(fù)向。 ＝ 7－3 一細(xì)棒彎成半徑為R的半圓形，均勻分布有電荷q，求半圓中心O處的場強(qiáng)。 解：如圖，在半環(huán)上任取dl=Rdq的線元，其上所帶的電荷為dq=lRdq。對稱分析Ey=0。 dq q q

3、dE x y 習(xí)題7－3圖 R ，如圖，方向沿x軸正向。 7－4 如圖線電荷密度為λ1的無限長均勻帶電直線與另一長度為l、線電荷密度為λ2的均勻帶電直線在同一平面內(nèi)，二者互相垂直，求它們間的相互作用力。 解：在λ2的帶電線上任取一dq，λ1的帶電線是無限長，它在dq處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度由高斯定理容易得到為， a λ1 λ2 習(xí)題7－4圖 0 x dq 兩線間的相互作用力為 如圖，方向沿x軸正向。 7－5 兩個點電荷所帶電荷之和為Q，問它們各帶電荷多少時，相互作用力最大？ 解：設(shè)其中一個電荷的帶電量是q，另一個即為Q－q，若它們間的距離為r

4、，它們間的相互作用力為 相互作用力最大的條件為 由上式可得：Q=2q，q=Q/2 7－6 一半徑為R的半球殼，均勻帶有電荷，電荷面密度為σ，求球心處電場強(qiáng)度的大小。 y q r 習(xí)題7－6圖 o 解：將半球殼細(xì)割為諸多細(xì)環(huán)帶，其上帶電量為 dq在o點產(chǎn)生的電場據(jù)（7－10）式為 ， 。如圖，方向沿y軸負(fù)向。 7－7 設(shè)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E與半徑為R的半球面對稱軸平行，計算通過此半球面電場強(qiáng)度的通量。 S1 S2 E 習(xí)題7－7圖 解：如圖，設(shè)作一圓平面S1蓋住半球面S2， 成為閉合曲面高斯，對此高斯曲面電通量為0， 即

5、 7－8 求半徑為R，帶電量為q的空心球面的電場強(qiáng)度分布。 解： 由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因而它所產(chǎn)生的電場分布也具有球?qū)ΨQ性，與帶電球面同心的球面上各點的場強(qiáng)E的大小相等，方向沿徑向。在帶電球內(nèi)部與外部區(qū)域分別作與帶電球面同心的高斯球面S1與S2。對S1與S2，應(yīng)用高斯定理，即先計算場強(qiáng)的通量，然后得出場強(qiáng)的分布，分別為 r 0 R 習(xí)題7－18圖 得 （rR) 7－9 如圖所示，厚度為d的“無限大”均勻帶電平板，體電荷密度為ρ，求板內(nèi)外的電場分布。 解:帶電平板均勻帶電，在厚度為d/2的平分街面上電場強(qiáng)度為零，取坐標(biāo)原點在此街面上，

6、建立如圖坐標(biāo)。對底面積為A，高度分別為xd/2的高斯曲面應(yīng)用高斯定理，有 d 習(xí)題7－9圖 0 x E 得 7－10 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其體電荷密度為，ρ0為常數(shù)。求場強(qiáng)分布。 習(xí)題7－10圖 r o 解： 據(jù)高斯定理有 時： 時： 7－11 帶電為q、半徑為R1的導(dǎo)體球，其外同心地放一金屬球殼，球殼內(nèi)、外半徑為R2、R3。 （1）球殼的電荷及電勢分布； （2）把外球接地后再絕緣，求外球殼的電荷及球殼內(nèi)外電勢分布； （3）再把內(nèi)球接地，求內(nèi)球的電荷及外球殼的電勢。 解：（1）靜電平衡，球殼內(nèi)表面帶

7、－q，外表面帶q電荷。 據(jù)（7－23）式的結(jié)論得： o R1 R2 R3 q -q q 習(xí)題7－11圖 （2） （3）再把內(nèi)球接地，內(nèi)球的電荷及外球殼的電荷重新分布設(shè)靜電平衡，內(nèi)球帶q/，球殼內(nèi)表面帶－q/，外表面帶q/－q。 得： 7－12 一均勻、半徑為R的帶電球體中，存在一個球形空腔，空腔的半徑r(2r

8、點P產(chǎn)生的電場分別據(jù)〔例7－7〕結(jié)果為 o o/ p r2 r1 習(xí)題7－12圖 , E=E1+E2= 上式是恒矢量，得證。 7－13 一均勻帶電的平面圓環(huán)，內(nèi)、外半徑分別為R1、R2，且電荷面密度為σ。一質(zhì)子被加速器加速后，自圓環(huán)軸線上的P點沿軸線射向圓心O。若質(zhì)子到達(dá)O點時的速度恰好為零，試求質(zhì)子位于P點時的動能EK。（已知質(zhì)子的帶電量為e，忽略重力的影響，OP=L） R2 o R1 x p 習(xí)題7－13圖 解：圓環(huán)中心的電勢為 圓環(huán)軸線上p點的電勢為 質(zhì)子到達(dá)O點時的速度恰好為零有 = 7－14 有一

9、半徑為R的帶電球面，帶電量為Q，球面外沿直徑方向上放置一均勻帶電細(xì)線，線電荷密度為λ，長度為L（L>R），細(xì)線近端離球心的距離為L。設(shè)球和細(xì)線上的電荷分布固定，試求細(xì)線在電場中的電勢能。 解：在帶電細(xì)線中任取一長度為dr的線元，其上所帶的電荷元為dq=ldr，據(jù)（7－23）式帶電球面在電荷元處產(chǎn)生的電勢為 o r Q dr 習(xí)題7－14圖 電荷元的電勢能為: 細(xì)線在帶電球面的電場中的電勢能為： *7－15 半徑為R的均勻帶電圓盤，帶電量為Q。過盤心垂直于盤面的軸線上一點P到盤心的距離為L。試求P點的電勢并利用電場強(qiáng)度與電勢的梯度關(guān)系求電場強(qiáng)度。 解：P到

10、盤心的距離為L，p點的電勢為 p 習(xí)題7－15圖 x o 圓盤軸線上任意點的電勢為 利用電場強(qiáng)度與電勢的梯度關(guān)系得： P到盤心的距離為L，p點的電場強(qiáng)度為： 7－16 兩個同心球面的半徑分別為R1和R2,各自帶有電荷Q1和Q2。求：（1）各區(qū)城電勢分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間的電勢差為多少？ 解：（1）據(jù)（7－23）式的結(jié)論得各區(qū)城電勢分布為 o Q1 Q2 R1 R2 習(xí)題7－16圖 （2）兩球面間的電勢差為 7－17 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為ρ，若取棒表面為零電勢，求空

11、間電勢分布并畫出電勢分布曲線。 習(xí)題7－10圖 r o 解： 據(jù)高斯定理有 時： 時，V=0，則 時： R r o V 時： 空間電勢分布并畫出電勢分布曲線大致如圖。 7－18 兩根很長的同軸圓柱面半徑分別為R1、R2，帶有等量異號的電荷，兩者的電勢差為U，求：（1）圓柱面單位長度帶有多少電荷？（2）兩圓柱面之間的電場強(qiáng)度。 解：設(shè)圓柱面單位長度帶電量為l，則兩圓柱面之間的電場強(qiáng)度大小為 習(xí)題7－18圖 r o 兩圓柱面之間的電勢差為 由上式可得： 所以 7－19 在一次典型的閃電中，兩個放電點間的電勢差約為109V，被遷

12、移的電荷約為 30庫侖，如果釋放出來的能量都用來使00C的冰熔化成00C的水，則可融化多少冰?（冰的熔 解熱為3.34105J﹒kg-1) 解：兩個放電點間的電勢差約為109V，被遷移的電荷約為30庫侖，其電勢能為 上式釋放出來的能量可融化冰的質(zhì)量為：8.98104kg 7－20 在玻爾的氫原子模型中，電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運(yùn)動。（1）若把電子從原子中拉出來需要克服電場力作多少功?（2）電子在玻爾軌道上運(yùn)動的總能量為多少？ 解：電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運(yùn)動，其電勢能為 （1）把電子從原子中拉出來需要克服電場力作功為： （2）電子在玻爾

13、軌道上運(yùn)動的總能量為： 電子的總能量為： 第八章 靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì) 8－1 點電荷+q處在導(dǎo)體球殼的中心，殼的內(nèi)外半徑分別為Rl和R2，試求，電場強(qiáng)度和電勢的分布。 解：靜電平衡時，球殼的內(nèi)球面帶－q、外球殼帶q電荷 在rR2的區(qū)域內(nèi): 8－2 把一厚度為d的無限大金屬板置于電場強(qiáng)度為E0的勻強(qiáng)電場中，E0與板面垂直，試求金屬板兩表面的電荷面密度。 E0 E0 習(xí)題 8－2圖 s1 s2 解：靜電平衡時，金屬板內(nèi)的電場為0，

14、金屬板表面上電荷面密度與緊鄰處的電場成正比 所以有 8－3 一無限長圓柱形導(dǎo)體，半徑為a，單位長度帶有電荷量l1，其外有一共軸的無限長導(dǎo)體圓簡，內(nèi)外半徑分別為b和c，單位長度帶有電荷量l2，求（1）圓筒內(nèi)外表面上每單位長度的電荷量；（2）求電場強(qiáng)度的分布。 解：（1）由靜電平衡條件，圓筒內(nèi)外表面上每單位長度的電荷量為 習(xí)題 8－3圖 （2）在rb的區(qū)域內(nèi):Een 8－4 三個平行金屬板A、B和C，面積都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖所示。如果A板

15、帶正電3.010－7C，略去邊緣效應(yīng)（1）求B板和C板上感應(yīng)電荷各為多少?（2）以地為電勢零點，求A板的電勢。 A B C 習(xí)題 8－4圖 d1 d2 解：（1）設(shè)A板兩側(cè)的電荷為q1、q2，由電荷守恒 原理和靜電平衡條件，有 （1） ，（2） 依題意VAB=VAC,即 ＝代入（1）（2）式得 q1＝1.010-7C，q2＝2.010-7C，qB＝－1.010-7C，qC=-q2＝－2.010-7C， （2）＝=2.3103V 8－5 半徑為R1=l.0cm的導(dǎo)體球帶電量為q=1.010－10 C，球外有一個內(nèi)外半徑分別為R2=3.0cm和R3=4.0cm的

16、同心導(dǎo)體球殼，殼帶有電量Q=1110－10 C，如圖所示，求（1）兩球的電勢；（2）用導(dǎo)線將兩球連接起來時兩球的電勢；（3）外球接地時，兩球電勢各為多少？（以地為電勢零點） 解：靜電平衡時，球殼的內(nèi)球面帶－q、外球殼帶q+Q電荷 （1）代入數(shù)據(jù) 習(xí)題 8－5圖 q -q q+Q ＝3.3102V =2.7102V （2）用導(dǎo)線將兩球連接起來時兩球的電勢為 =2.7102V （3）外球接地時，兩球電勢各為 ＝60V q2 A B 習(xí)題 8－6圖 q1 q3 q4 8－6 證明:兩平行放置的無限大帶電的平行平面金屬板A和B相向的兩面

17、上電荷面密度大小相等，符號相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號相同。如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA=610－8 C和QB=410－8C，略去邊緣效應(yīng)，求兩個板的四個表面上的電面密度。 證：設(shè)A板帶電量為QA、兩側(cè)的電荷為q1、q2， B板板帶電量為QB、兩側(cè)的電荷為q3、q4。由電荷守恒有 （1） （2） 在A板與B板內(nèi)部取兩場點，金屬板內(nèi)部的電場為零有 ，得（3） ，得（4） 聯(lián)立上面4個方程得：, 即相向的兩面上電荷面密度大小相等，符號相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號相同，本題得證。 如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA

18、=610－8 C和QB=410－8C，則 5.010－6C/m2, 1.010-6C/m2 8－7 半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用細(xì)導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距離為D=3R處有一點電荷+q，試求金屬球上的感應(yīng)電荷。 解：設(shè)金屬球上的感應(yīng)電荷為Q，金屬球接地 q Q D=3R R 習(xí)題 8－7圖 電勢為零，即 8－8 一平行板電容器，兩極板為相同的矩形，寬為a，長為b，間距為d，今將一厚度為t、寬度為a的金屬板平行地向電容器內(nèi)插入，略去邊緣效應(yīng)，求插入金屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關(guān)系。 t d b x 習(xí)題 8－8圖 解：設(shè)如圖左邊電

19、容為C1，右邊電容為C2 左右電容并聯(lián)，總電容即金屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關(guān)系，為 = 8－9 收音機(jī)里的可變電容器如圖（a）所示，其中共有n塊金屬片，相鄰兩片的距離均為d，奇數(shù)片聯(lián)在一起固定不動（叫定片）偶數(shù)片聯(lián)在起而可一同轉(zhuǎn)動（叫動片）每片的形狀如圖（b）所示。求當(dāng)動片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度為q時，電容器的電容。 解：當(dāng)動片轉(zhuǎn)到使兩組片重疊部分的角度 (a) (b) 習(xí)題 8－9圖 為q時，電容器的電容的有效面積為 此結(jié)構(gòu)相當(dāng)有n-1的電容并聯(lián)，總電容為 ＝ 8－10 半徑都為a的兩根平行長直導(dǎo)線相距為d（d>>a），（1

20、）設(shè)兩直導(dǎo)線每單位長度上分別帶電十l和一l求兩直導(dǎo)線的電勢差；（2）求此導(dǎo)線組每單位長度的電容。 解：（1）兩直導(dǎo)線的電電場強(qiáng)度大小為 o r 習(xí)題 8－10圖 兩直導(dǎo)線之間的電勢差為 （2）求此導(dǎo)線組每單位長度的電容為 = 8－11 如圖，C1=10mF，C2=5mF，C3=5mF，求（1）AB間的電容；（2）在AB間加上100V電壓時，求每個電容器上的電荷量和電壓；（3）如果C1被擊穿，問C3上的電荷量和電壓各是多少？ 解：（1）AB間的電容為 =3.75mF； （2）在AB間加上100V電壓時，電路中的總電量就是C3電容器上的電荷量，為 A B C

21、1 C3 C2 習(xí)題 8－11圖 （3）如果C1被擊穿，C2短路，AB間的100V電壓全加在C3上，即V3=100V， C3上的電荷量為 8－12 平行板電容器，兩極間距離為l.5cm，外加電壓39kV，若空氣的擊穿場強(qiáng)為30kV/cm，問此時電容器是否會被擊穿？現(xiàn)將一厚度為0.3cm的玻璃插入電容器中與兩板平行，若玻璃的相對介電常數(shù)為7，擊穿場強(qiáng)為100kV/cm，問此時電容器是否會被擊穿？結(jié)果與玻璃片的位置有無關(guān)系? V 習(xí)題 8－12圖 解：（1）未加玻璃前，兩極間的電場為 不會擊穿 （2）加玻璃后，兩極間的電壓為 空氣部分會擊

22、穿，此后，玻璃中的電場為 ，玻璃部分也被擊穿。結(jié)果與玻璃片的位置無關(guān)。 8－13 一平行板電容器極板面積為S，兩板間距離為d,其間充以相對介電常數(shù)分別為er1、er2，的兩種均勻電介質(zhì)，每種介質(zhì)各占一半體積，如圖所示。若忽略邊緣效應(yīng)，求此電容器的電容。 解：設(shè)如圖左邊電容為C1，右邊電容為C2 er1 er2 習(xí)題 8－13圖 左右電容并聯(lián)，總電容為 8－14 平行板電容器兩極間充滿某種介質(zhì)，板間距d為2mm，電壓600V，如果斷開電源后抽出介質(zhì)，則電壓升高到1800V。求（1）電介質(zhì)相對介電常數(shù)；（2）電介質(zhì)上極化電荷面密度；（3）極化電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)。

23、 解：設(shè)電介質(zhì)抽出前后電容分別為C與C/ 8－15 圓柱形電容器是由半徑為R1的導(dǎo)體圓柱和與它共軸的導(dǎo)體圓筒組成。圓筒的半徑為R2，電容器的長度為L，其間充滿相對介電常數(shù)為er的電介質(zhì)，設(shè)沿軸線方向單位長度上圓柱的帶電量為+l，圓筒單位長度帶電量為-l，忽略邊緣效應(yīng)。求（1）電介質(zhì)中的電位移和電場強(qiáng)度；（2）電介質(zhì)極化電荷面密度。 解： R1 R/ 習(xí)題 8－16圖 U1 U2 U0 E1 E2 8－16 半徑為R的金屬球被一層外半徑為R/的均勻電介質(zhì)包裹著，設(shè)電介質(zhì)的相對介電常數(shù)為er，金屬球帶電量為Q,求（1）介質(zhì)層內(nèi)外的電場強(qiáng)度；（

24、2）介質(zhì)層內(nèi)外的電勢；（3）金屬球的電勢。 解： 8－17 球形電容器由半徑為R1的導(dǎo)體球和與它同心的導(dǎo)體球殼組成，球殼內(nèi)半徑為R2，其間有兩層均勻電介質(zhì)，分界面半徑為r，電介質(zhì)相對介電常數(shù)分別為er1、er2，如圖所示。求（1）電容器的電容；（2）當(dāng)內(nèi)球帶電量為+Q時各介質(zhì)表面上的束縛電荷面密度。 解： R1 R2 r 習(xí)題 8－17圖 習(xí)題 8－18圖 8－18 一平行板電容器有兩層介質(zhì)（如圖），er1＝4，er2＝2，厚度為d1=2.0mm，d2=3.0mm，極板面積S=40cm2，兩極板間電壓為200V。（1）求每層電介質(zhì)中的能量密度；（2）計算電

25、容器的總能量；（3）計算電容器的總電容。 解： 8－19 平板電容器的極板面積S=300cm2兩極板相距d1=3mm，在兩極板間有一個與地絕緣的平行金屬板，其面積與極板的相同，厚度d1=1mm。當(dāng)電容器被充電到600V后，拆去電源，然后抽出金屬板，問（1）電容器間電場強(qiáng)度是否變化；（2）抽出此板需作多少功? 解： 8－20 半徑為R1=2.0cm的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，球殼內(nèi)外半徑分別為R2=4.0cm、R3=5.0cm。球與殼之間是空氣，殼外也是空氣，當(dāng)內(nèi)球帶電荷為Q=3.010-8C時，求（1）整個電場貯存的能量；（2）如果將導(dǎo)體球殼接地，計算貯存的能量，并由此求其電容。 解： 17