理科數(shù)學(xué) 2017 年高三 2017 年全國(guó)丙卷理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)考試時(shí)間：_分鐘題型單選題填空題簡(jiǎn)答題總分得分單選題 （本大題共 12 小題，每小題_分，共_分。）1已知集合 A=，B=，則 A B 中元素的個(gè)數(shù)為()A. 3B. 2C. 1D. 02設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足(1+i)z=2i，則z=()A.B.C.D. 23某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖1根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相對(duì)于 7 月至 12 月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)4 的展開(kāi)式中 的系數(shù)為()A.B.C. 40D. 805已知雙曲線 C：(a0,b0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則 C 的方程為()A.B.C.D.6設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A. 的一個(gè)周期為B. 的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱2C. 的一個(gè)零點(diǎn)為 D. 在( , )單調(diào)遞減7執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出 S 的值小于 91，則輸入的正整數(shù) N 的最小值為()A. 5B. 4C. 3D. 28已知圓柱的高為 1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為 2 的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A.B.C.D.9等差數(shù)列的首項(xiàng)為 1，公差不為 0若 a2，a3，a6 成等比數(shù)列，則前 6 項(xiàng)的和為()3A.B.C. 3D. 810已知橢圓 C：的圓與直線的左、右頂點(diǎn)分別為 A1，A2，且以線段 A1A2 為直徑相切，則 C 的離心率為( )A.B.C.D.11已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則 a=()A.B.C.D.112在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn) P 在以點(diǎn) C 為圓心且與 BD 相切的圓上.若，則的最大值為()A. 3B. 2C.4D. 2填空題 （本大題共 4 小題，每小題_分，共_分。）13若 ， 滿足約束條件，則 的最小值為_(kāi).14設(shè)等比數(shù)列滿足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，則 a4 = _.15設(shè)函數(shù)，則滿足的 x 的取值范圍是_.16a，b 為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形 ABC 的直角邊 AC 所在直線與 a， b 都垂直，斜邊 AB 以直線 AC 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線 AB 與 a 成 60角時(shí)，AB 與 b 成 30角；當(dāng)直線 AB 與 a 成 60角時(shí)，AB 與 b 成 60角；直線 AB 與 a 所成角的最小值為 45；直線 AB 與 a 所成角的最大值為 60.其中正確的是_.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）簡(jiǎn)答題（綜合題） （本大題共 7 小題，每小題_分，共_分。）17（12 分）的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c.已知 ，a=2,b=2. （1）求 c；（2）設(shè) D 為 BC 邊上一點(diǎn)，且 AD AC,求ABD 的面積.18（12 分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶 4 元，售價(jià)每瓶 6 元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶 2 元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān).如果最高氣溫不低于 25，需求量為 500 瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為 300 瓶；如果最高氣溫低于 20，需求量為 200 瓶為5了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量 X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為 Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量 n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y 的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？19（12 分）如圖，四面體 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）證明：平面 ACD平面 ABC；（2）過(guò) AC 的平面交 BD 于點(diǎn) E，若平面 AEC 把四面體 ABCD 分成體積相等的兩部分，求二面角 DAEC 的余弦值.20（12 分）已知拋物線 C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線 l 交 C 于 A,B 兩點(diǎn)，圓 M 是以線段 AB 為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn) O 在圓 M 上；（2）設(shè)圓 M 過(guò)點(diǎn)，求直線 l 與圓 M 的方程.21（12 分）已知函數(shù).（1）若，求 a 的值；6（2）設(shè) m 為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù) n，求 m 的最小值.22選考題：共 10 分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10 分）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l1 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），直線 l2 的參數(shù)方程為.設(shè) l1 與 l2 的交點(diǎn)為 P，當(dāng) k 變化時(shí)，P 的軌跡為曲線 C.（1）寫(xiě)出 C 的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè) ，M 為 l3 與 C 的交點(diǎn)，求 M 的極徑.23選考題：共 10 分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修 4 5：不等式選講（10 分）已知函數(shù) f（x）=x+1x2.（1）求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不等式的解集非空，求 m 的取值范圍.7答案單選題1. B 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. A 10. A 11. C12. A填空題13.14.15.16.簡(jiǎn)答題17.(1) (2)18.(1)分布列略；(2) n=300 時(shí)，Y 的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為 520 元.19.(1)證明略；(2).20.(1)證明略；(2)見(jiàn)解析21.(1)a=1；(2) 322.8（1） ；（2）23.（1）；（2）解析單選題1.由題意可得：圓 與直線 相交于兩點(diǎn)，則中有 2 個(gè)元素.故選 B.2.由題意可得，由復(fù)數(shù)求模的法則可得，則.故選C.3.由折線圖，每年 7 月到 8 月折線圖呈下降趨勢(shì)，月接待游客量減少，選項(xiàng) A 說(shuō)法錯(cuò)誤.故選 A.4.由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng) 時(shí)，展開(kāi)式 的系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式 的系數(shù)為，則 的系數(shù)為 804040，故選 C.5.雙曲線 C：(a0,b0)的漸近線方程為，9橢圓中： ，橢圓，雙曲線的焦點(diǎn)為 ，據(jù)此可得雙曲線中的方程組：，解得： ，則雙曲線 的方程為.6.當(dāng)時(shí)，函數(shù) 在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào).故選 D.7.閱讀程序框圖，程序運(yùn)行如下：首先初始化數(shù)值：，然后進(jìn)入循環(huán)體：此時(shí)應(yīng)滿足 ，執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句：；此時(shí)應(yīng)滿足 ，執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句：；此時(shí)滿足 ，可以跳出循環(huán)，則輸入的正整數(shù) N 的最小值為 2.故選 D.8.繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選 B.109.設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，又，所以，故選 A.10.以線段為直徑的圓是，直線 與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理為 ，即，即，故選 A.11.函數(shù)的零點(diǎn)滿足 ，設(shè)，則，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最小值，設(shè) ，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最小值 ，若 ，函數(shù)與函數(shù) 沒(méi)有交點(diǎn)，11當(dāng) ，時(shí)，此時(shí)函數(shù)與函數(shù) 有一個(gè)交點(diǎn)，即 ，解得，故選 C.12.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓 C 的方程是，若滿足 ，則，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得 ，所以 的最大值是 3，即的最大值是 3，故選 A.12填空題13.作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示.目標(biāo)函數(shù)即，易知直線在 軸上的截距最大時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù) 在點(diǎn)處取得最小值，為 .14.由題意可得：，解得：，則 15.由題意：，函數(shù) 在區(qū)間三段區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增，且，可知 x 的取值范圍是：.1316.由題意，AB 是以 AC 為軸，BC 為底面半徑的圓錐的母線，由 ，即 AC 垂直底面，在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn) B，作 ，交底面圓 C 于 D，如圖，連結(jié) DE，則 ，所以 ，連接 AD，等腰ABD 中，當(dāng)直線 AB 與 a 成 60時(shí)，ABD60，故 ，又在 RtBDE 中，BE2，過(guò)點(diǎn) B 作 BF/DE，交圓 C 于點(diǎn) F，連接 AF，由圓的對(duì)稱性可知 BFDE，所以ABF 為等邊三角形，ABF60，即正確，錯(cuò)誤，由最小角定理可知正確，很明顯，可以滿足平面 ABC直線a，直線 AB 與 a 成的最大角為 90，錯(cuò)誤簡(jiǎn)答題17.（1）由已知得 ，所以.在 ABC 中，由余弦定理得，即 .解得： (舍去)， .（2）有題設(shè)可得故ABD 面積與ACD 面積的比值為又ABC 的面積為1418.（1）由題意知， 所有可能取值為 200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，.因此 的分布列為（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為 500，至少為 200，因此只需考慮 .當(dāng) 時(shí)，若最高氣溫不低于 25，則 ；若最高氣溫位于區(qū)間 ，則；若最高氣溫低于 20，則；因此.當(dāng) 時(shí)，若最高氣溫不低于 20，則 ；若最高氣溫低于 20，則；因此.所以 n=300 時(shí)，Y 的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為 520 元.19.（1）由題設(shè)可得， ，從而 .又 是直角三角形，所以 .取 AC 的中點(diǎn) O，連接 DO,BO,則 DOAC,DO=AO.又由于 是正三角形，故 .15所以 為二面角 的平面角.在 中， .又 ，所以 ，故 .所以平面 ACD平面 ABC.（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .則.由題設(shè)知，四面體 ABCE 的體積為四面體 ABCD 的體積的，從而 E 到平面 ABC 的距離為 D到平面 ABC 的距離的，即 E 為 DB 的中點(diǎn)，得.故.設(shè)是平面 DAE 的法向量，則即可取.16設(shè)是平面 AEC 的法向量，則同理可取.則.所以二面角 D-AE-C 的余弦值為.20.（1）設(shè)由可得又=4因此 OA 的斜率與 OB 的斜率之積為所以 OAOB，故坐標(biāo)原點(diǎn) O 在圓 M 上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑.由于圓過(guò)點(diǎn)，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.17當(dāng) 時(shí)，直線 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為，圓 的半徑為，圓 的方程為.當(dāng)時(shí)，直線 的方程為，圓心 的坐標(biāo)為，圓 的半徑為，圓 的方程為.21.（1）的定義域?yàn)?若 ，因?yàn)椋圆粷M足題意；若 ，由知，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故 x=a 是在的唯一最小值點(diǎn).由于，所以當(dāng)且僅當(dāng) a=1 時(shí)，.故 a=1.（2）由（1）知當(dāng) 時(shí)， .令得.從而.故.而，所以 的最小值為 .22.（1）消去參數(shù) 得 的普通方程 ；消去參數(shù) m 得 l2 的普通方程.18設(shè),由題設(shè)得，消去 k 得.所以 C 的普通方程為.（2）C 的極坐標(biāo)方程為.聯(lián)立得.故，從而.代入得，所以交點(diǎn) M 的極徑為 .23.（1）當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由得，解得 當(dāng) 時(shí)，由解得 .所以的解集為.（2）由得，而且當(dāng) 時(shí)， .故 m 的取值范圍為 19