理科數(shù)學(xué) 2017 年高三 2017 年全國甲卷理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)考試時間：_分鐘題型單選題填空題簡答題總分得分單選題 （本大題共 12 小題，每小題_分，共_分。）1()A.B.C.D.2設(shè)集合 ，若，則 ()A.B.C.D.3我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾燈？”意思是：一座 7 層塔共掛了 381 盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2 倍，則塔的頂層共有燈()A. 1 盞B. 3 盞C. 5 盞D. 9 盞14如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A.B.C.D.5設(shè) ， 滿足約束條件，則的最小值是()A.B.C.D.6安排 3 名志愿者完成 4 項工作，每人至少完成 1 項，每項工作由 1 人完成，則不同的安排方式共有()A. 12 種B. 18 種C. 24 種D. 36 種27甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績老師說：你們四人中有 2 位優(yōu)秀，2 位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績根據(jù)以上信息，則()A. 乙可以知道四人的成績B. 丁可以知道四人的成績C. 乙、丁可以知道對方的成績D. 乙、丁可以知道自己的成績8執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的 ，則輸出的 ()A. 2B. 3C. 4D. 59若雙曲線 （ ， ）的一條漸近線被圓所截得的弦長為 2，則的離心率為()A. 23B.C.D.10已知直三棱柱中， ， ， ，則異面直線與所成角的余弦值為()A.B.C.D.11若 是函數(shù) 的極值點，則 的極小值為()A.B.C.D. 112已知 是邊長為 2 的等邊三角形， 為平面 內(nèi)一點，則 的最小是()4A.B.C.D. 填空題 （本大題共 4 小題，每小題_分，共_分。）13一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取 次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 _14函數(shù)的最大值是_15等差數(shù)列的前 項和為， ，則_16已知 是拋物線 的焦點， 是上一點， 的延長線交 軸于點若 為 的中點，則_簡答題（綜合題） （本大題共 7 小題，每小題_分，共_分。）17（12 分）的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求 ；（2）若 ， 的面積為，求 18（12 分）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了 100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）其頻率分布直方圖如下：5（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記 A 表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于 50kg”，估計 A 的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有 99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）附：，19（12 分）如圖，四棱錐 P-ABCD 中，側(cè)面 PAD 為等邊三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PD 的中點6（1）證明：直線平面 PAB；（2）點 M 在棱 PC 上，且直線 BM 與底面 ABCD 所成角為，求二面角 的余弦值20（12 分）設(shè) O 為坐標原點，動點 M 在橢圓 C：上，過 M 作 x 軸的垂線，垂足為 N，點 P 滿足 （1）求點 P 的軌跡方程；（2）設(shè)點 Q 在直線 上，且 證明：過點 P 且垂直于 OQ 的直線 l 過 C 的左焦點 F21（12 分）已知函數(shù) ，且 （1）求；（2）證明： 存在唯一的極大值點 ，且 所以 22選考題：共 10 分請考生在第 22、23 題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分選修 44：坐標系與參數(shù)方程（10 分）在直角坐標系 中，以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）M 為曲線上的動點，點 P 在線段 OM 上，且滿足 ，求點 P 的軌跡 的直角坐標方程；7（2）設(shè)點 A 的極坐標為，點 B 在曲線上，求 面積的最大值23選考題：共 10 分請考生在第 22、23 題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分選修 45：不等式選講（10 分）已知 證明：（1）；（2） 8答案單選題1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. D 8. B 9. A 10. C 11. A12. B填空題13.14.115.16.6簡答題17.（1） （2） 18.（1） （2）見解析（3） 19.（1）見解析；（2）20.（1） ；（2）見解析21.（1） ；（2）見解析22.9（1） （2） 23.（1）見解析（2）見解析解析單選題1.由復(fù)數(shù)的除法運算法則有：，故選 D.2.由得 ，即 是方程 的根，所以 ， ，故選 C3.設(shè)塔的頂層共有燈盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個首項為，公比為 2 的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有：，解得，即塔的頂層共有燈 3 盞，故選 B4.由題意，其體積體積，其體積故選 B，故該組合體的5.繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點處取得最小值，最小值為故選 A.106.由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有 種方法，然后進行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有種 故選 D7.四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說的話甲不知自己成績乙、丙中必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會知道自己成績；兩良亦然）乙看了丙成績，知自己成績丁看甲，甲、丁中也為一優(yōu)一良，丁知自己成績8.閱讀程序框圖，初始化數(shù)值循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：第一次： ；第二次： ；第三次： ；第四次： ；第五次： ；第六次： ；結(jié)束循環(huán)，輸出 故選 B9.11取漸近線 ，化成一般式 ，圓心 到直線距離為得，10.如圖所示，補成直四棱柱 ，則所求角為 ，易得 ，因此，故選 C11.，則，則，令，得 或 ，當 或 時，當時，則極小值為12.如圖，以為 軸， 的垂直平分線 為 軸，為坐標原點建立平面直角坐標系，則，設(shè)，所以， ，所以，12，當時，所求的最小值為，故選 B填空題13.由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項分布，即，由二項分布的期望公式可得14.化簡三角函數(shù)的解析式，則，由可得 ，當時，函數(shù) 取得最大值 115.設(shè)首項為，公差為則求得 ， ，則，1316.如圖所示，不妨設(shè)點 M 位于第一象限，設(shè)拋物線的準線與 軸交于點 ，作 與點 ， 與點 ，由拋物線的解析式可得準線方程為，則，在直角梯形 中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故簡答題17.（1）依題得： ， ，（2）由可知 ， ， ，14， ， ， ， 18.（1）記：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” 為事件 “新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”為事件而（2）由計算可得的觀測值為有 以上的把握產(chǎn)量的養(yǎng)殖方法有關(guān)15（3） ， ， ，中位數(shù)為 19.（1）令 中點為 ，連結(jié) ， ， ， 為 ， 中點， 為 的中位線，又 ， 又，四邊形 為平行四邊形，又，（2）取 中點，連 ，由于 為正三角形又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，連，四邊形 為正方形。 平面 ，平面 平面 而平面 平面 過 作 ，垂足為 ， 平面 為 與平面 所成角， 在 中， ，設(shè) ， ， ，16， 在 中， ， ，以為坐標原點，、分別為 、 、 軸建立空間直角坐標系， 設(shè)平面 的法向量為，而平面 的法向量為 設(shè)二面角 的大角為（為銳角）20.（1）設(shè)，設(shè)， 17由得因為在 C 上，所以因此點 P 的軌跡方程為（2）由題意知設(shè)則，由 得 ，又由（1）知 ，故 ，所以 ，即 又過點 P 存在唯一直線垂直于 OQ，所以過點 P 且垂直于 OQ 的直線 過 C 的左焦點 F 21.（1）的定義域為 設(shè)，則等價于因為若 a=1，則.當 0x1 時，單調(diào)遞減；當 x1 時，0，單調(diào)遞增.所以 x=1 是的極小值點，故 綜上， ， 令，則， 令得 ，當時，單調(diào)遞減；當 時，單調(diào)遞增18所以，因為，所以在和上，即各有一個零點設(shè)在和上的零點分別為 ，因為在上單調(diào)減，所以當 時，單調(diào)增；當時，單調(diào)減因此， 是的極大值點因為，在上單調(diào)增，所以當 時，單調(diào)減，時，單調(diào)增，因此 是的極小值點所以，有唯一的極大值點 由前面的證明可知，則因為，所以 ，則又，因為，所以 因此，22.設(shè)則解得 ，化為直角坐標系方程為 19（2）設(shè)點 B 的極坐標為,由題設(shè)知,于是OAB 面積當時，S 取得最大值 所以O(shè)AB 面積的最大值為 23.（1）（2）因為所以 ，因此 .20