第 3講 選擇填空壓軸題之函數(shù) 圖象問題 函數(shù)圖象問題是歷年來中考的熱點(diǎn) ， 主要考查同學(xué)們的判斷能力 ， 以及 對函數(shù)的基本知識 、 基本技能 、 基本方法的掌握情況 選擇題 、 填空題 中壓軸的函數(shù)圖象問題主要有以下三類： 1 根據(jù)實(shí)際問題判斷函數(shù)圖象 函數(shù)關(guān)系來自于生活情境 ， 可以將自己身臨其境 ， 感受各個數(shù)量之間的 聯(lián)系 ， 理清題目的前后關(guān)系 ， 才能把整個函數(shù)圖象與實(shí)際問題結(jié)合起來 此類圖象題要理清題目的數(shù)量關(guān)系 ， 但正確的圖象往往是整個圖象的 一部分 ， 要仔細(xì)觀察自變量的取值范圍 ， 否則可能選錯答案 2 根據(jù)幾何問題判斷函數(shù)圖象 幾何問題中的函數(shù)圖象往往有運(yùn)動的點(diǎn)或圖形 ， 此類問題要認(rèn)真探究圖 形中的某個元素 (如點(diǎn)、線、面 )的規(guī)律運(yùn)動 ， 圖形的各個元素在運(yùn)動變 化中往往是相互依存 ， 相互影響的解答這類問題時 ， 要善于探索相互 關(guān)系 ， 不要被 “ 動 ” 所迷惑 ， 要動中求靜、以靜制動 ， 把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化 為靜態(tài)問題來解決 3 根據(jù)函數(shù)圖象判斷結(jié)論 根據(jù)函數(shù)圖象判斷結(jié)論的正確性需要理清題意、找準(zhǔn)函數(shù)關(guān)系、挖掘圖 象信息 ， 是解決此類問題的基本方法 ， 從函數(shù)圖象中獲取必要的信息也 是新課程的基本要求 函數(shù)圖象問題要通過讀圖、想圖、析圖找出解題突破口 ， 要善于觀察整 體過程和其中的 “ 特殊位置 ” ， 找到問題的突破口 ， 此類問題不僅考查 了學(xué)生解決問題的方法 ， 而且還考查了學(xué)生采集 “ 數(shù) ” 與 “ 形 ” 信息的 能力 一個策略 函數(shù)圖象問題的解題策略： 1 了解橫、縱軸的意義； 2 從圖象形狀上觀察圖形的變化趨勢； 3 抓住特殊點(diǎn)的實(shí)際意義 1 (2015自貢 )小剛以 400米 /分的速度勻速騎車 5分鐘 ， 在原地休息了 6 分鐘 ， 然后以 500米 /分的速度騎回出發(fā)地下列函數(shù)圖象能表達(dá)這一過 程的是 ( ) C 2 (導(dǎo)學(xué)號： 01262237)(2016衢州 )如圖 ， 在 ABC中 ， AC BC 25， AB 30， D是 AB上的一點(diǎn) (不與 A， B重合 )， DE BC， 垂足是點(diǎn) E， 設(shè) BD x， 四邊形 ACED的周長為 y， 則下列圖象能大致反映 y與 x之間的函 數(shù)關(guān)系的是 ( ) D 點(diǎn)撥：如圖 ， 作 CM AB 于 M. CA CB ， AB 30 ， CM AB ， AM BM 15 ， CM AC 2 BM 2 20 DE BC ， DEB C MB 90 ， B B ， DEB C MB ， BD BC DE CM EB BM ， x 25 DE 20 EB 15 ， DE 4 5 x ， EB 3 5 x ， 四邊形 AC ED 的周長為 y 25 ( 25 3 5 x ) 4 5 x 30 x 4 5 x 80. 0 x 30 ， 圖象是 D . 3 (導(dǎo)學(xué)號： 01262238)(2016西寧 )如圖 ， 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (0， 1)， 點(diǎn) B 是 x軸正半軸上的一動點(diǎn) ， 以 AB為邊作等腰直角 ABC， 使 BAC 90 ， 設(shè)點(diǎn) B的橫坐標(biāo)為 x， 點(diǎn) C的縱坐標(biāo)為 y， 能表示 y與 x的函數(shù)關(guān)系 的圖象大致是 ( ) A 點(diǎn)撥：作 AD x 軸 ， 作 CD AD 于點(diǎn) D ， 如圖所示 ， 由已知可得 ， OB x ， OA 1 ， AOB 90 ， B A C 90 ， AB AC ， 點(diǎn) C 的縱坐標(biāo) 是 y ， AD x 軸 ， DA O A OB 180 ， D A O 90 ， OA B B A D B A D D AC 90 ， O A B D AC ， 在 O AB 和 D AC 中 ， AOB A D C ， O A B D AC ， AB AC ， OA B D AC ( AA S ) ， OB CD ， CD x ， 點(diǎn) C 到 x 軸的距離為 y ， 點(diǎn) D 到 x 軸的距離等于點(diǎn) A 到 x 軸的距離為 1 ， y x 1 ( x 0) 故選 A . 4 ( 導(dǎo)學(xué)號： 0 1 2 6 2 2 3 9 )( 2 0 1 6 達(dá)州 ) 如圖 ， 已知二次函數(shù) y ax 2 bx c( a 0) 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A( 1 ， 0 ) ， 與 y 軸的交點(diǎn) B 在 (0 ， 2) 和 (0 ， 1) 之間 ( 不包括這兩點(diǎn) ) ， 對稱軸為直線 x 1. 下列結(jié)論： ab c 0 ； 4a 2b c 0 ； 4 ac b 2 8a ； 1 3 a 2 3 ； b c. 其中含所有正確結(jié)論的選 項(xiàng)是 ( ) A B C D D 點(diǎn)撥： 函數(shù)圖象開口方向向上 ， a 0 ， 對稱軸在原點(diǎn)右側(cè) ， ab 異號 ， 拋物線與 y 軸交點(diǎn)在 y 軸負(fù)半軸 ， c 0 ， a b c 0 ， 故 正確； 圖象與 x 軸交于點(diǎn) A ( 1 ， 0 ) ， 對稱軸為直線 x 1 ， 圖象與 x 軸的 另一個交點(diǎn)為 ( 3 ， 0 ) ， 當(dāng) x 2 時 ， y 0 ， 4a 2b c 0 ， 故 錯誤； 圖象與 x 軸交于點(diǎn) A ( 1 ， 0 ) ， 當(dāng) x 1 時 ， y ( 1 ) 2 a b ( 1 ) c 0 ， a b c 0 ， 即 a b c ， c b a ， 對稱軸為直線 x 1 ， b 2a 1 ， 即 b 2a ， c b a ( 2a ) a 3a ， 4 ac b 2 4 a ( 3a ) ( 2a ) 2 16a 2 0 ， 8a 0 ， 4 ac b 2 8a ， 故 正確； 圖 象與 y 軸的交點(diǎn) B 在 ( 0 ， 2 ) 和 ( 0 ， 1 ) 之間 ， 2 c 1 ， 2 3a 1 ， 1 3 a 2 3 ， 故 正確； a 0 ， b c 0 ， 即 b c ， 故 正確 故選 D . 5 ( 導(dǎo)學(xué)號： 0 1 2 6 2 2 4 0 )( 2 0 1 6 鄂 州 ) 如圖 ， 已知直線 y k 1 x b 與 x 軸、 y 軸相交于 P ， Q 兩點(diǎn) ， 與 y k 2 x 的圖象相交于 A( 2 ， m ) ， B (1 ， n ) 兩點(diǎn) ， 連接 OA ， OB ， 給出下列結(jié)論： k 1 k 2 0 ； m 1 2 n 0 ； S AOP S BOQ ； 不等式 k 1 x b k 2 x 的解集是 x 2 或 0 x 1. 其中正確的結(jié)論的序號 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 點(diǎn)撥：由圖象知 ， k 1 0 ， k 2 0 ， k 1 k 2 0 ， 故 錯誤；把 A ( 2 ， m ) ， B ( 1 ， n ) 代入 y k 2 x 中得 2m n ， m 1 2 n 0 ， 故 正確；把 A ( 2 ， m ) ， B ( 1 ， n ) 代入 y k 1 x b 得 m 2k 1 b ， n k 1 b ， k 1 n m 3 ， b 2n m 3 ， 2m n ， y mx m ， P ( 1 ， 0 ) ， Q ( 0 ， m ) ， OP 1 ， OQ m ， S A OP 1 2 1 m 1 2 m ， S BOQ 1 2 m 1 1 2 m ， S A OP S BOQ ， 故 正確；由 圖象知不等式 k 1 b k 2 x 的解集是 x 2 或 0 x 1 ， 故 正確 故答案 為 . 根據(jù)實(shí)際問題判斷函數(shù)圖象 【 例 1】 (2016安徽 )一段筆直的公路 AC長 20千米 ， 途中有一處休息 點(diǎn) B， AB長 15千米 ， 甲、乙兩名長跑愛好者同時從點(diǎn) A出發(fā) ， 甲以 15千 米 /時的速度勻速跑至點(diǎn) B， 原地休息半小時后 ， 再以 10千米 /時的速度勻 速跑至終點(diǎn) C；乙以 12千米 /時的速度勻速跑至終點(diǎn) C， 下列選項(xiàng)中 ， 能 正確反映甲、乙兩人出發(fā)后 2小時內(nèi)運(yùn)動路程 y(千米 )與時間 x(小時 )函數(shù) 關(guān)系的圖象是 ( ) A 【 點(diǎn)評 】 此題考查根據(jù)實(shí)際問 題判斷函數(shù)圖象 ， 首先要弄清路 程、速度、時間之間的關(guān)系 ， 解 題的關(guān)鍵是理解題意求出兩人到 達(dá) C地的時間 對應(yīng)訓(xùn)練 1 (導(dǎo)學(xué)號： 01262241)(2015黃岡 )貨車和小汽車同時從甲地出發(fā) ， 以 各自的速度勻速向乙地行駛 ， 小汽車到達(dá)乙地后 ， 立即以相同的速度 沿原路返回甲地 ， 已知甲、乙兩地相距 180千米 ， 貨車的速度為 60千米 / 小時 ， 小汽車的速度為 90千米 /小時 ， 則下圖中能分別反映出貨車、小 汽車離乙地的距離 y(千米 )與各自行駛時間 t(小時 )之間的函數(shù)圖象是 ( ) C 根據(jù)幾何問題判斷函數(shù)圖象 【 例 2】 (2016臨夏州 )如圖 ， ABC是等腰直角三角形 ， A 90 ， BC 4， 點(diǎn) P是 ABC邊上一動點(diǎn) ， 沿 BAC 的路徑移動 ， 過點(diǎn) P 作 PD BC于點(diǎn) D， 設(shè) BD x， BDP的面積為 y， 則下列能大致反映 y 與 x函數(shù)關(guān)系的圖象是 ( ) B 點(diǎn)撥：過 A 點(diǎn)作 AH BC 于點(diǎn) H ， A B C 是等腰直角三角形 ， B C 45 ， BH CH AH 1 2 BC 2. 當(dāng) 0 x 2 時 ， 如圖 1 ， B 45 ， PD BD x ， y 1 2 x x 1 2 x 2 ；當(dāng) 2 x 4 時 ， 如圖 2 ， C 45 ， PD CD 4 x ， y 1 2 ( 4 x ) x 1 2 x 2 2 x . 故選 B 【 點(diǎn)評 】 此題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象 ， 函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié) 合 ， 圖象應(yīng)用信息廣泛 ， 通過看圖獲取信息 ， 不僅可以解決生活中的實(shí) 際問題 ， 還可以提高分析問題、解決問題的能力解決本題的關(guān)鍵是利 用分類討論的思想求出 y與 x的函數(shù)關(guān)系式 對應(yīng)訓(xùn)練 2 (導(dǎo)學(xué)號： 01262242)(2016泰安 )如圖 ， 正 ABC的邊長為 4， 點(diǎn) P為 BC邊上的任意一點(diǎn) (不與點(diǎn) B， C重合 )， 且 APD 60 ， PD交 AB于點(diǎn) D.設(shè) BP x， BD y， 則 y關(guān)于 x的函數(shù)圖象大致是 ( ) C 根據(jù)函數(shù)圖象判斷結(jié)論 【例 3 】 ( 2 0 1 6 淄博 ) 反比例函數(shù) y a x ( a 0 ， a 為常數(shù) ) 和 y 2 x 在第一象 限內(nèi)的圖象如圖所示 ， 點(diǎn) M 在 y a x 的圖象上 ， MC x 軸于點(diǎn) C ， 交 y 2 x 的圖象 于點(diǎn) A ； MD y 軸于點(diǎn) D ， 交 y 2 x 的圖象于點(diǎn) B ， 當(dāng)點(diǎn) M 在 y a x 的圖象上運(yùn)動時 ， 以下結(jié)論： S ODB S OC A ； 四邊形 O A MB 的面 積不變； 當(dāng)點(diǎn) A 是 MC 的中點(diǎn)時 ， 則點(diǎn) B 是 MD 的中點(diǎn) 其中正確結(jié) 論的個數(shù)是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 D 點(diǎn)撥： 由于 A ， B 在同一反比例函數(shù) y 2 x 圖象上 ， 則 ODB 與 OC A 的面積相等 ， 都為 1 2 2 1 ， 正確； 由于矩形 O C MD 、三角形 ODB 、 三角形 O C A 為定值 ， 則四邊形 M A OB 的面積不會發(fā)生變化 ， 正確； 連接 OM ， 點(diǎn) A 是 MC 的中點(diǎn) ， 則 O A M 和 O A C 的面積相等 ， ODM 的面積 OC M 的面積 a 2 ， ODB 與 O C A 的面積相等 ， OB M 與 O A M 的面積相等 ， OB D 和 OB M 面積相等 ， 點(diǎn) B 一定是 MD 的中點(diǎn) ， 正確故選 D . 【點(diǎn)評】 本題考查了根據(jù)反比例函數(shù)圖象判斷結(jié)論是否正確 ， 過雙曲 線上任意一點(diǎn)引 x 軸、 y 軸垂線 ， 所得矩形面積為 | k |， 是經(jīng)常考查的一個 知識點(diǎn) ， 這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用 對應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 導(dǎo)學(xué)號： 0 1 2 6 2 2 4 3 )( 2 0 1 6 十堰 ) 已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) y ax 2 bx c 的圖象經(jīng)過點(diǎn) ( 2 ， y 1 ) ， ( 1 ， y 2 ) ， (1 ， 0 ) ， 且 y 1 0 y 2 ， 對于以下結(jié) 論： ab c 0 ； a 3b 2c 0 ； 對于自變量 x 的任意一個取值 ， 都有 a b x 2 x b 4a ； 在 2 x 1 中存在一個實(shí)數(shù) x 0 ， 使得 x 0 a b a ， 其中結(jié)論錯誤的是 _( 只填寫序號 ) 點(diǎn)撥：由題意二次函數(shù)圖象如圖所示 ， a 0 ， b 0 ， c 0 ， ab c 0 ， 故 正確 a b c 0 ， c a b ， a 3b 2c a 3b 2a 2b b a ， 又 x 1 時 ， y 0 ， a b c 0 ， b a c ， c 0 ， b a 可以是正數(shù) ， a 3b 2c 可以是正數(shù) ， 故 錯誤 函數(shù) y a b x 2 x a b ( x 2 b a x ) a b ( x b 2a ) 2 b 4a ， a b 0 ， 函數(shù) y 有最小值 b 4a ， a b x 2 x b 4a ， 故 正確 y ax 2 bx c 的圖象經(jīng)過點(diǎn) ( 1 ， 0 ) ， a b c 0 ， c a b ， 令 y 0 則 ax 2 bx a b 0 ， 設(shè)它的兩個根為 x 1 ， 1 ， x 1 1 a b a a b a ， x 1 a b a ， 2 x 1 1 ， 在 2 x 1 中存在一個實(shí)數(shù) x 0 ， 使得 x 0 a b a ， 故 正確 故答案為 . 33.忽視自變量的取值范圍而出錯 試題 已知 ， A， B兩地相距 120千米 ， 甲騎自行車以 20千米 /時的速度由 起點(diǎn) A前往終點(diǎn) B， 乙騎摩托車以 40千米 /時的速度由起點(diǎn) B前往終點(diǎn) A. 兩人同時出發(fā) ， 各自到達(dá)終點(diǎn)后停止設(shè)兩人之間的距離為 s(千米 )， 甲 行駛的時間為 t(小時 )， 則下圖中正確反映 s與 t之間函數(shù)關(guān)系的是 ( ) 錯解 A 或 C 或 D 剖析 此題需弄清楚 s 與 t 的變化可分為幾個階段：相遇前、相遇后；相 遇后可分成乙到達(dá) A 地、甲到達(dá) B 地 ， 故求出各分段函數(shù)的自變量的取 值范圍是解題的關(guān)鍵根據(jù)題意 ， 兩人同時相向出發(fā) ， 甲到達(dá) B 地用時： 120 20 6 小時 ， 乙到達(dá) A 地 用時： 120 40 3 小時相遇前 ， s 120 ( 2 0 4 0 ) t 120 6 0 t( 0 t 2) ；當(dāng)兩者相遇時 ， t 2 ， s 0 ；相遇后 ， 當(dāng)乙到 達(dá) A 地前 ， 甲、乙均在行駛 ， 即 s ( 2 0 4 0 ) ( t 2) 60t 1 2 0 ( 2 t 3) ； 當(dāng)乙到達(dá) A 地時 ， 此時兩者相距 60 千米；當(dāng)乙到達(dá) A 地后 ， 剩下甲在 行駛 ， 即 s 60 2 0 ( t 3) 2 0 t(3 t 6) ， 故： s 120 60t （ 0 t 2 ） ， 60t 120 （ 2 t 3 ） ， 20t （ 3 t 6 ） 正解 B