1 主要概念 (1) 圓：平面上到 _ _ 的距離等于 _ _ _ 的所有點組成的圖形叫做 圓 _ _ 叫做圓心， _ 叫做半徑，以 O 為圓心的圓記作 O. (2) 弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做 _ _ ，連接圓上任意兩點的線 段叫做 _ _ ，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的 _ (3) 圓心角：頂點在 _ _ ，角的兩邊與圓相交的角叫做圓心角 (4) 圓周角：頂點在 _ _ ，角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角 (5) 等弧：在 _ _ _ 中，能夠完全 _ _ _ 的弧叫做等弧 定點 定長 定點 定長 弧 弦 弦 圓心 圓上 同圓或等圓 重合 2 圓的有關(guān)性質(zhì) (1) 圓的對稱性： 圓是 _ _ 圖形，其對稱軸是 _ _ _ 圓是 _ _ _ _ 圖形，對稱中心是 _ _ _ _ _ 旋轉(zhuǎn)不變性，即圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的 圖形重合 軸對稱 過圓心的任意一 條直線 中心對稱 圓心 ( 2 ) 垂徑定理及推論： 垂徑定理：垂直于弦的直徑 _ _ _ ， 并且 _ _ _ _ _ 垂徑定理的推論： 平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑 _ _ _ _ _ ， 并且 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 弦的垂直平分線 _ _ _ _ _ _ ， 并且平分弦所對的兩條?。?平分弦所對的一條弧的直徑 ， 垂直平分弦 ， 并且平分弦所對的另一 條 弧 平分弦 平分弦所對的兩條弧 垂直于弦 平分弦所對的兩條弧 經(jīng)過圓心 ( 3 ) 弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論： 弦、弧、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中 ， 相等的圓心角所對的弧 _ _ _ _ ， 所對的弦 _ _ _ _ 推論：在同圓或等圓中 ， 如果兩個 _ _ _ _ _ _ 、 _ _ _ _ _ _ 、 _ _ _ _ _ _ 、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 中有一組量相等 ， 那么它們所對應(yīng)的其余各組量都 分別相 等 相等 相等 圓心角 兩條弧 兩條弦 兩條弦心距 ( 4 ) 圓周角定理及推論： 圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的 _ _ _ 圓周角定理的推論： 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對的 弧 _ _ 半圓 ( 或直徑 ) 所對的圓周角是 _ _ _ ； 9 0 的圓周角所對的弦是 _ _ 一半 相等 直角 直徑 ( 5 ) 點和圓的位置關(guān)系 ( 設(shè) d 為點 P 到圓心的距離 ， r 為圓的半徑 ) ： 點 P 在圓上 _ _ _ 點 P 在圓內(nèi) _ _ _ 點 P 在圓外 _ _ _ d r dr 垂直平分線 互補 ( 6 ) 過三點的圓： 經(jīng)過不在同一直線上的三點 ， 有且只有一個 圓 經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三 角形的外心；三角形的外心是三邊 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的交 點 ， 這個三角形叫做 這個圓的內(nèi)接三角 形 銳 角三角形的外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外 心在斜邊中點處；鈍角三角形的外心在三角形的外 部 ( 7 ) 圓的內(nèi)接四邊形： 圓內(nèi)接四邊形的對角 _ _ _ _ _ 常見的輔助線 (1) 有關(guān)弦的問題，常作其弦心距，構(gòu)造以半徑、弦的一半、弦心距為 邊的直角三角形，利用勾股定理知識求解 ； ( 2 ) 有 關(guān)直徑的問題 ， 常通過輔助線構(gòu)造直徑所對的圓 周角是直角來進行證明或計 算 ( 3 ) 有等弧或證弧相等時 ， 常連等弧所對的弦或 作等 ( 同 ) 弧 所對的圓周 ( 心 ) 角 A A 1 ( 2016 黃石 ) 如圖所示 ， O 的半徑為 13 ， 弦 AB 的長度是 24 ， ON AB ， 垂足為 N ， 則 ON ( ) A 5 B 7 C 9 D 1 1 第 1 題圖 第 2 題圖 2 ( 2016 蘭州 ) 如圖 ， 在 O 中 ， 若點 C 是 AB 的中點 ， A 50 ， 則 BOC ( ) A 4 0 B 4 5 C 5 0 D 6 0 D 3 ( 2016 杭州 ) 如圖 ， 已知 AC 是 O 的直徑 ， 點 B 在圓周上 ( 不與 A ， C 重合 ) ， 點 D 在 AC 的延長線上 ， 連接 BD 交 O 于點 E ， 若 AOB 3 AD B ， 則 ( ) A D E EB B . 2 DE EB C . 3 DE DO D D E OB A 4 ( 2016 宜昌 ) 在公園的 O 處附近有 E ， F ， G ， H 四棵樹 ， 位置如圖 所示 ( 圖中小正方形的邊長均相等 ) ， 現(xiàn)計劃修建一座以 O 為圓心 ， OA 為半 徑的圓形水池 ， 要求池中不留樹 木 ， 則 E ， F ， G ， H 四棵樹 中需要被移除 的為 ( ) A E ， F ， G B F ， G ， H C G ， H ， E D H ， E ， F 5 ( 2016 信陽模擬 ) 如圖 ， AB C 內(nèi)接于 O ， AB 是 O 的直徑 ， BAC 60 ， 弦 AD 平分 BAC ， 若 AD 6 ， 那么 AC _ _ 垂徑定理及其推論 【例 1 】 ( 2 016 安順 ) 如圖 ， AB 是 O 的直徑 ， 弦 CD AB 于點 E ， 若 AB 8 ， CD 6 ， 則 BE _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【點評】 本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線， 構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 對應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 2016 鄭州模擬 ) 如圖 ， O 是 AB C 的外接圓 ， 弦 BD 交 AC 于點 E ， 連接 CD ， 且 AE DE ， BC CE . ( 1 ) 求 A CB 的度數(shù)； ( 2 ) 過點 O 作 OF AC 于點 F ， 延長 FO 交 BE 于點 G ， DE 3 ， EG 2 ， 求 AB 的 長 ( 1 ) 在 AEB 和 DE C 中 ， A D ， AE ED ， AEB DEC ， AEB DE C ( AS A ) ， EB EC ， 又 BC CE ， BE CE BC ， EBC 為等邊三角形 ， A CB 60 ( 2 ) OF AC ， AF CF ， EBC 為等邊三角形 ， GEF 60 ， EGF 30 ， EG 2 ， EF 1 ， 又 AE ED 3 ， CF AF 4 ， AC 8 ， EC 5 ， BC 5 ， 作 BM AC 于點 M ， BCM 6 0 ， MBC 30 ， CM 5 2 ， BM BC 2 CM 2 5 3 2 ， AM AC CM 11 2 ， AB AM 2 BM 2 7. 圓心角 、 弧 、 弦之間的關(guān)系 C 【例 2 】 ( 201 6 舟山 ) 把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開 ， 圖中的虛線表示折痕 ， 則 BC 的度數(shù)是 ( ) A 1 20 B 1 35 C 1 50 D 1 65 【點評】 本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圖形的翻折變 換，正確得出 BOD 的度數(shù)是解題關(guān)鍵 對應(yīng)訓(xùn)練 2 ( 2015 臺州 ) 如圖 ， 四邊形 A BCD 內(nèi)接于 O ， 點 E 在對角線 AC 上 ， EC BC DC. ( 1 ) 若 C BD 39 ， 求 BA D 的度數(shù)； ( 2 ) 求證： 1 2. ( 1 ) 解： BC D C ， CBD CD B 39 ， BAC CD B 39 ， CAD CBD 39 ， BAD BAC CAD 39 39 78 ( 2 ) 證明： EC BC ， CE B CB E ， 而 C EB 2 B AE ， CB E 1 CBD ， 2 BA E 1 CBD ， BAE C BD ， 1 2. B 圓周角定理及其推論 【例 3 】 ( 20 16 南寧 ) 如圖 ， 點 A ， B ， C ， P 在 O 上 ， CD OA ， CE OB ， 垂足分別為 D ， E ， DC E 4 0 ， 則 P 的度數(shù)為 ( ) A 1 40 B 7 0 C 6 0 D 4 0 【點評】 當圖中出現(xiàn)同弧或 等弧時，常?？紤]到弧所對的圓周角或 圓心角，一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半，通過相等的 弧把角聯(lián)系起來 對應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 2016 株洲 ) 已知 AB 是半徑為 1 的圓 O 直徑 ， C 是圓上一點 ， D 是 BC 延長線上一點 ， 過點 D 的直線交 AC 于 E 點 ， 且 A EF 為等邊三角 形 ( 1 ) 求證： DF B 是等腰三角形； ( 2 ) 若 DA 7 AF ， 求證： CF A B. 解： ( 1 ) AB 是 O 直徑 ， ACB 90 ， AEF 為等邊三角形 ， CAB E F A 6 0 ， B 30 ， EF A B FDB ， B FDB 30 ， D FB 是等腰三角形 ( 2 ) 過點 A 作 AM DF 于點 M ， 連接 CF ， 設(shè) AF 2a ， A EF 是等 邊三角形 ， FM EM a ， AM 3 a ， 在 Rt DAM 中 ， AD 7 AF 2 7 a ， AM 3 a ， DM 5a ， DF BF 6a ， AB AF BF 8a ， 在 Rt ABC 中 ， B 30 ， AC B 90 ， AC 4a ， AE EF AF CE 2a ， ECF EF C ， AEF EC F EF C 6 0 ， C FE 30 ， AF C AFE EFC 60 30 90 ， CF AB. 點與圓的位置關(guān)系 B 【例 4 】 ( 2016 連云港 ) 如圖 ， 在網(wǎng)格中 ( 每個小正方形的邊長均為 1 個單位 ) 選取 9 個格點 ( 格線的交點稱為格點 ) 如 果以 A 為圓心 ， r 為半徑畫 圓 ， 選取的格點中除點 A 外恰好有 3 個在圓內(nèi) ， 則 r 的取值范圍為 ( ) A 2 2 r 17 B . 17 r 3 2 C . 17 r 5 D 5 r 29 點撥：如圖 ， AD 2 2 ， AE AF 17 ， AB 3 2 ， AB AE AD ， 17 r 3 2 時 ， 以 A 為圓心 ， r 為半徑畫圓 ， 選取的格點中除點 A 外恰好有 3 個在圓內(nèi) ， 故選 B 【 點評 】 本題考查了點與圓的位置關(guān)系 、 勾股定理 等知識 ， 解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形 ， 理解題意 A 對應(yīng)訓(xùn) 練 4 ( 2016 南陽模擬 ) 在數(shù)軸上 ， 點 A 所表示的實數(shù)為 3 ， 點 B 所表示的 實數(shù)為 a ， A 的半徑為 2. 下列說法中不正確的是 ( ) A 當 a 5 時 ， 點 B 在 A 內(nèi) B 當 1 a 5 時 ， 點 B 在 A 內(nèi) C 當 a 1 時 ， 點 B 在 A 外 D 當 a 5 時 ， 點 B 在 A 外 23.外心位置要分清 試題 ABC 內(nèi)接于半徑為 r 的 O ， 且 BC AB AC ， OD BC 于 D ， 若 OD 12 r ， 求 A 的度 數(shù) 錯解 解：當圓心 O 在 AB C 內(nèi)時 ， 如圖 ， 連接 OB ， O C. OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， OCD 30 ， D OC 60 . 同理 ， B OD 60 ， BOC 120 ， A 60 . 當圓心 O 在 AB C 外時 ， 如圖 ， 同上 ， 可 求得 B OC 12 0 ， A BOC 120 . 綜上 ， A 的度數(shù)為 60 或 120 . 剖析 上述解法看上去好像思考周全，考慮了兩種情況，其實又錯了， 因為 BC AB AC ， BC 是不等邊 ABC 的最大邊，所以 A 60 不正確， 產(chǎn)生錯誤的根源是圖畫得不準確，忽視了圓心的位置，實際上本題的圓心 應(yīng)在 A BC 的外部 正解 OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， OCD 30 ， DO C 60 . 同 理 ， BO D 60 ， BOC 120 ， BAC 度數(shù)為 120 ， B m C 度數(shù)為 24 0 ， A 1 20 .