第 17講 線段、角、相交線和平行線 1 了解直線 、 線段 、 射線的相關性質(zhì) ， 會比較線段的大小 ， 理解線段 的和 、 差 ， 以及線段中點 、 兩點間距離的意義 2 理解角的有關概念 ， 能比較角的大小 ， 進行角的和 、 差運算 ， 并用 度 、 分 、 秒進行簡單的換算 3 理解對頂角 、 余角 、 補角等概念及性質(zhì) 4 理解垂線 、 垂線段等概念 ， 能用三角尺或量角器過一點畫已知直線 的垂線 5 識別同位角 、 內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角 ， 掌握相交線與平行線的定義 ， 熟 練運用垂線的性質(zhì) 、 平行線的性質(zhì)和判定 點 、 線段 、 相交線與平行線是平面圖形構成的最為基本的要素 ， 中考 試題難度較小 1 直接考查相交線與平行線的相關概念和性質(zhì) 2 重點考查互為余角 、 互為補角的角的性質(zhì) 、 平行線的性質(zhì)與判定的 應用等 3 體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想 、 轉(zhuǎn)化的思想 1 (2016麗水 )如圖 ， 在 ABC中 ， A 63 ， 直線 MN BC， 且分 別與 AB， AC相交于點 D， E， 若 AEN 133 ， 則 B的度數(shù)為 _ 【 解析 】 AEN A ADE， AEN 133 ， A 63 ， ADE 70 ， MN BC， B ADE 70 . 70 2 (2016湖州 )如圖 1是我們常用的折疊式小刀 ， 圖 2中刀柄外形是一個 矩形挖去一個小半圓 ， 其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段 ， 轉(zhuǎn)動刀片時會形成如圖 2所示的 1與 2， 則 1與 2的度數(shù)和是 _度 90 【 解析 】 如圖 2， AB CD， AEC 90 ， 作 EF AB， 根據(jù)平行線 的傳遞性得到 EF CD， 則根據(jù)平行線的性質(zhì)得 1 AEF， 2 CEF， 所以 1 2 AEC 90 . 3把 15 30化成度的形式 ，則 1530 _度 【 解析 】 60 1 ， 30 0.5 . 4 (2015大連 )如圖 ， 已知 AB CD， A 56 ， C 27 ， 則 E的 度數(shù)為 _ 【 解析 】 由 AB CD知 A DFE C E, 即 56 27 E， 得 E 29 . 15.5 29 5 (2016金華 )如圖 ， 已知 AB CD， BC DE.若 A 20 ， C 120 ， 求 AED的度數(shù) 解：延長 DE交 AB于點 F， AB CD， BC DE， 四邊形 BCDF為平 行四邊形 ， BFD C 120 ， 又 BFD是 AEF的外角 ， BFD A AEF， AEF BFD A 100 ， AED 80 直線、射線、線段 1 如圖 ， 數(shù)軸上 2 ， 5 表示的對應點分別為 C ， B ， 點 C 是 AB 的中點 ， 則點 A 表示的數(shù)是 ( ) A 5 B 2 5 C 4 5 D. 5 2 C 2如圖 ， 長度為 12 cm的線段 AB的中點為 M， C點將線段 MB分成 MC CB 1 2， 則線段 AC的長度為 ( ) A 2 cm B 8 cm C 6 cm D 4 cm B 解析：第 1 題由中點定義 ， 有 AC BC 5 2 ， 進而可以求出點 A 表 示的數(shù)；第 2 題可設 MC x ， 則有 BC 2 x ， 由于線段 AB 的中點為 M ， AM 3 x ， 轉(zhuǎn)化為方程來解決 1 直線的基本性質(zhì) (1)兩條直線相交 ， 只有 _交點 (2)經(jīng)過兩點有且只有一條直線 ， 即：兩點確定一條 _ 2 所有連結(jié)兩點的線中 ， 線段最短 ， 即：兩點之間 _最短 3 把一條線段分成兩條 _線段的點 ， 叫做這條線段的中點 答案 ： 1.(1)一個； (2)直線 2.線段 3.相等長度 3 如圖 ， 若 C是線段 AB的中點 ， D是線段 AC上任意一點 (端點除外 )， 則 ( ) A ADDBACCB D ADDB與 ACCB大小關系不能確定 【 解析 】 AB AC BC， BD BC CD， 又 AC BC， ADBD (AC CD)(BC CD) ACBC CD2， ADDB<ACCB. 4 已知線段 AB 8 cm, 在直線 AB上畫線段 BC， 使 BC 3 cm， 求線段 AC的長 解： 11 cm或 5 cm A 線段的和 、 差關系以及線段的中點問題的計算 ， 需結(jié)合圖形 ， 寫出關系 式 ， 有時需要轉(zhuǎn)化為方程解決 ， 若線段上的點沒有明確位置 ， 需要分類 討論 角的計算 5 (2017預測 )如圖 ， OA OB， 1 35， 則 2的度數(shù)是 ( ) A 35 B 45 C 55 D 70 6 在直線 AB上任取一點 O， 過點 O作射線 OC， OD， 使 OC OD， 當 AOC 30 時 ， 求 BOD的度數(shù) 解析：第 5題根據(jù)兩個角的和為 90 ， 可得兩角互余 ， 可得答案；第 6題 畫出圖形時 ， 射線 OC有兩種可能 ， 使得 AOC 30 . 解： 60 或 120 C 1 角是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形 2 角的換算： 1 60， 1 60. 3 余角與補角 如果兩個角的和等于 _， 就說這兩個角互為余角；如果兩個 角的和等于 _， 就說這兩個角互為補角 同角 (或等角 )的余角 _；同角 (或等角 )的補角 _ 4 對頂角與鄰補角 在兩條相交直線形成的四個角中 ， 如果兩個角有公共頂點 ， 一個角的 兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線 ， 這樣的兩個角稱為對頂角 對頂角 _， 鄰補角 _ 答案 ： 3. 90 ； 180 ； 相等；相等 4.相等；互補 7 (2017預測 )下列各圖中 ， 1與 2互為余角的是 ( ) C 8如圖，直線 AB， CD相交于點 O，若 BOD 40 ， OA平分 COE ，則 AOE _ 【 解析 】 AOE AOC BOD 40 . 40 解決有關圖形中的角的計算問題的方法： 1 從圖形中找出具有度量關系的角 ， 如互余、互補、對頂角等 2 利用相關的性質(zhì)列出式子 ， 有時需要轉(zhuǎn)化為方程來解決 平行線的性質(zhì) 9 如圖 ， 已知正五邊形 ABCDE， AF CD， 交 DB的延長線于點 F， 則 DFA _度 36 10如圖 ， 已知 AB DE， ABC 70 ， CDE 140 ， 則 BCD 的值為 ( ) A 20 B 30 C 40 D 70 解析： 第 9題首先求得正五邊形內(nèi)角 C的度數(shù) ， 然后根據(jù) CD CB求 得 CDB的度數(shù) ， 然后利用平行線的性質(zhì)求得 DFA的度數(shù)即可；第 10題延長 ED交 BC于 F， 根據(jù)平行線的性質(zhì)求出 BFE B 70 ， 求出 FDC 40 ， 根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出 C BFE FDC， 代入求出即可 B 1 在同一平面內(nèi) ， 不相交的兩條直線 ， 叫做平行線 2 性質(zhì)：如果兩條直線平行 ， 那么同位角相等 ， 內(nèi)錯角相等 ， 同旁 內(nèi)角互補 3 平行公理：經(jīng)過直線外一點 ， 有且只有一條直線與已知直線平行 11 (原創(chuàng)題 )如圖 ， 矩形 ABCD的頂點 A， C分別在直線 a， b上 ， 且 a b ， 1 60 ， 則 2的度數(shù)為 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 C 【 解析 】 過點 D作 DE a， 四邊形 ABCD是矩形 ， BAD ADC 90 ， 3 90 1 90 60 30 ， a b， DE a b， 4 3 30 ， 2 5， 2 90 30 60 .故選 C. 12 (2017預測 )如圖 ， 將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方 式擺放 ， 兩個三角板的一直角邊重合 ， 含 30 角的直角三角板的斜邊與 紙條一邊重合 ， 含 45 角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上 ， 則 1的度數(shù)是 _ 15 【 解析 】 過 A點作 AB a， 利用平行線的性質(zhì)得 AB b， 所以 1 2， 3 4 30 ， 加上 2 3 45 ， 易得 1 15 . 平行線的判定 13 如圖 ， 能判定 EB AC的條件是 ( ) A C ABE B A EBD C C ABC D A ABE D 14 如圖 ， AC和 BD相交于點 O， OA OC， OB OD.求證： DC AB. 解析：第 13題從選項的一對角中 ， 判斷是否是同位角或內(nèi)錯角；第 14題 根據(jù)邊角邊定理求證 ODC OBA， 可得 C A(或者 D B) ， 再利用平行線判定方法證明 DC AB. 解： 在 O DC 和 O B A 中 ， OD ， DO C B O A ， OC OA ， O DC O B A ( SAS ) ， C A ( 或 D B ) ， DC AB 平行線的判定方法： 1 同位角相等 ， 兩直線平行； 2 內(nèi)錯角相等 ， 兩直線平行； 3 同旁內(nèi)角互補 ， 兩直線平行； 4 在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線 _， 平行于同一直 線的兩直線 _ 答案 ： 4.平行；平行 15 如圖 ， 是我們學過的用直尺和三角尺畫平行線的方法示意圖 ， 畫 圖的原理是 ( ) A 同位角相等 ， 兩直線平行 B 內(nèi)錯角相等 ， 兩直線平行 C 兩直線平行 ， 同位角相等 D 兩直線平行 ， 內(nèi)錯角相等 A 16 (原創(chuàng)題 )如圖， 點 B， F， C， E在直線 l上 (F， C之間不能直接測量 ) ，點 A， D在 l異側(cè) ， 測得 AB DE， AC DF， BF EC. (1)求證： ABC DEF； (2)指出圖中所有平行的線段 ， 并說明理由 解： (1) BF EC， BF FC EC CF， 即 BC EF.又 AB DE， AC DF， ABC DEF (2)AB DE， AC DF.理由： ABC DEF， ABC DEF ， ACB DFE， AB DE， AC DF 應用判定方法來判定兩直線平行，要正確識別“三線八角”中的同位 角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角