第 19講 等腰三角形 1 了解等腰三角形的概念 、 等腰三角形的性質(zhì)定理；底邊上的高 、 中 線(xiàn)及頂角平分線(xiàn)重合 2 掌握等腰三角形的判定定理 ， 等邊三角形的性質(zhì)定理 ， 以及等邊三 角形的判定定理 3 掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定 ， 角平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定 4 能利用等腰三角形的特性來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 1 等腰三角形的概念 、 性質(zhì) 、 判定 ， 在選擇題 、 填空題 、 解答題中均 有出現(xiàn) 2 等腰三角形 、 正三角形是最常見(jiàn)的圖形之一 ， 可單獨(dú)成題 ， 也常與 平行四邊形 、 圓 、 三角函數(shù)等滲透在綜合題中 3 主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合 、 化歸 、 分類(lèi)的思想 1 (2016棗莊 )如圖 ， 在 ABC中 ， AB AC， A 30 ， E為 BC延長(zhǎng) 線(xiàn)上一點(diǎn) ， ABC與 ACE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn) D， 則 D等于 ( ) A 15 B 17.5 C 20 D 22.5 【 解析 】 在 ABC中 ， AB AC， ABC ACB 75 ， 所以 ACE 180 ACB 180 75 105 ， D 180 DBC BCD 180 37.5 127.5 15 ， 故選 A. A 3 (2016泰安 )如圖，在 PAB中， PA PB， M， N， K分別是 PA， PB， AB上的點(diǎn)，且 AM BK， BN AK，若 MKN 44 ，求 P 的度數(shù) 解： PA PB ， A B ， 在 A M K 和 B K N 中 ， AM BK ， A B ， AK BN ， A M K B K N ， A M K B K N ， M K B M K N B K N A A M K ， A M K N 44 ， P 180 A B 92 等腰三角形的邊、角 1 (2017預(yù)測(cè) )已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 2和 4， 則該等腰三 角形的周長(zhǎng)是 _ 【 解析 】 根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊 ， 知道等腰三角形的腰的長(zhǎng)度是 4， 底邊長(zhǎng) 2， 即可求得周長(zhǎng) 因?yàn)?2 2 4， 所以等腰三角形的腰的長(zhǎng)度是 4， 底邊長(zhǎng) 2， 周長(zhǎng)為 4 4 2 10. 10 2 如圖 ， 在 ABC中 ， AB AC， 點(diǎn) D在 BC上 ， 且 BD AD， DC AC. 求 B的度數(shù) 解析：第 1題由于未說(shuō)明兩邊哪個(gè)是腰 ， 哪個(gè)是底 ， 故需分兩種情況討論 ： (1)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?2； (2)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?4， 從而得到其周長(zhǎng) ；第 2題設(shè) B為 x ， 分別表示出 ADC， CAD， 依據(jù)三角形內(nèi)角和 定理列出方程求解 解： AB AC， B C.同理： B BAD， CAD CDA. 設(shè) B為 x ， 則 C x ， BAD x ， ADC 2x ， CAD 2x .在 ADC中 ， C CAD ADC 180 ， x 2x 2x 180 ， x 36 ， B 36 1 等腰三角形是兩邊相等的特殊三角形 ， 以頂角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)為 對(duì)稱(chēng)軸 2 等腰三角形兩 _相等 ， 簡(jiǎn)稱(chēng)為 “ 等邊對(duì)等角 ” 答案： 2.底角 3 (原創(chuàng)題 )如圖， Rt ABC的斜邊 AB與量角器的直徑恰好重合 ， B點(diǎn)與 0刻度線(xiàn)的一端重合 ， ABC 40 ， 射線(xiàn) CD繞點(diǎn) C轉(zhuǎn)動(dòng) ， 與量角器外 沿交于點(diǎn) D， 若射線(xiàn) CD將 ABC分割出以 BC為邊的等腰三角形 ， 則點(diǎn) D 在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)是 ( ) A 40 B 70 C 70 或 80 D 80 或 140 【 解析 】 點(diǎn) O是 AB中點(diǎn) ， 連結(jié) DO. 點(diǎn) D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù) DOB 2 BCD， 當(dāng)射線(xiàn) CD將 ABC分割出以 BC為邊的等腰三角形時(shí) ， BCD 40 或 70 ， 點(diǎn) D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù) DOB 2 BCD 80 或 140 ， 故選 D. D 4 (2017預(yù)測(cè) )如圖， ABC中 ， AB AC， BC 12 cm， 點(diǎn) D在 AC上 ， DC 4 cm，將線(xiàn)段 DC沿 BC方向平移 7 cm得到線(xiàn)段 EF， 點(diǎn) E， F分別 落在 AB， BC上，則 EBF的周長(zhǎng)是 _ cm. 【 解析 】 CD沿 CB平移 7 cm至 EF， EF CD， CF 7， BF BC CF 5， EF CD 4， EFB C， AB AC， B C， EB EF 4， C EBF EB EF BF 4 4 5 13. 13 5 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為 10， 若設(shè)腰長(zhǎng)為 x， 則 x的取值范圍是 _ 【 解析 】 等腰三角形周長(zhǎng)為 10， 腰長(zhǎng)為 x， 則 2x 5且 2x 10， 即 2.5 x 5. 2.5 x 5 1 把 “ 等邊對(duì)等角 ” 這一性質(zhì)用在不同的等腰三角形中 ， 必要時(shí)需利 用方程思想轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解題 2. 等腰三角形中 ， 邊若沒(méi)有指出是腰還是底邊 ， 應(yīng)分情況討論 ， 但一定 要利用 “ 三邊之間的關(guān)系 ” 來(lái)檢驗(yàn)解的合理性 等腰三角形的性質(zhì)與判定 6 如圖 ， 在 ABC中 ， AB AC， BD BC， 等邊 BEF的頂點(diǎn) F在 BC 上 ， 邊 EF交 AD于點(diǎn) P， 若 BE 10， BC 14， 求 PE的長(zhǎng) 解析：利用等腰三角形的性質(zhì) ， 有 AD BC， 在 DPF中先求出 PF的值 解： 4 7 如圖 ， 已知 ABC 90 ， D是直線(xiàn) AB上的點(diǎn) ， AD BC. (1)如圖 1， 過(guò)點(diǎn) A作 AF AB， 并截取 AF BD， 連結(jié) DC， DF， CF， 判 斷 CDF的形狀并證明； (2)如圖 2， E是直線(xiàn) BC上一點(diǎn) ， 且 CE BD， 直線(xiàn) AE， CD相交于點(diǎn) P， APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是 ， 請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是 ， 請(qǐng) 說(shuō)明理由 解析： 7(1)證明 AFD和 BDC全等 ， 再利用全等三角形的性質(zhì) ， 即可 判斷三角形的形狀； (2)作 AF AB于 A， 使 AF BD， 連結(jié) DF， CF， 利 用 SAS證明 AFD和 BDC全等 ， 再利用全等三角形的性質(zhì)得得出 APD度數(shù) 解： ( 1 ) CDF 是等腰直角三角形 ， 理由如下： AF AD ， AB C 90 ， F AD DB C ， 在 F AD 與 D B C 中 ， AD BC ， F AD DB C ， AF BD ， F AD DB C ( SAS ) ， FD DC ， CDF 是等腰三角形 ， F AD D B C ， FDA D CB ， B DC DCB 90 ， B DC FDA 90 ， CDF 是等腰直角三角形 ( 2 ) 作 AF AB 于 A ， 使 AF BD ， 連結(jié) DF ， CF ， 如圖 ， AF AD ， AB C 90 ， F AD DB C ， 在 F AD 與 DB C 中 ， AD BC ， F AD DB C ， AF BD ， F AD DB C ( SAS ) ， FD DC ， CDF 是等腰三角形 ， F AD DB C ， FDA DCB ， B DC DCB 90 ， B DC FDA 90 ， CDF 是等腰直角三角形 ， FCD 45 ， AF CE ， 且 AF CE ， 四邊形 AFC E 是平行四邊 形 ， AE CF ， APD FCD 45 1 等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等 ， 那么這兩個(gè)角 所對(duì)的邊也相等 (簡(jiǎn)稱(chēng)為 “ 等角對(duì)等邊 ” ) 2 等 腰 三 角 形 _ 、 _ 和 _互相重合 (簡(jiǎn)稱(chēng)為 “ 三線(xiàn)合一 ” ) 答案 ： 2.底邊上的高；頂角平分線(xiàn)；底邊的中線(xiàn) 8 (2016常州 )如圖 ， ABC中 ， AB AC， BD， CE是高 ， BD與 CE相 交于點(diǎn) O. (1)求證： OB OC； (2)若 ABC 50 ， 求 BOC的度數(shù) 解： (1) AB AC， ABC ACB， BD， CE是 ABC的兩條高 線(xiàn) ， ABC ECB 90 ， ACB DBC 90 ， DBC ECB， OB OC (2) ABC 50 ， AB AC， A 180 2 50 80 ， BOC 180 80 100 9 如圖 ， 已知 ABC為等腰直角三角形 ， BAC 90 ， BE是 ABC的平分線(xiàn) ， DE BC， 垂足為 D. (1)寫(xiě)出圖中所有的等腰三角形 ， 不需證明； (2)請(qǐng)你判斷 AD與 BE是否垂直 ， 并說(shuō)明理由； (3)如果 BC 12， 求 AB AE的長(zhǎng) 解： (1) ABD， EAD， CDE， ABC (2) BAE BDE ， ABE DBE， BE BE， ABE DBE， AB DB， 又 ABE DBE， AD BE (3) C DEC 45 ， CD DE， AE DE DC， AB AE BD DC BC 12 1 要證明一個(gè)三角形為等腰三角形 ， 需證明這個(gè)三角形的兩條邊相等 或兩個(gè)角相等 ， 這樣往往就轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)三角形全等 2 等腰三角形的底邊上的中線(xiàn) 、 底邊上的高 、 頂角平分線(xiàn) “ 三線(xiàn)合一 ” ， 這個(gè)性質(zhì)應(yīng)用廣泛 ， 在遇到等腰三 角形的問(wèn)題時(shí) ， 嘗試作輔助線(xiàn) ， 一是可以把這些線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)化 ， 二是構(gòu)造了全等的三角形 等邊三角形 10 (2017預(yù)測(cè) )如圖 ， P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn) ， 將線(xiàn)段 AP繞點(diǎn) A順 時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到線(xiàn)段 AQ， 連結(jié) BQ.若 PA 6， PB 8， PC 10， 求四 邊形 APBQ的面積 【 解析 】 連結(jié) PQ， 則可判斷 APQ為等邊三角形 ， 所以 PQ AP 6， 證明 APC AQB得到 PC QB 10， 說(shuō)明 PBQ為直角三角形后 ， 利用 S四邊形 APBQ S BPQ S APQ求得結(jié)果 解：連結(jié) PQ ， AB C 為等邊三角形 ， B AC 60 ， AB AC ， 線(xiàn)段 AP 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到線(xiàn)段 AQ ， AP PQ 6 ， P AQ 60 ， APQ 為等邊三角形 ， PQ AP 6 ， CAP B AP 60 ， B AP B AQ 60 ， CAP B AQ ， 在 APC 和 AQ B 中 ， AC AB ， CAP B AQ ， AP AQ ， APC AQ B ， PC QB 10 ， 在 B PQ 中 ， PB 2 8 2 64 ， PQ 2 6 2 ， BQ 2 10 2 ， PB 2 PQ 2 BQ 2 ， P B Q 為直角三角形 ， B PQ 90 ， S 四邊形 APBQ S BPQ S APQ 1 2 6 8 3 4 6 2 24 9 3 1 等邊三角形性質(zhì)： (1)等邊三角形三條邊都 _， 三個(gè)內(nèi)角都 _， 且每個(gè)內(nèi)角都等 于 _； (2)等邊三角形有 _條對(duì)稱(chēng)軸 2 等邊三角形的判定： (1)三邊相等的三角形是等邊三角形； (2)三個(gè)角相等的三角形是等邊 三角形； (3)有一個(gè)角為 60 的等腰三角形是等邊三角形 答案 ： 1.（ 1）相等；相等； 60 ；（ 2）三條 11 (2016青島 )如圖 ， 以邊長(zhǎng)為 20 cm的正三角形紙板的各頂點(diǎn)為端點(diǎn) ， 在各邊上分別截取 4 cm長(zhǎng)的六條線(xiàn)段 ， 過(guò)截得的六個(gè)端點(diǎn)作所在邊 的垂線(xiàn) ， 形成三個(gè)有兩個(gè)直角的四邊形 把它們沿圖中虛線(xiàn)剪掉 ， 用 剩下的紙板折成一個(gè)底為正三角形的無(wú)蓋柱形盒子 ， 求它的容積 解： AB C 為等邊三角形 ， O PQ 為等邊三角形 ， A B C 60 ， AB BC AC ， PO Q 60 ， ADO AK O 90 . 連結(jié) AO ， 作 QM OP 于 M ， 在 Rt A O D 中 ， O AD O AK 30 ， AD 4 cm ， OD AD t a n30 4 3 3 cm ， 同理： BE AD 4 cm ， PQ DE 20 2 4 12 ( cm ) ， QM Q P s in 6 0 12 3 2 6 3 ( cm ) ， 無(wú)蓋柱形 盒子的容積 1 2 6 3 4 3 3 12 1 4 4 ( cm 3 ) 等邊三角形是一種特殊的等腰三角形 ， 利用等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性 ， 構(gòu)造含有 30 的直角三角形 ， 來(lái)計(jì)算解題 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn) 12 (2017預(yù)測(cè) )如圖 ， 線(xiàn)段 AC的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段 AB于點(diǎn) D， A 50 ， 則 BDC ( ) A 50 B 100 C 120 D 130 【 解析 】 根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到 DA DC， 根據(jù)等腰三角形的 性質(zhì)得到 DCA A， 根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可 DE是線(xiàn)段 AC的垂直平分線(xiàn) ， DA DC， DCA A 50 ， BDC DCA A 100 ， 故選 B. B 1 經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn) ， 并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn) ， 叫做這條線(xiàn)段的垂 直平分線(xiàn) (中垂線(xiàn) ) 2 垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等 13 如圖 ， 在等腰 ABC中 ， AB AC， DBC 15 ， AB的垂直平 分線(xiàn) MN交 AC于點(diǎn) D， 則 A的度數(shù)是 _ 【 解析 】 A DBA， 又 AB AC， ABC ACB， A 2( DBA 15 ) 180 ， 即 3 A 30 180 ， A 50 . 50 14 直線(xiàn) CP是經(jīng)過(guò)等腰直角三角形 ABC的直角頂點(diǎn) C， 并且在三角形 的外側(cè)所作的直線(xiàn) ， 點(diǎn) A關(guān)于直線(xiàn) CP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 E， 連結(jié) BE， CE， 其 中 BE交直線(xiàn) CP于點(diǎn) F. (1)若 PCA 25 ， 求 CBF的度數(shù)； (2)連結(jié) AF， 設(shè) AC與 BE的交點(diǎn)為點(diǎn) M， 請(qǐng)判斷 AFM的形狀； (3)求證： EF2 BF2 2BC 2. 解： (1)由題意可知直線(xiàn) CP是線(xiàn)段 AE的中垂線(xiàn) ， PCA 25 ， PCE 25 ， BCE 140 ， CA CB， CE CB， CBF 20 (2) AFM是直角三角形 直線(xiàn) CP是線(xiàn)段 AE的中垂線(xiàn) ， FA FE， CE CA， CF CF， ECF ACF， CEM CAF， CEM CBM， CAF CBM.在 AFM與 BCM中 ， CAF CBM， AMF BMC， AFM BCM 90 ， 即 AFM是 以 AM為斜邊的直角三角形 (3) AFM是以 AM為斜邊的直角三角形 ， ABC是等腰直角三角形 ， AFB ACB 90 ， AF2 BF2 AB2， 即 EF2 BF2 2BC2 根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì) ， 點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 ， 就能轉(zhuǎn)化為 等腰三角形問(wèn)題