第六章 圖形的性質(zhì) (二 ) 第 24講 直線與圓的位置關(guān)系 (2)切線的性質(zhì)： 切線的性質(zhì)定理：圓的切線 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑 推論 1：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò) 推論 2：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò) (3)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且 這條半徑的直線是 圓的切線 (4)三角形的內(nèi)切圓：和三角形三邊都 的圓叫做三角形的內(nèi)切 圓 ， 內(nèi)切圓的圓心是 內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 ， 內(nèi)切圓的半徑是內(nèi)心到三邊的 距離 ， 且在三角形內(nèi)部 垂直于 圓心 切點(diǎn) 垂直于 相切 三角形三條角平分線的交點(diǎn) 內(nèi)心 1 證直線為圓的切線的兩種方法 (1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí) ， 常連接公共點(diǎn)和圓心 ， 證明直線垂直半 徑； (2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí) ， 常過(guò)圓心向直線作垂線 ， 證明垂線段的 長(zhǎng)等于圓的半徑 2 圓中的分類討論 圓是一種極為重要的幾何圖形 ， 由于圖形位置、形狀及大小的不確定 ， 經(jīng)常出現(xiàn)多結(jié)論情況 (1)由于點(diǎn)在圓周上的位置的不確定而分類討論； (2)由于弦所對(duì)弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論； (3)由于弦的位置不確定而分類討論； (4)由于直線與圓的位置關(guān)系的不確定而分類討論 3 常見(jiàn)的輔助線 (1)當(dāng)已知條件中有切線時(shí) ， 常作過(guò)切點(diǎn)的半徑 ， 利用切線的性質(zhì)定理 來(lái)解題； (2)遇到兩條相交的切線時(shí) (切線長(zhǎng) )， 常常連接切點(diǎn)和圓心、連接圓心和 圓外的一點(diǎn)、連接兩切點(diǎn) 1 (2015張家界 )如圖 ， O 30 ， C為 OB上一點(diǎn) ， 且 OC 6， 以 點(diǎn) C為圓心 ， 半徑為 3的圓與 OA的位置關(guān)系是 ( ) A 相離 B相交 C 相切 D以上三種情況均有可能 2 (2016酒泉 )如圖 ， AB和 O相切于點(diǎn) B， AOB 60 ， 則 A 的大小為 ( ) A 15 B 30 C 45 D 60 C B 3 (2016湖州 )如圖 ， 圓 O是 Rt ABC的外接圓 ， ACB 90 ， A 25 ， 過(guò)點(diǎn) C作圓 O的切線 ， 交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D， 則 D的度數(shù)是 ( ) A 25 B 40 C 50 D 65 4 (2016德州 ) 九章算術(shù) 是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著 ， 書(shū)中 有下列問(wèn)題 “ 今有勾八步 ， 股十五步 ， 問(wèn)勾中容圓徑幾何？ ” 其意思是： “ 今有直角三角形 ， 勾 (短直角邊 )長(zhǎng)為 8步 ， 股 (長(zhǎng)直角邊 )長(zhǎng)為 15步 ， 問(wèn)該直角 三角形能容納的圓形 (內(nèi)切圓 )直徑是多少？ ” ( ) A 3步 B 5步 C 6步 D 8步 B C 5 (2016湖北 )如圖 ， I是 ABC的內(nèi)心 ， AI的延長(zhǎng)線和 ABC的外接 圓相交于點(diǎn) D， 連接 BI， BD， DC.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是 ( ) A 線段 DB繞點(diǎn) D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與線段 DC重合 B 線段 DB繞點(diǎn) D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與線段 DI重合 C CAD繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與 DAB重合 D 線段 ID繞點(diǎn) I順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定能與線段 IB重合 D 【例 1 】 ( 1 ) 如圖 ， O 的半徑為 4 cm ， OA OB ， OC AB 于點(diǎn) C ， OB 4 5 cm ， OA 2 5 cm ， 試說(shuō)明 AB 是 O 的切線 解： ( 1 ) OA OB ， AB OA 2 OB 2 （ 2 5 ） 2 （ 4 5 ） 2 10. 又 S AOB 1 2 AB OC 1 2 OA OB ， OC OA OB AB 2 5 4 5 10 4. 又 O 的半徑為 4 ， AB 是 O 的切線 (2) 如圖 ， 已知在 OAB 中 ， OA OB 13 ， AB 24 ， O 的半徑長(zhǎng)為 r 5. 判斷直線 AB 與 O 的位置關(guān)系 ， 并說(shuō)明理由 【點(diǎn)評(píng)】 在判定直線與圓相切時(shí) ， 若直線與圓的公共點(diǎn)已知 ， 證題方 法是 “ 連半徑 ， 證垂直 ” ；若直線與圓的公共點(diǎn)未知 ， 證題方法是 “ 作垂線 ， 證半徑 ” 這兩種情況可概括為一句話： “ 有交點(diǎn)連半徑 ， 無(wú)交點(diǎn)作垂線 ” 解： (2) 過(guò)點(diǎn) O 作 OC AB 于 C. OA OB 13 ， AC BC 1 2 AB 12. 在 Rt AOC 中 ， OC OA 2 AC 2 13 2 12 2 5 r ， 直線 AB 與 O 相切 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (1)(2015齊齊哈爾 )如圖 ， 兩個(gè)同心圓 ， 大圓的半徑為 5， 小圓的半 徑為 3， 若大圓的弦 AB與小圓有公共點(diǎn) ， 則弦 AB的取值范圍是 ( ) A 8AB10 B 8 AB10 C 4AB5 D 4 AB5 A (2)(2016永州 )如圖 ， 給定一個(gè)半徑長(zhǎng)為 2的圓 ， 圓心 O到水平直線 l的距離 為 d， 即 OM d.我們把圓上到直線 l的距離等于 1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為 m.如 d 0 時(shí) ， l為經(jīng)過(guò)圓心 O的一條直線 ， 此時(shí)圓上有四個(gè)到直線 l的距離等于 1的點(diǎn) ， 即 m 4， 由此可知： 當(dāng) d 3時(shí) ， m _；當(dāng) m 2時(shí) ， d的取值范圍是 1 1 d 3 【例 2 】 ( 2016 天津 ) 在 O 中 ， AB 為直徑 ， C 為 O 上一點(diǎn) ( 1 ) 如圖 ， 過(guò)點(diǎn) C 作 O 的切線 ， 與 AB 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P ， 若 CAB 27 ， 求 P 的大??； ( 2 ) 如圖 ， D 為 AC 上一點(diǎn) ， 且 OD 經(jīng)過(guò) AC 的中點(diǎn) E ， 連接 DC 并延長(zhǎng) ， 與 AB 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P ， 若 CAB 10 ， 求 P 的大小 解： ( 1 ) 如圖 ， 連接 OC ， O 與 PC 相切于點(diǎn) C ， OC PC ， 即 OCP 90 ， CAB 27 ， COB 2 CAB 54 ， 在 Rt COP 中 ， P COP 90 ， P 90 COP 36 ( 2 ) E 為 AC 的中點(diǎn) ， OD AC ， 即 AEO 90 ， 在 Rt AOE 中 ， 由 EAO 10 ， 得 AOE 90 EAO 80 ， ACD 1 2 AOD 40 ， ACD 是 ACP 的一個(gè)外角 ， P ACD A 40 10 30 . 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 (導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01262215)(2016丹東 )如圖 ， AB是 O的直徑 ， 點(diǎn) C在 AB的延長(zhǎng)線上 ， CD與 O相切于點(diǎn) D， CE AD， 交 AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E. (1)求證： BDC A； (2)若 CE 4， DE 2， 求 AD的長(zhǎng) ( 1 ) 證明：連接 OD ， CD 是 O 切線 ， ODC 90 ， 即 ODB BDC 90 ， AB 為 O 的直徑 ， ADB 90 ， 即 ODB ADO 90 ， BDC ADO ， OA OD ， ADO A ， BDC A ( 2 ) CE AE ， E ADB 90 ， DB EC ， DCE BDC ， BDC A ， A DCE ， E E ， AEC CED ， CE DE AE CE ， EC 2 DE AE ， 16 2 ( 2 AD ) ， AD 6. 【 例 3】 (2016永州 )如圖 ， ABC是 O的內(nèi)接三角形 ， AB為直徑 ， 過(guò)點(diǎn) B的切線與 AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D， E是 BD中點(diǎn) ， 連接 CE. (1)求證： CE是 O的切線； (2)若 AC 4， BC 2， 求 BD和 CE的長(zhǎng) (1) 證明：連接 OC ， 如圖所示： BD 是 O 的切線 ， CBE A ， ABD 90 ， AB 是 O 的直徑 ， ACB 90 ， ACO BCO 90 ， BCD 90 ， E 是 BD 中點(diǎn) ， CE 1 2 BD BE ， BCE CBE A ， OA OC ， ACO A ， ACO BCE ， BCE BC O 90 ， 即 OCE 90 ， CE OC ， CE 是 O 的切線 (2) 解： ACB 90 ， AB AC 2 BC 2 4 2 2 2 2 5 ， tan A BD AB BC AC 2 4 1 2 ， BD 1 2 AB 5 ， CE 1 2 BD 5 2 . 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01 262216 )( 2016 樂(lè)山 ) 如圖 ， 在 ABC 中 ， AB AC ， 以 AC 邊為直徑作 O 交 BC 邊于點(diǎn) D ， 過(guò)點(diǎn) D 作 DE AB 于點(diǎn) E ， ED ， AC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F. ( 1 ) 求證： EF 是 O 的切線； ( 2 ) 若 EB 3 2 ， 且 sin CFD 3 5 ， 求 O 的半徑與線段 AE 的長(zhǎng) (1) 證明：連接 OD ， 如圖 ， AB AC ， B ACD ， OC OD ， ODC OCD ， B ODC ， OD AB ， DE AB ， OD EF ， EF 是 O 的切線 (2) 解：在 Rt ODF 中 ， sin OFD OD OF 3 5 ， 設(shè) OD 3x ， 則 OF 5x ， AB AC 6x ， AF 8x ， 在 Rt AEF 中 ， sin AFE AE AF 3 5 ， AE 3 5 8x 24 5 x ， BE AB AE 6x 24 5 x 6 5 x ， 6 5 x 3 2 ， 解得 x 5 4 ， AE 24 5 5 4 6 ， OD 3 5 4 15 4 ， 即 O 的半徑長(zhǎng)為 15 4 . 試題 已知：如圖 ， P 是 O 外一點(diǎn) ， PA 切 O 于點(diǎn) A ， AB 是 O 的 直徑 ， BC OP 交 O 于點(diǎn) C. (1) 判斷直線 PC 與 O 的位置關(guān)系 ， 并證明你的結(jié)論； (2) 若 BC 2 ， sin 1 2 APC 1 3 ， 求 PC 的長(zhǎng)及點(diǎn) C 到 PA 的距 離 審題視角 (1)直線 PC與 O交于點(diǎn) C， 可以初步判定直線與圓相切或相交； (2)PA切 O于點(diǎn) A， 根據(jù)切線的性質(zhì) ， 可知 PAO 90 ， 連接 CO， 能證得 PCO PAO 90 ， PC與 O相切；而后由 PC是切線解得 PC 長(zhǎng) 規(guī)范解題 解： (1)直線 PC與 O相切 證明：連接 OC， BC OP， 1 2， 3 4. OB OC， 1 3， 2 4. 又 OC OA， OP OP， POC POA(SAS)， PCO PAO. PA切 O于點(diǎn) A， PAO 90 ， PCO 90 ， PC與 O相切 (2) POC POA ， 5 6 1 2 APC ， sin 5 sin 1 2 AP C 1 3 . PCO 90 ， 2 5 90 ， cos 2 sin 5 1 3 . 3 1 2 ， cos 3 1 3 . 連接 AC ， AB 是 O 的直徑 ， ACB 90 ， AB BC cos 3 2 1 3 6 ， OA OB OC 3 ， AC AB 2 BC 2 4 2 ， 在 Rt POC 中 ， OP OC sin 5 9 ， PC OP 2 OC 2 6 2 . 過(guò)點(diǎn) C 作 CD PA 于 D ， ACB P AO 90 ， 3 7 90 ， 7 8 90 ， 3 8 ， cos 8 cos 3 1 3 . 在 Rt CAD 中 ， AD AC cos 8 4 2 1 3 4 3 2 . CD AC 2 AD 2 16 3 ， 即點(diǎn) C 到 PA 的距離為 16 3 . 答題思路 第一步：探索可能的結(jié)論 ， 假設(shè)符合要求的結(jié)論存在； 第二步：從條件出發(fā) (即假設(shè) )求解； 第三步：確定符合要求的結(jié)論存在或不存在； 第四步：給出明確結(jié)果； 第五步：反思回顧 ， 查看關(guān)鍵點(diǎn) ， 易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范 試題 在 Rt ABC 中 ， C 90 ， AC 3 ， BC 4 ， 若以 C 為圓心 ， R 為半徑的圓與斜邊 AB 只有一個(gè)公 共點(diǎn) ， 求 R 的值 錯(cuò)解 解： C 與 AB 相切 ， 此時(shí) AB 3 2 4 2 5 ， S ABC 1 2 AB CD 1 2 AC BC ， CD AC BC AB 3 4 5 12 5 ， 圓與 AB 相切時(shí) ， 即 R CD 12 5 . 剖析 當(dāng) C 與 AB 相切時(shí) ， 只有一個(gè)交點(diǎn) ， 同時(shí)要注意 AB 是線段 ， 當(dāng)圓的半徑 R 在一定范圍內(nèi)時(shí) ， 斜邊 AB 與 C 相交且只有一個(gè)公共點(diǎn) 正解 當(dāng) O 與 AB 相切時(shí) ， AB 3 2 4 2 5 ， S ABC 1 2 AB CD 1 2 AC BC ， CD AC BC AB 3 4 5 12 5 ； 當(dāng) C 與斜邊 AB 相交時(shí) ， 點(diǎn) A 在圓內(nèi)部 ， 點(diǎn) B 在圓上或圓外時(shí) ， 此時(shí) AC R BC ， 即 3 R 4. 故答案為： 3 R 4 或 R 12 5 .