第六章 圖形的性質(zhì) (二 ) 第 23講 圓的基本性質(zhì) 1 主要概念 (1)圓：平面上到 的距離等于 的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓 _叫做圓心 ， 叫做半徑 ， 以 O為圓心的圓記作 O. (2)弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做 _， 連接圓上任意兩點(diǎn)的線 段叫做 _， 經(jīng)過圓心的弦叫做直徑 ， 直徑是最長(zhǎng)的 _ (3)圓心角：頂點(diǎn)在 ， 角的兩邊與圓相交的角叫做圓心角 (4)圓周角：頂點(diǎn)在 ， 角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角 (5)等?。涸?中 ， 能夠完全 的弧叫做等弧 定點(diǎn) 定長(zhǎng) 定點(diǎn) 定長(zhǎng) 弧 弦 弦 圓心 圓上 同圓或等圓 重合 2 圓的有關(guān)性質(zhì) (1)圓的對(duì)稱性： 圓是 圖形 ， 其對(duì)稱軸是 圓是 圖形 ， 對(duì)稱中心是 旋轉(zhuǎn)不變性 ， 即圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度 ， 都能與原來的圖 形重合 (2)垂徑定理及推論： 垂徑定理：垂直于弦的直徑 ， 并且 垂徑定理的推論： 平分弦 (不是直徑 )的直徑 ， 并且 ； 弦的垂直平分線 ， 并且平分弦所對(duì)的兩條?。?平分弦所對(duì)的一條弧的直徑 ， 垂直平分弦 ， 并且平分弦所對(duì)的另一條 弧 軸對(duì)稱 過圓心的任意一條直線 中心對(duì)稱 圓心 平分弦 平分弦所對(duì)的兩條弧 垂直于弦 平分弦所對(duì)的兩條弧 經(jīng)過圓心 (3)弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論： 弦、弧、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中 ， 相等的圓心角所對(duì)的弧 _， 所對(duì)的弦 _ 推論：在同圓或等圓中 ， 如果兩個(gè) 、 、 、 中有一組量相等 ， 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各 組量都分別相等 (4)圓周角定理及推論： 圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的 _ 圓周角定理的推論： 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的 弧 半圓 (或直徑 )所對(duì)的圓周角是 ； 90 的圓周角所對(duì)的弦是 (5)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 (設(shè) d為點(diǎn) P到圓心的距離 ， r為圓的半徑 )： 點(diǎn) P在圓上 ； 點(diǎn) P在圓內(nèi) ； 點(diǎn) P在圓外 相等 相等 圓心角 兩條弧 兩條弦 兩條弦心距 一半 相等 直角 直徑 d r dr (6)過三點(diǎn)的圓： 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn) ， 有且只有一個(gè)圓 經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三 角形的外心；三角形的外心是三邊 的交點(diǎn) ， 這個(gè)三角形叫做 這個(gè)圓的內(nèi)接三角形銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的 外心在斜邊中點(diǎn)處；鈍角三角形的外心在三角形的外部 (7)圓的內(nèi)接四邊形： 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 垂直平分線 互補(bǔ) 常見的輔助線 (1)有關(guān)弦的問題 ， 常作其弦心距 ， 構(gòu)造以半徑、弦的一半、弦心距為 邊的直角三角形 ， 利用勾股定理知識(shí)求解； (2)有關(guān)直徑的問題 ， 常通過輔助線構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是直角來進(jìn)行證明 或計(jì)算 (3)有等弧或證弧相等時(shí) ， 常連等弧所對(duì)的弦或作等 (同 )弧所對(duì)的圓周 (心 )角 1 ( 2016 黃石 ) 如圖所示 ， O 的半徑為 13 ， 弦 AB 的長(zhǎng)度是 24 ， ON AB ， 垂足為 N ， 則 ON ( ) A 5 B 7 C 9 D 11 2 ( 2016 蘭州 ) 如圖 ， 在 O 中 ， 若點(diǎn) C 是 AB 的中點(diǎn) ， A 50 ， 則 BOC ( ) A 40 B 45 C 50 D 60 A A 3 ( 2016 杭州 ) 如圖 ， 已知 AC 是 O 的直徑 ， 點(diǎn) B 在圓周上 ( 不與 A 、 C 重合 ) ， 點(diǎn) D 在 AC 的延長(zhǎng)線上 ， 連接 BD 交 O 于點(diǎn) E ， 若 AOB 3 ADB ， 則 ( ) A DE EB B . 2 DE EB C . 3 DE DO D DE OB 4 ( 2016 蘭州 ) 如圖 ， 四邊形 ABC D 內(nèi)接于 O ， 若四邊形 AB CO 是平行 四邊形 ， 則 ADC 的大小為 ( ) A 45 B 50 C 60 D 75 D C 5 (2016宜昌 )在公園的 O處附近有 E， F， G， H四棵樹 ， 位置如圖所 示 (圖中小正方形的邊長(zhǎng)均相等 )， 現(xiàn)計(jì)劃修建一座以 O為圓心 ， OA為半 徑的圓形水池 ， 要求池中不留樹木 ， 則 E， F， G， H四棵樹中需要被移 除的為 ( ) A E， F， G B F， G， H C G， H， E D H， E， F A 【例 1 】 ( 2016 安順 ) 如圖 ， AB 是 O 的直徑 ， 弦 CD AB 于點(diǎn) E ， 若 AB 8 ， CD 6 ， 則 BE 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是垂徑定理及勾股定理 ， 根據(jù)題意作出輔助線 ， 構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 4 7 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 如圖 ， O是 ABC的外接圓 ， 弦 BD交 AC于點(diǎn) E， 連接 CD， 且 AE DE， BC CE. (1)求 ACB的度數(shù)； (2)過點(diǎn) O作 OF AC于點(diǎn) F， 延長(zhǎng) FO交 BE于點(diǎn) G， DE 3， EG 2， 求 AB 的長(zhǎng) 解： (1) 在 AEB 和 DEC 中 ， A D ， AE ED ， AEB DEC ， AEB DEC ( ASA ) ， EB EC ， 又 BC CE ， BE CE BC ， EBC 為等邊三角形 ， ACB 60 (2) OF AC ， A F CF ， EBC 為等邊三角形 ， GEF 60 ， EGF 30 ， EG 2 ， EF 1 ， 又 AE ED 3 ， CF AF 4 ， AC 8 ， EC 5 ， BC 5 ， 作 BM AC 于點(diǎn) M ， BCM 60 ， MBC 30 ， CM 5 2 ， BM BC 2 CM 2 5 3 2 ， AM AC CM 11 2 ， AB AM 2 BM 2 7 【例 2 】 ( 2016 舟山 ) 把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開 ， 圖中的虛線表示折痕 ， 則 BC 的度數(shù)是 ( ) A 120 B 135 C 150 D 165 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圖形的翻折變換 ， 正確得出 BO D 的度數(shù)是解題關(guān)鍵 C 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 (導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01262213)(2015臺(tái)州 )如圖 ， 四邊形 ABCD內(nèi)接于 O， 點(diǎn) E在對(duì)角線 AC上 ， EC BC DC. (1)若 CBD 39 ， 求 BAD的度數(shù)； (2)求證： 1 2. (1)解： BC DC， CBD CDB 39 ， BAC CDB 39 ， CAD CBD 39 ， BAD BAC CAD 39 39 78 (2)證明： EC BC， CEB CBE， 而 CEB 2 BAE， CBE 1 CBD， 2 BAE 1 CBD， BAE CBD， 1 2. 【 例 3】 (2016南寧 )如圖 ， 點(diǎn) A， B， C， P在 O上 ， CD OA， CE OB， 垂足分別為 D， E， DCE 40 ， 則 P的度數(shù)為 ( ) A 140 B 70 C 60 D 40 【 點(diǎn)評(píng) 】 當(dāng)圖中出現(xiàn)同弧或等弧時(shí) ， 常?？紤]到弧所對(duì)的圓周角或圓 心角 ， 一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半 ， 通過相等的弧 把角聯(lián)系起來 B 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01 262214 )( 2016 株洲 ) 已知 AB 是半徑為 1 的圓 O 直徑 ， C 是圓上一點(diǎn) ， D 是 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ， 過點(diǎn) D 的直線交 AC 于 E 點(diǎn) ， 且 AEF 為等邊三角形 ( 1 ) 求證： DFB 是等腰三角形； ( 2 ) 若 DA 7 AF ， 求證： CF AB. 解： (1) AB是 O直徑 ， ACB 90 ， AEF為等邊三角形 ， CAB EFA 60 ， B 30 ， EFA B FDB， B FDB 30 ， DFB是等腰三角形 (2) 過點(diǎn) A 作 AM DF 于點(diǎn) M 連接 CF ， 設(shè) AF 2a ， AEF 是等邊三角形 ， FM EM a ， AM 3 a ， 在 Rt DAM 中 ， AD 7 AF 2 7 a ， AM 3 a ， DM 5a ， DF BF 6a ， AB AF BF 8a ， 在 Rt ABC 中 ， B 30 ， ACB 90 ， AC 4a ， AE EF AF CE 2a ， ECF EFC ， AEF ECF EFC 60 ， CFE 30 ， AFC AFE EFC 60 30 90 ， CF AB. 【例 4 】 ( 2016 連云港 ) 如圖 ， 在網(wǎng)格中 ( 每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1 個(gè) 單位 ) 選取 9 個(gè)格點(diǎn) ( 格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn) ) 如 果以 A 為圓心 ， r 為半徑畫圓 ， 選取的格點(diǎn)中除點(diǎn) A 外恰好有 3 個(gè)在圓內(nèi) ， 則 r 的取值范圍為 ( ) A 2 2 r 17 B . 17 r 3 2 C . 17 r 5 D 5 r 29 點(diǎn)撥：如圖 ， AD 2 2 ， AE AF 17 ， AB 3 2 ， AB AE AD ， 17 r 3 2 時(shí) ， 以 A 為圓心 ， r 為半徑畫圓 ， 選取的格點(diǎn)中除點(diǎn) A 外恰 好有 3 個(gè)在圓內(nèi) ， 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí) ， 解題的關(guān) 鍵是正確畫出圖形 ， 理解題意 B 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 在數(shù)軸上 ， 點(diǎn) A所表示的實(shí)數(shù)為 3， 點(diǎn) B所表示的實(shí)數(shù)為 a， A的半 徑為 2.下列說法中不正確的是 ( ) A 當(dāng) a 5時(shí) ， 點(diǎn) B在 A內(nèi) B 當(dāng) 1 a 5時(shí) ， 點(diǎn) B在 A內(nèi) C 當(dāng) a 1時(shí) ， 點(diǎn) B在 A外 D 當(dāng) a 5時(shí) ， 點(diǎn) B在 A外 A 試題 ABC 內(nèi)接于半徑為 r 的 O ， 且 BC AB AC ， OD BC 于 D ， 若 OD 1 2 r ， 求 A 的度數(shù) 錯(cuò)解 解：當(dāng)圓心 O 在 ABC 內(nèi)時(shí) ， 如圖 ， 連接 OB ， OC . OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， OCD 30 ， DOC 60 . 同理 ， BOD 60 ， BOC 120 ， A 60 . 當(dāng)圓心 O 在 ABC 外時(shí) ， 如圖 ， 同上 ， 可求得 BOC 120 ， A BOC 1 20 . 綜上 ， A 的度數(shù)為 60 或 1 20 . 剖析 上述解法看上去好像思考周全 ， 考慮了兩種情況 ， 其實(shí)又錯(cuò)了 ， 因?yàn)?BC AB AC， BC是不等邊 ABC的最大邊 ， 所以 A 60 不正 確 ， 產(chǎn)生錯(cuò)誤的根源是圖畫得不準(zhǔn)確 ， 忽視了圓心的位置 ， 實(shí)際上本題 的圓心應(yīng)在 ABC的外部 正解 OD 1 2 r 1 2 OC ， OD BC ， OCD 30 ， DOC 60 . 同 理 ， BOD 60 ， BOC 120 ， BAC 度數(shù)為 120 ， BmC 度數(shù)為 2 40 ， A 120