數(shù)學 專題十 切線的判定與性質(zhì)的綜合應用 四川專用 圓與相似三角形 【例 1 】 ( 導學號 1 4 9 5 2 2 2 5 )( 2 0 1 6 柳州 ) 如圖 ， AB 為 A B C 外接圓 O 的直徑 ， 點 P 是線段 CA 延長線上一點 ， 點 E 在圓上且滿足 PE 2 P A P C ， 連接 CE ， AE ， OE ， OE 交 CA 于點 D. ( 1 ) 求證： P A E P EC ； ( 2 ) 求證： PE 為 O 的切線； ( 3 ) 若 B 30 ， AP 1 2 AC ， 求證： DO DP . 分析： (1)利用兩邊對應成比例 ， 夾角相等 ， 兩三角形相似即可 ； (2)連接 BE， 轉(zhuǎn)化出 OEB PCE， 又由相似得出 PEA PCE， 從而用直 徑所對的圓周角是直角 ， 轉(zhuǎn)化出 OEP 90 即可 ； (3)構(gòu)造全等三角形 ， 先找出 OD與 PA的關(guān)系 ， 再用等積式找出 PE與 PA的關(guān)系 ， 從而判斷出 OD PE， 得出 ODM PDE即可 解： ( 1 ) PE 2 P A P C ， PE PA PC PE ， A P E EP C ， P A E P EC ( 2 ) 如圖 1 ， 連接 BE ， O B E OEB ， OB E P C E ， OEB P C E ， P A E P EC ， P EA P C E ， P EA OEB ， AB 為直徑 ， A EB 90 ， OEB OE A 90 ， P EA OE A 90 ， OEP 90 ， 點 E 在 O 上 ， PE 是 O 的 切線 ( 3 ) 如圖 2 ， 過點 O 作 OM AC 于 M ， AM 1 2 AC ， BC AC ， OM BC ， A B C 30 ， A OM 30 ， OM 3 AM 3 2 AC ， AP 1 2 AC ， OM 3 AP ， PC AC AP 2 A P AP 3 A P ， PE 2 P A P C P A 3 P A ， PE 3 PA ， OM PE ， P ED OMD 90 ， ODM P DE ， OD M P DE ， DO DP 【對應訓練】 1 ( 導學號 1 4 9 5 2 2 2 6 )( 2 0 1 6 黔南州 ) 如圖 ， AB 是 O 的直徑 ， 點 D 是 AE 上一點 ， 且 B DE C B E ， BD 與 AE 交于點 F. ( 1 ) 求證： BC 是 O 的切線； ( 2 ) 若 BD 平分 A B E ， 求證： DE 2 DF DB ； ( 3 ) 在 ( 2 ) 的條件下 ， 延長 ED ， BA 交于點 P ， 若 PA AO ， DE 2 ， 求 PD 的長 解： ( 1 ) AB 是 O 的直徑 ， A EB 90 ， E AB A B E 90 ， E A B B DE ， B DE C B E ， C B E A B E 90 ， 即 A B C 90 ， AB BC ， BC 是 O 的切線 ( 2 ) BD 平分 A B E ， 1 2 ， 而 2 A ED ， A ED 1 ， F DE EDB ， DFE DEB ， DE DF DB DE ， DE 2 DF DB ( 3 ) 連接 OD ， 如圖 ， OD OB ， 2 ODB ， 而 1 2 ， ODB 1 ， OD BE ， P OD P B E ， PD PE PO PB ， PA AO ， PA AO BO ， PD PE 2 3 ， DE 2 ， PD PD 2 2 3 ， PD 4 圓與三角函數(shù) 【例 2 】 ( 導學號 1 4 9 5 2 2 2 7 )( 2 0 1 6 雅安 ) 如圖 1 ， AB 是 O 的直徑 ， E 是 AB 延長線上一點 ， EC 切 O 于點 C ， OP AO 交 AC 于點 P ， 交 EC 的延長線于點 D. ( 1 ) 求證： P C D 是等腰三角形； ( 2 ) C G AB 于點 H ， 交 O 于點 G ， 過點 B 作 BF EC ， 交 O 于點 F ， 交 CG 于點 Q ， 連接 AF ， 如圖 2 ， 若 s in E 3 5 ， CQ 5 ， 求 AF 的值 分析： ( 1 ) 連接 OC ， 由切線性質(zhì)和垂直性質(zhì)得 1 3 90 ， 2 4 90 ， 繼而可得 3 5 得證 ； ( 2 ) 連接 OC ， BC ， 先根據(jù)切線性質(zhì)和平行 線性質(zhì)及垂直性質(zhì)證 BCG QB C 得 QC QB 5 ， 而 s in E s in A B F 3 5 ， 可知 QH 3 ， BH 4 ， 設(shè)圓的半徑為 r ， 在 Rt 在 OC H 中根據(jù)勾股定 理可得 r 的值 ， 在 Rt A B F 中根據(jù)三角函數(shù)可得答案 解： ( 1 ) 連接 OC ， EC 切 O 于點 C ， OC DE ， 1 3 90 ， 又 OP OA ， 2 4 90 ， OA OC ， 1 2 ， 3 4 ， 又 4 5 ， 3 5 ， DP DC ， 即 P C D 為等腰三角形 ( 2 ) 如圖 2 ， 連接 OC ， BC ， DE 與 O 相切于點 C ， BF DE ， OC BF ， CF BC ， 又 CG AB ， CB BG ， CF BG ， FB C B C G ， CQ BQ 5 ， BF DE ， A B F E ， s in E 3 5 ， s in A B F 3 5 ， QH 3 ， BH 4 ， 設(shè) O 的半徑為 r ， 在 OC H 中 ， r 2 8 2 (r 4) 2 ， 解得 r 10 ， 又 A F B 90 ， s in A B F AF AB 3 5 ， AF 12 【對應訓練】 2 ( 導學號 1 4 9 5 2 2 2 8 )( 2 0 1 6 達州 ) 如圖 ， 已知 AB 為半圓 O 的直徑 ， C 為半圓 O 上一點 ， 連接 AC ， BC ， 過點 O 作 OD AC 于點 D ， 過點 A 作 半圓 O 的切線交 OD 的延長線于點 E ， 連接 BD 并延長交 AE 于點 F. ( 1 ) 求證： A E B C AD A B ； ( 2 ) 若半圓 O 的直徑為 10 ， s in B A C 3 5 ， 求 AF 的長 解： ( 1 ) AB 為半圓 O 的直徑 ， C 90 ， OD AC ， C A B AOE 90 ， ADE C 90 ， AE 是切線 ， OA AE ， E A OE 90 ， E C A B ， E A D A B C ， AE AB AD BC ， AE BC AD A B ( 2 ) 作 DM AB 于點 M ， 半圓 O 的直 徑為 10 ， s in B A C 3 5 ， BC A B s in B A C 6 ， AC AB 2 BC 2 8 ， OE AC ， AD 1 2 AC 4 ， B AC D AM ， s in B AC s in M A D DM AD ， DM 12 5 ， AM AD 2 DM 2 4 2 （ 12 5 ） 2 16 5 ， BM AB AM 34 5 ， DM AB ， AE 是半圓 O 的切線 ， DM AE ， B DM B F A ， DM AF BM BA ， AF 60 17 圓與平面直角坐標系 【例 4 】 ( 導學號 1 4 9 5 2 2 2 9 )( 2 0 1 6 北京 ) 在平面直角坐標系 x O y 中 ， 點 P 的坐標為 (x 1 ， y 1 ) ， 點 Q 的坐標為 (x 2 ， y 2 ) ， 且 x 1 x 2 ， y 1 y 2 ， 若 P ， Q 為 某個矩形的兩個頂點 ， 且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直 ， 則稱該矩形為 點 P ， Q 的 “ 相關(guān)矩形 ” ， 如圖為點 P ， Q 的 “ 相關(guān)矩形 ” 示意圖 ( 1 ) 已知點 A 的坐標為 (1 ， 0 ) ， 若點 B 的坐標為 (3 ， 1 ) ， 求點 A ， B 的 “ 相關(guān)矩形 ” 的面積； 點 C 在直線 x 3 上 ， 若點 A ， C 的 “ 相關(guān)矩形 ” 為正方形 ， 求直線 AC 的表達式； ( 2 ) O 的半徑為 2 ， 點 M 的坐標為 (m ， 3 ) ， 若在 O 上存在一點 N ， 使 得點 M ， N 的 “ 相關(guān)矩形 ” 為正方形 ， 求 m 的取值范圍 分析： (1) 由相關(guān)矩形的定義可知 ： 要求 A與 B的相關(guān)矩形面積 ， 則 AB必為對角線 ， 利用 A， B兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度 ， 進而可求出該矩形的面積 ； 由定義可知 ， AC必為正方形的對角線 ， 所以 AC與 x軸的夾角必為 45 ， 設(shè)直線 AC的解析式為 y kx b， 由 此可知 k 1， 再將 A(1， 0)代入 y kx b， 即可求出 b的值 ； (2)由定 義可知 ， MN必為相關(guān)矩形的對角線 ， 若該相關(guān)矩形為正方形 ， 即直線 MN與 x軸的夾角為 45 ， 又因為點 N在 O上 ， 所以該直線 MN與 O 一定要有交點 ， 由此可以求出 m的取值范圍 解： (1) A(1， 0)， B(3， 1)， 由定義可知：點 A， B的“相關(guān)矩形” 的底與高分別為 2和 1， 點 A， B的“相關(guān)矩形”的面積為 2 1 2； 由定義可知： AC是點 A， C的“相關(guān)矩形”的對角線 ， 又 點 A， C的“ 相關(guān)矩形”為正方形 ， 直線 AC與 x軸的夾角為 45 ， 設(shè)直線 AC的解 析為 y x m或 y x n， 把 A(1， 0)代入 y x m， 得 m 1， 直 線 AC的解析式為 y x 1， 把 A(1， 0)代入 y x n， 得 n 1， y x 1， 綜上所述 ， 若點 A， C的“相關(guān)矩形”為正方形 ， 直線 AC的表 達式為 y x 1或 y x 1 ( 2 ) 設(shè)直線 MN 的解析式為 y kx b ， 點 M ， N 的 “ 相關(guān)矩形 ” 為正方 形 ， 由定義可知：直線 MN 與 x 軸的夾角為 45 ， k 1 ， 點 N 在 O 上 ， 當直線 MN 與 O 有 交點時 ， 點 M ， N 的 “ 相關(guān)矩形 ” 為正方 形 ， 當 k 1 時 ， 作 O 的切線 AD 和 BC ， 且與直線 MN 平行 ， 其中 A ， C 為 O 的切點 ， 直線 AD 與 y 軸交于點 D ， 直線 BC 與 y 軸交于點 B ， 連接 OA ， OC ， 把 M (m ， 3 ) 代入 y x b ， b 3 m ， 直線 MN 的解 析式為 y x 3 m ， ADO 45 ， O AD 90 ， OD 2 OA 2 ， D (0 ， 2 ) 同理可得 B ( 0 ， 2) ， 將 x 0 代入 y x 3 m ， 得 y 3 m ， 2 3 m 2 ， 1 m 5 ， 當 k 1 時 ， 把 M( m ， 3 ) 代入 y x b ， b 3 m ， 直線 MN 的解析式為 y x 3 m ， 同理可 得 2 3 m 2 ， 5 m 1 ；綜上所述 ， 當點 M ， N 的 “ 相關(guān)矩形 ” 為正方形時 ， m 的取值范圍是 1 m 5 或 5 m 1 【對應訓練】 3 ( 導學號 1 4 9 5 2 2 3 0 )( 2 0 1 6 衡陽 ) 在平面直角坐標系中 ， A B C 三個頂 點坐標為 A ( 3 ， 0 ) ， B ( 3 ， 0 ) ， C ( 0 ， 3 ) ( 1 ) 求 A B C 內(nèi)切圓 D 的半徑； ( 2 ) 過點 E ( 0 ， 1 ) 的直線與 D 相切于點 F ( 點 F 在第一象限 ) ， 求直線 EF 的解析式； ( 3 ) 以 ( 2 ) 為條件 ， P 為直線 EF 上一點 ， 以 P 為圓心 ， 以 2 7 為半徑作 P. 若 P 上存在一點到 A B C 三個頂點的距離相等 ， 求此時圓心 P 的坐標 解： ( 1) 連接 BD ， B ( 3 ， 0 ) ， C (0 ， 3 ) ， OB 3 ， OC 3 ， ta n C B O OC OB 3 ， C B O 60 ， 點 D 是 A B C 的內(nèi)心 ， BD 平分 C B O ， DB O 30 ， ta n DB O OD OB ， OD 1 ， AB C 內(nèi)切圓 D 的半徑為 1 ( 2 ) 連接 DF ， 過點 F 作 FG y 軸于點 G ， E (0 ， 1) OE 1 ， DE 2 ， 直線 EF 與 D 相切 ， DFE 90 ， DF 1 ， s in DE F DF DE 1 2 ， DE F 30 ， GD F 60 ， 在 Rt DGF 中 ， DFG 30 ， DG 1 2 ， 則 OG OD DG 1 2 ， 由勾股定理可求得 GF 3 2 ， F ( 3 2 ， 1 2 ) ， 設(shè)直線 EF 的解析式為 y kx b ， 將 E ( 0 ， 1) ， F ( 3 2 ， 1 2 ) 代入得 b 1 ， 1 2 3 2 k b ， 直線 EF 的解析式為 y 3 x 1 ( 3 ) P 上存在一點到 A B C 三個頂點的距離相等 ， 該點必為 A B C 外接圓的圓心 ， 由 ( 1 ) 可知： A B C 是等邊三角形 ， A B C 外接圓的圓 心為點 D ， DP 2 7 ， 設(shè) P 點坐標為 ( x ， 3 x 1 ) ， D ( 0 ， 1 ) ， 則 PD 2 x 2 ( 3 x 1 1 ) 2 ( 2 7 ) 2 ， 即 x 2 3 x 6 0 ， 解得 x 1 2 3 ， x 2 3 ， P 點坐標為 ( 2 3 ， 5 ) 或 ( 3 ， 4 )