數(shù)學 專題十一 四邊形的綜合應用 四川專用 【 例 1】 (導學號 14952231)(2016達州 ) ABC中 ， BAC 90 ， AB AC， 點 D為直線 BC上一動點 (點 D不與 B， C重合 )， 以 AD為邊在 AD 右側作正方形 ADEF， 連接 CF. (1)觀察猜想 如圖 1， 當點 D在線段 BC上時 ， BC與 CF的位置關系為 _ BC ， CD， CF之間的數(shù)量關系為 _； (將結論直接寫在橫線上 ) (2)數(shù)學思考 如圖 2， 當點 D在線段 CB的延長線上時 ， 結論 ， 是否仍然成立？ 若成立 ， 請給予證明；若不成立 ， 請你寫出正確結論再給予證明 垂直 BC CF CD ( 3 ) 拓展延伸 如圖 3 ， 當點 D 在線段 BC 的延長線上 時 ， 延長 BA 交 CF 于點 G ， 連接 GE. 若已知 AB 2 2 ， CD 1 4 BC ， 請求出 GE 的長 分析： (1) 根據(jù)正方形的性質得到 BA C D A F 90 ， 推出 DAB F A C ， 根據(jù)全等三角形的性質得到 A CF A BD ， 根據(jù)余角的性質 即可得到結論 ； 由 DAB F A C ， 根據(jù)全等三角形的性質得到 CF BD ， 再由 等量代換即可得到結論 ； ( 2) 根據(jù)正方形的性質得到 B A C D A F 90 ， 推出 DAB F A C ， 根據(jù)全等三角形的性質以及等腰直角三角形的角的性質可得到 結論 ； ( 3) 根據(jù)等腰直角三角形的性質得到 BC 2 AB ， AH 1 2 BC ， 求得 DH ， 根據(jù) 正方形的性質得到 AD DE ， A D E 90 ， 根據(jù)矩形的性質得到 NE CM ， EM CN ， 由角的性質得到 A D H D E M ， 根據(jù)全等三角形的性質得到 EM DH ， DM AH ， 等量代換得到 CN EM ， EN CM ， 根據(jù)等腰直角三角形的性質得到 CG BC ， 根據(jù)勾股定理即可得到結論 解： (1 ) 正方形 A D E F 中 ， AD AF ， BA C DAF 90 ， BA D CA F ， 在 DAB 與 F A C 中 ， AD AF ， BA D CA F ， AB AC ， DAB F A C ， A BD A CF ， A CB A CF 90 ， 即 CF BD ；故 答案為垂直； DAB F A C ， CF BD ， BC BD CD ， BC CF CD ；故答案為 BC CF CD ( 2 ) CF BC 成立； BC CF CD 不成立 ， CD CF BC . 正方形 ADEF 中 ， AD AF ， BA C DAF 90 ， BA D CA F ， 在 DAB 與 F A C 中 ， AD AF ， BA D CA F ， AB AC ， DAB F A C ， A BD A CF ， BA C 90 ， AB AC ， A CB A BC 45 . A BD 180 45 1 3 5 ， BCF A CF A CB 1 3 5 45 90 ， CF BC. CD DB BC ， DB CF ， CD CF BC (3 ) 過 A 作 AH BC 于 H ， 過 E 作 EM BD 于 M ， EN CF 于 N ， BA C 90 ， AB AC ， BC 2 AB 4 ， AH CH 1 2 BC 2 ， CD 1 4 BC 1 ， DH 3 ， 易證 BC CF ， CF BD 5 ， 四邊形 ADEF 是正方形 ， AD DE ， A D E 90 ， BC CF ， EM BD ， EN CF ， 四邊形 C ME N 是矩形 ， NE CM ， EM CN ， A H D ADE E MD 90 ， ADH E D M E D M D E M 90 ， AD H D E M ， 在 ADH 與 D E M 中 ， ADH D E M ， AHD D ME ， AD DE ， ADH D E M ， EM DH 3 ， DM AH 2 ， CN EM 3 ， EN CM 3 ， A BC 45 ， BG C 45 ， BCG 是等腰直角三角形 ， CG BC 4 ， GN 1 ， GE GN 2 EN 2 10 【 對應訓練 】 1 (導學號 14952232)(2016南充 )已知正方形 ABCD的邊長為 1， 點 P 為正方形內一動點 ， 若點 M在 AB上 ， 且滿足 PBC PAM， 延長 BP交 AD于點 N， 連接 CM. (1)如圖 1， 若點 M在線段 AB上 ， 求證： AP BN； AM AN； (2) 如圖 2， 在點 P運動過程中 ， 滿足 PBC PAM的點 M在 AB的延 長線上時 ， AP BN和 AM AN是否成立 ？ (不需說明理由 )； 是否存在滿足條件的點 P ， 使得 PC 12 ？請說明理由 解： ( 1 ) 如圖 1 中 ， 四邊形 A BCD 是正方形 ， AB BC CD AD ， DAB A BC B CD D 90 ， PBC P A M ， P A M PBC ， PM PC AM BC PA PB ， P BC PBA 90 ， P A M P BA 90 ， A PB 90 ， AP BN ， A B P A BN ， A PB BA N 90 ， BA P BN A ， PA PB AN AB ， AN AB AM BC ， AB BC ， AN AM ( 2 ) AP BN 和 AM AN. 仍然成立 ， 理由：如圖 2 ， 四邊形 A BCD 是正方形 ， AB BC CD AD ， DAB A BC B CD CD A 90 ， PBC P A M ， P A M PB C ， PM PC AM BC PA PB ， PBC PBA 90 ， P A M P BA 90 ， A P B 90 ， AP BN ， A BP A BN ， A PB BA N 90 ， BA P BN A ， PA PB AN AB ， AN AB AM BC ， AB BC ， AN A M. 這樣的點 P 不存在 理由：假設 PC 1 2 ， 如圖 3 ， 以點 C 為圓心 ， 1 2 為半徑畫圓 ， 以 AB 為直徑畫圓 ， CO 2 BC 2 BO 2 5 2 1 2 1 2 ， 兩個圓外離 ， A PB 90 ， 這與 AP PB 矛盾 ， 假設不可 能成立 ， 滿足 PC 1 2 的點 P 不存在 【 例 2】 (導學號 14952233)(2016自貢 )已知矩形 ABCD中 AD 8， 將 矩形 ABCD折疊 ， 使得頂點 B落在 CD上的 P點處 (1)如圖 1， 已知折痕與邊 BC交于點 O， 連接 AP， OP， OA， 若 COP 與 PDA的面積比為 1 4， 求邊 CD的長； 解：由翻折的性質得 A PO A BO 90 ， OP OB ， AB AP ， A PD O PC 90 ， 而 A PD P A D 90 ， O PC P A D . 而 C D 90 ， ADP PCO . CO P 與 PD A 的面積比為 1 4 ， PC AD 1 2 ， 又 AD 8 ， PC 4. 在 Rt ADP 中 ， 設 AP x ， 則 PD x 4 ， 由勾股定理有 x 2 8 2 ( x 4 ) 2 ， 解得 x 10 ， 又 矩形 A BCD ， AB CD 10 解：線段 EF 長度不變 ， 解答如下： 作 MG AN 交 PB 于點 G. AB AP ， MG MP ， 而 NB MP ， MG NB ， MF G N FB ， FG FB ， 即 FG 1 2 BG .在 PM G 中 ， PM GM ， ME PG ， GE 1 2 PG ， EF GE FG 1 2 PG 1 2 BG 1 2 PB ， 又 PB PC 2 BC 2 4 2 8 2 4 5 ， EF 1 2 PB 2 5 (2)如圖 2， 在 (1)的條件下擦去 AO， OP， 連接 BP， 動點 M在線段 AP上 ( 點 M不與點 P， A重合 )， 動點 N在線段 AB的延長線上 ， 且 BN PM， 連 接 MN交 PB于點 F， 作 ME BP于點 E.試問當點 M， N在移動過程中 ， 線 段 EF的長度是否發(fā)生變化？若變化 ， 說明變化規(guī)律；若不變 ， 求出線 段 EF的長度 【 例 3】 (導學號 14952234)(2016樂山 )如圖 ， 在直角坐標系 xOy中 ， 矩形 OABC的頂點 A， C分別在 x軸和 y軸正半軸上 ， 點 B的坐標是 (5， 2)， 點 P是 CB邊上一動點 (不與點 C， 點 B重合 )， 連接 OP， AP， 過點 O作射線 OE交 AP的延長線于點 E， 交 CB邊于點 M， 且 AOP COM， 令 CP x ， MP y. (1)當 x為何值時 ， OP AP? (2)求 y與 x的函數(shù)關系式 ， 并寫出 x的取值范圍； (3)在點 P的運動過程中 ， 是否存在 x， 使 OCM的面積與 ABP的面積 之和等于 EMP的面積 ？ 若存在 ， 請求 x的值；若不存在 ， 請說明理由 分析： (1)根據(jù)相似三角形的判定定理證明 OPC PAB， 根據(jù)相似 三角形的性質列出比例式 ， 得到一元二次方程 ， 解方程即可 ； (2)證明 OCM PCO， 根據(jù)相似三角形的性質列出比例式即可求解 ； (3)過 E 作 ED OA于點 D， 交 MP于點 F， 根據(jù)題意得到 EOA的面積 矩形 OABC的面積 ， 求出 ED的長 ， 根據(jù)相似三角形的性質求出 MP， 由 (2)的 解析式計算即可 解： (1 ) 由題意知 ， OA BC 5 ， AB OC 2 ， B O CM 90 ， BC OA ， OP AP ， O PC A PB A PB P A B 90 ， O P C P A B ， O P C P A B ， CP BA OC PB ， 即 x 2 2 5 x ， 解得 x 1 4 ， x 2 1( 不合題意 ， 舍去 ) 當 x 4 時 ， OP AP ( 2 ) BC OA ， C P O A OP ， AOP C OM ， C OM C P O ， OC M P C O ， OC M P C O ， CM CO CO CP ， 即 x y 2 2 x ， y x 4 x ， x 的取值范圍是 2 x 5 ( 3 ) 假設存在 x 符合題意 ， 過 E 作 ED OA 于點 D ， 交 MP 于點 F ， 則 DF AB 2 ， OC M 與 A B P 面積 之和等于 E M P 的面積 ， S E O A S 矩形 O A B C 2 5 1 2 5 E D ， ED 4 ， EF 2 ， PM OA ， E M P E OA ， EF ED MP OA ， 即 2 4 y 5 ， 解得 y 5 2 ， 由 ( 2 ) y x 4 x 得 ， x 4 x 5 2 ， 解得 x 1 5 89 4 ， x 2 5 89 4 ( 不合題意舍去 ) ， 在點 P 的運動過程中 ， 存在 x 5 89 4 ， 使 OC M 與 A B P 面積之和等 于 E M P 的面積