課時 39 解答題（三）題型 中考題型攻略 題型解讀 解答題（三）是廣東中考數(shù)學(xué)試卷中的最后一種題型，也 是難度最大的一種題型，通常是由三道包含多個知識點(diǎn)的幾何 與代數(shù)綜合題組成 . 解此類問題要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識 和熟練的解題技能 . 通過對廣東中考命題規(guī)律的分析，我們發(fā) 現(xiàn)解答題（三）的常見題型有一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題、 二次函數(shù)綜合題、圓的綜合題、三角形綜合題、四邊形綜合題 等類型 . 在復(fù)習(xí)備考時，需要同學(xué)們針對各種類型的綜合題進(jìn) 行強(qiáng)化訓(xùn)練，不斷提高自己分析與解決問題的能力，積累做題 經(jīng)驗(yàn)，爭取在本大題上取得最為理想的成績 . 分類突破 考點(diǎn)類型 1 一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題 鞏固訓(xùn)練 1. （ 2016茂名）如圖 4-39-1，一次函數(shù) y=x+b的圖象與反比例 函數(shù) （ k為常數(shù)， k0 ）的圖 象交于點(diǎn) A（ -1， 4）和點(diǎn) B（ a， 1） . （ 1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和 a， b的值； （ 2）若 A， O兩點(diǎn)關(guān)于直線 l對稱，請連 接 AO，并求出直線 l與線段 AO的交點(diǎn)坐標(biāo) . 解：（ 1） 點(diǎn) A（ -1， 4）在反比例函數(shù) （ k為常數(shù)， k0 ）的圖象上， k=-1 4=-4. 反比例函數(shù)解析式為 把點(diǎn) A（ -1， 4）， B（ a， 1）分別代入 y=x+b中，得 （ 2）連接 AO，設(shè)線段 AO與直線 l相交于點(diǎn) M，如答圖 4-39-1所 示 . A， O兩點(diǎn)關(guān)于直線 l對稱， 點(diǎn) M為線段 OA的中點(diǎn) . 點(diǎn) A（ -1， 4）， O（ 0， 0）， 點(diǎn) M的坐標(biāo)為 直線 l與線段 AO的交點(diǎn)坐標(biāo)為 2. （ 2016重慶）如圖 4-39-2，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函 數(shù) y=ax+b（ a0 ）的圖形與反比例函數(shù) （ k0 ）的圖 象交于第二、四象限內(nèi)的 A， B兩點(diǎn)，與 y軸交于 C點(diǎn)，過點(diǎn) A作 AH y軸，垂足為 H， OH=3， tan AOH= ，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ m， -2） . （ 1）求 AHO的周長； （ 2）求該反比例函數(shù)和一次 函數(shù)的解析式 . 解：（ 1）由 OH=3， tan AOH= ，得 AH=4，即 A（ -4， 3） . 由勾股定理，得 AHO的周長 =AO+AH+OH=3+4+5=12. （ 2）將 A點(diǎn)坐標(biāo)代入 ，得 k=-4 3=-12. 反比例函數(shù)的解析式為 當(dāng) y=-2時， ，解得 x=6，即 B（ 6， -2） . 將 A， B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入 y=ax+b，得 3. （ 2016泰安）如圖 4-39-3，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 OABC的頂點(diǎn) O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn) C的坐標(biāo)為（ 0， 3），點(diǎn) A在 x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn) D， M分別在邊 AB， OA上，且 AD=2DB， AM=2MO，一次函數(shù) y=kx+b的圖象過點(diǎn) D和 M，反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn) D，與 BC的交點(diǎn)為 N. （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式； （ 2）若點(diǎn) P在直線 DM上，且使 OPM的面積 與四邊形 OMNC的面積相等，求點(diǎn) P的坐標(biāo) . 解：（ 1） 正方形 OABC的頂點(diǎn) C（ 0， 3）， OA=AB=BC=OC=3， OAB= B= BCO=90 . AD=2DB， AD= AB=2. D（ -3， 2） . 把 D坐標(biāo)代入 ,得 m=-6. 反比例函數(shù)的解析式為 . AM=2MO， MO= OA=1，即 M（ -1， 0） . 把 M與 D的坐標(biāo)代入 y=kx+b中，得 解得 k=b=-1. 則一次函數(shù)的解析式為 y=-x-1. （ 2）把 y=3代入 ，得 x=-2. N（ -2， 3），即 NC=2. 設(shè) P（ x， y）， OPM的面積與四邊形 OMNC的面積相等， 解得 y= 9. 當(dāng) y=9時， x=-10，當(dāng) y=-9時， x=8. 則點(diǎn) P坐標(biāo)為（ -10， 9）或（ 8， -9） . 4. （ 2016樂山）如圖 4-39-4，反比例函數(shù) 與一次函數(shù) y=ax+b的圖象交于點(diǎn) A（ 2， 2）， （ 1）求這兩個函數(shù)的解析式； （ 2）將一次函數(shù) y=ax+b的圖象沿 y軸向下平移 m個單位，使平 移后的圖象與反比例函數(shù) y=kx的圖象有且 只有一個交點(diǎn)，求 m的值 . 解：（ 1） A（ 2， 2）在反比例函數(shù) 的圖象上， k=4. 反比例函數(shù)的解析式為 . 又 點(diǎn) 在反比例函數(shù) 的圖象上， n=4，解得 n=8.即點(diǎn) B的坐標(biāo)為 B . 由 A（ 2， 2）， B 在一次函數(shù) y=ax+b的圖象上，得 一次函數(shù)的解析式為 y=-4x+10. （ 2）將直線 y=-4x+10向下平移 m個單位得直線的解析式為 y=-4x+10-m， 直線 y=-4x+10-m與雙曲線 有且只有一個交點(diǎn)， 令 -4x+10-m= ，得 4x2+（ m-10） x+4=0. =（ m-10） 2-64=0. 解得 m=2或 m=18. 考點(diǎn)類型 2 二次函數(shù)綜合題 鞏固訓(xùn)練 1. （ 2016廣州）已知拋物線 y=mx2+（ 1-2m） x+1-3m與 x軸相交 于不同的兩點(diǎn) A， B （ 1）求 m的取值范圍； （ 2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn) P，并求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）當(dāng) m8 時，由（ 2）求出的點(diǎn) P和點(diǎn) A， B構(gòu)成的 ABP的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應(yīng)的 m值 . （ 1）解：當(dāng) m=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意，舍去； 當(dāng) m0 時， 拋物線 y=mx2+（ 1-2m） x+1-3m與 x軸相交于不同的兩點(diǎn) A， B， =（ 1-2m） 2-4 m （ 1-3m） =（ 1-4m） 2 0. 1 -4m0. m . （ 2）證明： 拋物線 y=mx2+（ 1-2m） x+1-3m， y=m（ x2-2x-3） +x+1. 拋物線過定點(diǎn)說明這一點(diǎn)的 y與 m無關(guān)， 顯然當(dāng) x2-2x-3=0時， y與 m無關(guān) . 解得 x=3或 x=-1.當(dāng) x=3時， y=4，定點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3， 4）； 當(dāng) x=-1時， y=0，定點(diǎn)坐標(biāo)為（ -1， 0） . 點(diǎn) P不在坐標(biāo)軸上， P（ 3， 4） . 2. （ 2016梅州）如圖 4-39-5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋 物線 y=x2+bx+c過 A， B， C三點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)是（ 3， 0），點(diǎn) C的 坐標(biāo)是（ 0， -3），動點(diǎn) P在拋物線上 . （ 1） b=_， c=_，點(diǎn) B的坐標(biāo)為 _； （直接填寫結(jié)果） （ 2）是否存在點(diǎn) P，使得 ACP是以 AC為直角邊的直角三角形？ 若存在，求出所有符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，說明理 由 . -2 -3 （ -1， 0） 解：存在 . 如答圖 4-39-2所示 . 當(dāng) ACP1=90 時， A（ 3,0） , 設(shè) AC的解析式為 y=kx-3, 將點(diǎn) A的坐標(biāo)代入 ,得 3k-3=0.解得 k=1. 直線 AC的解析式為 y=x-3. 直線 CP1的解析式為 y=-x-3. 將 y=-x-3與 y=x2-2x-3聯(lián)立 , 解得 x1=1， x2=0（不合題意，舍去） . 點(diǎn) P1的坐標(biāo)為（ 1， -4） . 當(dāng) P2AC=90 時， 設(shè) AP2的解析式為 y=-x+b， 將點(diǎn) A的坐標(biāo)代入，得 -3+b=0.解得 b=3. 直線 AP2的解析式為 y=-x+3. 將 y=-x+3與 y=x2-2x-3聯(lián)立 , 解得 x1=-2， x2=3（不合題意，舍去） . 點(diǎn) P2的坐標(biāo)為（ -2， 5） . 綜上所述，點(diǎn) P的坐標(biāo)是（ 1， -4）或（ -2， 5） . 3. （ 2016茂名）如圖 4-39-6，拋物線 y=-x2+bx+c經(jīng)過 A（ -1， 0）， B（ 3， 0）兩點(diǎn)，且與 y軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) D是拋物線的頂點(diǎn)， 拋物線的對稱軸 DE交 x軸于點(diǎn) E，連接 BD. （ 1）求經(jīng)過 A， B， C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）點(diǎn) P是線段 BD上一點(diǎn)，當(dāng) PE=PC時，求點(diǎn) P的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）的條件下，過點(diǎn) P作 PF x軸于 點(diǎn) F， G為拋物線上一動點(diǎn)， M為 x軸上一動點(diǎn)， N為直線 PF上一動點(diǎn)，當(dāng)以 F， M， N， G為頂點(diǎn) 的四邊形是正方形時，請求出點(diǎn) M的坐標(biāo) . 解：（ 1） 拋物線 y=-x2+bx+c經(jīng)過 A（ -1， 0）， B（ 3， 0）兩 點(diǎn)， 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=-x2+2x+3. （ 2）如答圖 4-39-3，連接 PC， PE， 對稱軸 ， 當(dāng) x=1時， y=4. 點(diǎn) D的坐標(biāo)為（ 1， 4） . 設(shè)直線 BD的解析式為 y=mx+n， 直線 BD的解析式為 y=-2x+6. 設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ x， -2x+6）， 則 PC2=x2+（ 3+2x-6） 2， PE2=（ x-1） 2+（ -2x+6） 2. PC=PE， x2+（ 3+2x-6） 2=（ x-1） 2+（ -2x+6） 2. 解得 x=2. 則 y=-2 2+6=2. 點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 2， 2） . （ 3）如答圖 4-39-4，設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為（ a， 0）， 則點(diǎn) G的坐標(biāo)為（ a， -a2+2a+3） . 以 F， M， N， G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形， FM=MG，即 |2-a|=|-a2+2a+3|. 當(dāng) 2-a=-a2+2a+3時，即 a2-3a-1=0. 當(dāng) 2-a=-（ -a2+2a+3）時，即 a2-a-5=0. 4. （ 2016濱州）如圖 4-39-7，已知拋物線 與 x軸交于 A， B兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn) C. （ 1）求點(diǎn) A， B， C的坐標(biāo)； （ 2）點(diǎn) E是此拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn) F是其對稱軸上的點(diǎn)，求以 A， B， E， F為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積； （ 3）此拋物線的對稱軸上是否存 在點(diǎn) M，使得 ACM是等腰三角形？ 若存在，請求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不 存在，請說明理由 . 解：（ 1）令 y=0,得 x2+2x-8=0. 解得 x=-4或 x=2. 點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 2， 0） .點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ -4， 0） . 令 x=0，得 y=2， 點(diǎn) C的坐標(biāo)為（ 0， 2） . （ 2）當(dāng) AB為平行四邊形的邊時， AB=EF=6，對稱軸 x=-1， 點(diǎn) E的橫坐標(biāo)為 -7或 5. 當(dāng)點(diǎn) E在拋物線頂點(diǎn)時，點(diǎn) ，設(shè)對稱軸與 x軸交 點(diǎn)為 P，令 EP與 FP相等，則四邊形 AEBF是菱形，此時以 A， B， E， F為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積 = （ 3）如答圖 4-39-5所示，當(dāng) C為頂點(diǎn)時， CM1=CA， CM2=CA， 作 M1N OC于點(diǎn) N， 在 Rt CM1N中， 點(diǎn) M1的坐標(biāo)為（ -1， 2+ ）， 點(diǎn) M2的坐標(biāo)為（ -1， 2- ） . 當(dāng) M3為頂點(diǎn)時， 直線 AC的解析式為 y=-x+2， 線段 AC的垂直平分線為 y=x， 點(diǎn) M3的坐標(biāo)為（ -1， -1） . 當(dāng)點(diǎn) A為頂點(diǎn)的等腰三角形不存在 . 綜上所述點(diǎn) M的坐標(biāo)為（ -1， -1）或（ -1， 2+ ）或（ -1， 2- ） . 考點(diǎn)類型 3 圓的綜合題 鞏固訓(xùn)練 1. （ 2016廣州）如圖 4-39-8，點(diǎn) C為 ABD的外接圓上的一 動點(diǎn)（點(diǎn) C不在 上，且不與點(diǎn) B， D重合）， ACB= ABD =45 . （ 1）求證： BD是該外接圓的直徑； （ 2）連接 CD，求證： AC=BC+CD； （ 3）若 ABC關(guān)于直線 AB的對稱圖形為 ABM，連接 DM，試探究 DM2， AM2， BM2 三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 . （ 1）解： ， ACB= ADB=45 . ABD=45 ， BAD=90 . BD是 ABD外接圓的直徑 . （ 2）證明：在 CD的延長線上截取 DE=BC， 連接 EA，如答圖 4-39-6. ABD= ADB， AB=AD. ADE+ ADC=180 ， ABC+ ADC=180 ， ABC= ADE. 在 ABC與 ADE中， ABC ADE（ SAS） . BAC= DAE. BAC+ CAD= DAE+ CAD. BAD= CAE=90 . ， ACD= ABD=45 . CAE是等腰直角三角形 . （ 3）解： BM2+2AM2=DM2.證明：如答圖 4-39-7，過點(diǎn) M作 MF MB于點(diǎn) M，過點(diǎn) A作 AF MA于點(diǎn) A， MF與 AF交于點(diǎn) F，連接 BF. 由對稱性可知 AMB= ACB=45 ， FMA=45 . AMF是等腰直角三角形 . AM=AF， MF= AM. MAF+ MAB= BAD+ MAB， FAB= MAD. 在 ABF與 ADM中， ABF ADM（ SAS） . BF=DM. 在 Rt BMF中， BM2+MF2=BF2， BM2+2AM2=DM2. 2. （ 2016深圳）如圖 4-39-9，已知 O的半徑為 2， AB為直徑， CD為弦 . AB與 CD交于點(diǎn) M，將 沿 CD翻折后，點(diǎn) A與圓心 O重 合，延長 OA至點(diǎn) P，使 AP=OA，連接 PC. （ 1）求 CD的長； （ 2）求證： PC是 O的切線； （ 3）點(diǎn) G為 的中點(diǎn)，在 PC的延 長線上有一動點(diǎn) Q，連接 QG交 AB于點(diǎn) E. 交 于點(diǎn) F（ F與 B， C不重合） . 問 GE GF是否為定值，如果是，求出 該定值；如果不是，請說明理由 . 4-39-8 4-39-9 3. （ 2016長沙）如圖 4-39-10，四邊形 ABCD內(nèi)接于 O，對角 線 AC為 O的直徑，過點(diǎn) C作 AC的垂線交 AD的延長線于點(diǎn) E，點(diǎn) F 為 CE的中點(diǎn)，連接 DB， DC， DF. （ 1）求 CDE的度數(shù)； （ 2）求證： DF是 O的切線； （ 3）若 AC= DE，求 tan ABD的值 . （ 1）解： 對角線 AC為 O的直徑， ADC=90 ， CDE=90 . （ 2）證明：如答圖 4-39-10，連接 DO. EDC=90 ，點(diǎn) F為 EC的中點(diǎn)， DF=FC. FDC= FCD. OD=OC， ODC= OCD. OCF=90 ， ODF= ODC+ FDC= OCD+ FCD=90 . DF是 O的切線 . （ 3）解： E+ DCE=90 ， DCA+ DCE=90 ， E = DCA. 又 CDE= ADC=90 ， CDE ADC. DC2=AD DE. AC= DE， 設(shè) DE=x，則 AC= x， 則 AC2-AD2=AD DE，即（ x） 2-AD2=AD x. 整理，得 AD2+AD x-20 x2=0. 解得 AD=4x或 AD=-5x（負(fù)數(shù)不合題意，舍去） . 4. （ 2016黔南州）如圖 4-39-11， AB是 O的直徑，點(diǎn) D 一 點(diǎn)，且 BDE= CBE， BD與 AE交于點(diǎn) F. （ 1）求證： BC是 O的切線； （ 2）若 BD平分 ABE，求證： DE2=DF DB； （ 3）在（ 2）的條件下，延長 ED， BA交于 點(diǎn) P，若 PA=AO， DE=2，求 PD的長 . （ 1）證明： AB是 O的直徑， AEB=90 . EAB+ ABE=90 . EAB= BDE， BDE= CBE. CBE+ ABE= EAB+ ABE=90 ， 即 ABC=90 . AB BC. BC是 O的切線 . （ 2）證明： BD平分 ABE， EBD= DBA. 而 DBA= AED， AED= EBD. FDE= EDB， DFE DEB. DE2=DF DB. （ 3）如答圖 4-39-11，連接 DO. OB=OD， DBA= ODB. 而 EBD= DBA， ODB= EBD. OD BE. POD PBE. PA=AO， PA=AO=BO. 解得 PD=4. 考點(diǎn)類型 4 三角形綜合題 鞏固訓(xùn)練 1. （ 2016梅州）如圖 4-39-12，在 Rt ABC中， ACB=90 ， AC=5 cm， BAC=60 ，動點(diǎn) M從點(diǎn) B出發(fā)，在 BA邊上以每秒 2 cm的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn) N從點(diǎn) C出發(fā)，在 CB邊上 以每秒 cm的速度向點(diǎn) B勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時 間為 t s（ 0 t5 ），連接 MN. （ 1）若 BM=BN，求 t的值； （ 2）若 MBN與 ABC相似，求 t的值； （ 3）當(dāng) t為何值時，四邊形 ACNM的面積最小？ 并求出最小值 . 4-39-12 2. （ 2016成都）如圖 4-39-13 ， ABC中， ABC=45 ， AH BC于點(diǎn) H，點(diǎn) D在 AH上，且 DH=CH，連接 BD. （ 1）求證： BD=AC； （ 2）將 BHD繞點(diǎn) H旋轉(zhuǎn)，得到 EHF（點(diǎn) B， D分別與點(diǎn) E， F 對應(yīng)），連接 AE. 如圖 4-39-13 ，當(dāng)點(diǎn) F落在 AC上時，（ F不 與 C重合），若 BC=4， tanC=3，求 AE的長 . 解：（ 1）在 Rt AHB中， ABC=45 ， AH=BH. 在 BHD和 AHC中， BHD AHC. BD=AC. （ 2）在 Rt AHC中， 設(shè) CH=x，則 BH=AH=3x. BC=4， 3x+x=4. x=1. AH=3， CH=1. 由旋轉(zhuǎn)可得 EHF= BHD= AHC=90 ， EH=AH=3， CH=DH=FH， EHA FHC. EAH= C. tan EAH=tanC=3. 如答圖 4-39-13，過點(diǎn) H作 HP AE于點(diǎn) P. HP=3AP， AE=2AP. 在 Rt AHP中， AP2+HP2=AH2， AP2+（ 3AP） 2=9. 3. （ 2016威海）如圖 4-39-14，在 ABC和 BCD中， BAC= BCD=90 ， AB=AC， CB=CD. 延長 CA至點(diǎn) E，使 AE=AC；延長 CB至點(diǎn) F，使 BF=BC. 連接 AD， AF， DF， EF，延長 DB交 EF于點(diǎn) N. （ 1）求證： AD=AF； （ 2）求證： BD=EF； （ 3）試判斷四邊形 ABNE的形狀，并說明理由 . （ 1）證明： AB=AC， BAC=90 ， ABC= ACB=45 . ABF=135 . BCD=90 ， ABF= ACD. CB=CD， CB=BF， BF=CD. 在 ABF和 ACD中， ABF ACD（ SAS） . AD=AF. （ 2）證明：由（ 1）知， ABF ACD， FAB= DAC. BAC=90 ， EAB= BAC=90 . EAF= BAD. 在 AEF和 ABD中， AEF ABD（ SAS） . BD=EF. （ 3）解：四邊形 ABNE是正方形 .理由如下： CD=CB， BCD=90 ， CBD=45 .又 ABC=45 , ABD=90 . 由（ 2）知， EAB=90 ， AEF ABD， AEF= ABD=90 . 四邊形 ABNE是矩形 . 又 AE=AB， 四邊形 ABNE是正方形 . 4. （ 2016撫順）如圖 4-39-15，在 ABC中， BC AC，點(diǎn) E在 BC 上， CE=CA，點(diǎn) D在 AB上，連接 DE， ACB+ ADE=180 ，作 CH AB，垂足為點(diǎn) H. （ 1）如圖 2-5-15 ，當(dāng) ACB=90 時，連接 CD，過點(diǎn) C作 CF CD交 BA的延長線于點(diǎn) F. 求證： FA=DE； 請猜想三條線段 DE， AD， CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明； （ 2）如圖 2-5-15 ，當(dāng) ACB=120 時，三條線段 DE， AD， CH 之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論 . （ 1）證明： CF CD， FCD=90 . 又 ACB=90 ， FCA+ ACD= ACD+ DCE. FCA= DCE. ACB+ ADE=180 ， ADE= BDE=90 . FAC=90 + B， CED=90 + B， FAC= CED. 又 AC=CE， AFC EDC（ ASA） . FA=DE. 解： DE+AD=2CH. 證明： AFC EDC， CF=CD. CH AB， FH=HD. 在 Rt FCD中， CH是斜邊 FD的中線， FD=2CH. AF+AD=2CH. DE+AD=2CH. （ 2）解： AD+DE= CH. 證明：如答圖 4-39-14，作 FCD= ACB，交 BA延長線于點(diǎn) F. FCA+ ACD= ACD+ DCB， FCA= DCB. ACB+ ADE=180 ， ADE=60 . EDB=120 . FAC=120 + B， CED=120 + B， FAC= CED. 又 AC=CE， FAC DEC（ ASA） . AF=DE， FC=CD. CH FD， FH=HD， FCH= HCD=60 . 在 Rt CHD中， tan60 = AD+DE=AD+AF=FD=2DH= CH， 即 AD+DE= CH. 考點(diǎn)類型 5 四邊形綜合題 鞏固訓(xùn)練 1. （ 2016營口）已知：如圖 4-39-16 ，將 D=60 的菱形 ABCD沿對角線 AC剪開，將 ADC沿射線 DC方向平移，得到 BCE，點(diǎn) M為邊 BC上一點(diǎn)（點(diǎn) M不與點(diǎn) B，點(diǎn) C重合），將射線 AM繞點(diǎn) A逆時針旋轉(zhuǎn) 60 ，與 EB的延長線交于點(diǎn) N，連接 MN. （ 1）求證： ANB= AMC；探究 AMN的形狀； （ 2）如圖 4-39-16 ，若菱形 ABCD變?yōu)檎叫?ABCD，將射線 AM繞點(diǎn) A逆時針旋轉(zhuǎn) 45 ，原題其他條件不變，（ 1）中的 兩個結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出結(jié)論并說明理由； 若不成立，請寫出變化后的結(jié)論并證明 . 證明：（ 1） 四邊形 ABCD是菱形， AB=BC=CD=AD. D=60 ， ADC和 ABC都是等邊三角形 . AB=AC， BAC=60 . NAM=60 ， NAB= CAM. 由 ADC沿射線 DC方向平移得到 BCE，可知 CBE=60 . ABC=60 ， ABN=60 . ABN= ACB=60 . ANB AMC（ ASA） . ANB= AMC. AMN是等邊三角形 . 理由如下： 由（ 1）知 ANB AMC， AM=AN. NAM=60 ， AMN是等邊三角形 . （ 2）結(jié)論 ANB= AMC成立 . 理由如下： 在正方形 ABCD中， BAC= DAC= BCA=45 ， NAM=45 ， NAB= MAC. 由平移，得 EBC= CAD=45 . ABC=90 ， ABN=180 -90 -45 =45 . ABN= ACM=45 . ANB AMC. ANB= AMC. 結(jié)論 AMN是等邊三角形不成立， AMN是等腰直角三角形 . 證明： ANB AMC， NAM= BAC=45 ， NAM BAC. ANM= ABC=90 . 又 AN=AM， AMN是等腰直角三角形 . 2. （ 2016常德）如圖 4-39-17，已知四邊形 ABCD中， AB=AD， AB AD，連接 AC，過點(diǎn) A作 AE AC，且使 AE=AC，連接 BE，過 點(diǎn) A作 AH CD于點(diǎn) H交 BE于點(diǎn) F. （ 1）如圖 2-5-17 ，當(dāng) E在 CD的延長線上時，求證： ABC ADE； BF=EF； （ 2）如圖 2-5-17 ，當(dāng) E不在 CD的延長線上時， BF=EF還成立 嗎？請證明你的結(jié)論 . （ 1）證明： AB AD， AE AC， BAD=90 ， CAE=90 . BAC= DAE. 在 ABC和 ADE中， ABC ADE（ SAS） . ABC ADE， ACB= AED. 在 Rt ACE中， ACE+ AEC=90 ， BCE=90 . AH CD， AE=AC， CH=HE. AHE= BCE=90 ， BC FH. （ 2）解：結(jié)論仍然成立 . 證明：如答圖 4-39-15所示，過 E作 MN AH，分別交 BA， CD延 長線于點(diǎn) M， N. CAE=90 ， BAD=90 ， 1+2=90 ， 1+ CAD=90 . 2= CAD. MN AH， 3= HAE. ACH+ CAH=90 ， CAH+ HAE=90 ， ACH= HAE. 3= ACH. 在 MAE和 DAC中， MAE DAC（ ASA） . AM=AD. AB=AD， AB=AM. AF ME， BF=EF. 3. （ 2016甘孜州）如圖 4-39-18 ， AD為等腰直角 ABC的高， 點(diǎn) A和點(diǎn) C分別在正方形 DEFG的邊 DG和 DE上，連接 BG， AE. （ 1）求證： BG=AE； （ 2）如圖 4-39-18 ，將正方形 DEFG繞點(diǎn) D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段 EG經(jīng) 過點(diǎn) A時， 求證： BG GE； 設(shè) DG與 AB交于點(diǎn) M，若 AG AE=34 ，求 的值 . （ 1）證明： AD為等腰直角 ABC的高， AD=BD. 四邊形 DEFG為正方形， GDE=90 ， DG=DE. 在 BDG和 ADE中， BDG ADE（ SAS） . BG=AE. （ 2）證明：如答圖 4-39-16，連接 AD. 四邊形 DEFG為正方形， DEG為等腰直角三角形 . DGE= DEG=45 . 由（ 1），得 BDG ADE， BGD= DEG=45 . DGE+ BGD=45 +45 =90 ，即 BGE=90 . BG GE. 4. （ 2016黔南州）如圖 4-39-19，四邊形 OABC是邊長為 4的正 方形，點(diǎn) P為 OA邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn) O， A不重合），連接 CP， 過點(diǎn) P作 PM CP交 AB于點(diǎn) D，且 PM=CP，過點(diǎn) M作 MN AO，交 BO于 點(diǎn) N，連接 ND， BM，設(shè) OP=t. （ 1）求點(diǎn) M的坐標(biāo)（用含 t的代數(shù)式表示）； （ 2）試判斷線段 MN的長度是否隨點(diǎn) P的位 置的變化而改變，并說明理由； （ 3）當(dāng) t為何值時，四邊形 BNDM的面積 最小； （ 4）在 x軸正半軸上存在點(diǎn) Q，使得 QMN是等腰三角形，請直 接寫出不少于 4個符合條件的點(diǎn) Q的坐標(biāo)（用含 t的式子表示） . 解：（ 1）如答圖 4-39-17所示，作 ME OA于點(diǎn) E. MEP= POC=90 . PM CP， CPM=90 . OPC+ MPE=90 . 又 OPC+ PCO=90 ， MPE= PCO. PM=CP， MPE PCO（ AAS） . PE=CO=4 ， ME=PO=t. OE=4+t. 點(diǎn) M的坐標(biāo)為（ 4+t， t）（ 0<t<4） . （ 2）線段 MN長度不變 . 理由如下： OA=AB=4， 點(diǎn) B（ 4， 4） . 直線 OB的解析式為 y=x. 點(diǎn) N在直線 OB上， 點(diǎn) N（ t， t） . MN OA， M（ 4+t， t）， MN=|（ 4+t） -t|=4，即 MN的長度不變 . （ 3）由（ 1）知， MPE= PCO， 又 DAP= POC=90 ， DAP POC. OP=t， OC=4， AP=4-t. MN OA， AB OA， MN BD. 當(dāng) t=2時，四邊形 BNDM的面積最小，最小值為 6. （ 4）在 x軸正半軸上存在點(diǎn) Q，使得 QMN是等腰三角形，此 時點(diǎn) Q的坐標(biāo)為： 考點(diǎn)類型 6 圖形運(yùn)動與變換型綜合題 鞏固訓(xùn)練 1. （ 2016廣東）如圖 4-39-20， BD是正方形 ABCD的對角線， BC=2，邊 BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記 為 PQ，連接 PA， QD，并過點(diǎn) Q作 QO BD，垂足為點(diǎn) O，連接 OA， OP. （ 1）請直接寫出線段 BC在平移過程中，四邊形 APQD是什么四 邊形 ; （ 2）請判斷 OA， OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明； （ 3）在平移變換過程中，設(shè) y=S OPB， BP=x（ 0 x2 ），求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 y的最大值 . 解：（ 1）四邊形 APQD為平行四邊形 . （ 2） OA=OP， OA OP.理由如下： 四邊形 ABCD是正方形， AB=BC=PQ， ABO= OBQ=45 . OQ BD， PQO=45 . ABO= OBQ= PQO=45 . OB=OQ. 在 AOB和 OPQ中， AB=PQ, AOB OPQ（ SAS） . OA=OP， AOB= OPQ. AOP= BOQ=90 . OA OP. （ 3）過點(diǎn) O作 OE BC于點(diǎn) E. 如答圖 4-39-18，當(dāng)點(diǎn) P在點(diǎn) B右側(cè)時， 又 0 x2 ， 當(dāng) x=2時， y有最大值為 2； 如答圖 4-39-19，當(dāng)點(diǎn) P在點(diǎn) B左側(cè)時， 2. （ 2015廣東）如圖 4-39-21，在同一平面上，兩塊斜邊相 等的直角三角板 Rt ABC和 Rt ADC拼在一起，使斜邊 AC完全 重合，且頂點(diǎn) B， D分別在 AC的兩旁， ABC= ADC=90 ， CAD=30 ， AB=BC=4 cm. （ 1）填空： AD=_（ cm）， DC=_（ cm） ; （ 2）點(diǎn) M， N分別從 A點(diǎn)， C點(diǎn)同時以每秒 1 cm的速度等速出發(fā)， 且分別在 AD， CB上沿 A D， C B方向運(yùn)動，求當(dāng) M， N點(diǎn)運(yùn)動 了 x秒時，點(diǎn) N到 AD的距離（用含 x的式子表示）； （ 3）在（ 2）的條件下，取 DC的中點(diǎn) P，連接 MP， NP，設(shè) PMN的面積為 y（ cm2），在整個運(yùn)動過程中， PMN的面積 y 存在最大值，請求出 y的最大值 . 解：（ 2）過 點(diǎn) N作 NE AD于點(diǎn) E，作 NF DC，交 DC的延長線于 點(diǎn) F，如答圖 4-39-20所示， 則 NE=DF， ABC= ADC=90 ， AB=BC， CAD=30 ， ACB=45 ， ACD=60 . NCF=180 -45 -60 =75 ， FNC=15 . 3. 已知：如圖 4-39-22 ，在 Rt ABC中， AB AC， AB=3 cm， BC=5 cm，將 ABC繞 AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 得到 CDA.如圖 4-39- 22 . 再將 CDA沿 AC的方向以 1 cm/s的速度平移得到 NDP； 同時，點(diǎn) Q從點(diǎn) C出發(fā)，沿 CB方向以 1 cm/s的速度運(yùn)動，當(dāng) NDP停止平移時，點(diǎn) Q也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為 t（ s） （ 0 t 4） . 解答下列問題： （ 1）當(dāng) t為何值時， PQ AB？ （ 2）設(shè) PQC的面積為 y（ cm2），求 y與 t之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）是否存在某一時刻 t，使 S QDC S四邊形 ABQP=14 ？若存在， 求出 t的值；若不存在，請說明理由； （ 4）是否存在某一時刻 t，使 PQ DQ？若存在，請直接寫出 t 的值；若不存在，請說明理由 . 4-39-21 4. （ 2015濰坊）如圖 4-39-23 ，點(diǎn) O是正方形 ABCD兩對角線 的交點(diǎn)，分別延長 OD到點(diǎn) G， OC到點(diǎn) E，使 OG=2OD， OE=2OC， 然后以 OG,OE為鄰邊作正方形 OEFG，連接 AG， DE. （ 1）求證： DE AG； （ 2）正方形 ABCD固定，將正方形 OEFG繞點(diǎn) O逆時針旋轉(zhuǎn) 角 （ 0 360 ）得到正方形 OE F G ，如圖 2-5-23 . 在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) OAG 是直角時，求 的度數(shù)； 若正方形 ABCD的邊長為 1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求 AF 長的最大 值和此時 的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由 . 解：（ 1）如答圖 4-39-22，延長 ED交 AG于點(diǎn) H. 點(diǎn) O是正方形 ABCD兩對角線的交點(diǎn)， OA=OD， OA OD. 在 AOG和 DOE中， AOG DOE（ SAS） . AGO= DEO. AGO+ GAO=90 ， GAO+ DEO=90 . AHE=90 ，即 DE AG. （ 2）在旋轉(zhuǎn)過程中， OAG 成為直角有兩種情況： . 由 0 增大到 90 過程中，當(dāng) OAG=90 時， AG O=30 . OA OD， OA AG ， OD AG. DOG= AG O=30 ， 即 =30 . . 由 90 增大到 180 過程中，當(dāng) OAG=90 時，如答 圖 4-39-23, 同理可求得 BOG=30 ， =180 -30 =150 . 綜上所述，當(dāng) OAG=90 時， =30 或 150 . 當(dāng)旋轉(zhuǎn)到 A,O,F 在一條直線上時， AF 的長最大，最大值 為 ,此時 為 315 .