第 4講 分式及其運(yùn)算 浙江專(zhuān)用 1 分式的基本概念 (1) 形如 的式子叫做分式 如： n 2m ， 3 x y ， x x 1 都是分式； (2) 當(dāng) _ 時(shí) ， 分式 A B 有意義；當(dāng) _ 時(shí) ， 分式 A B 無(wú)意義； 當(dāng) 時(shí) ， 分式 A B 的值為 0. 2 分式的基本性質(zhì) 分式的分子與分母都乘 ( 或除以 ) ， 分式的值不變 ， 用式 子表示為 A B (A ， B 是整式 ， 且 B 中含有字母 ， B 0 ) B0 B 0 A 0且 B0 同一個(gè)不等于零的整式 A B A M B M ， A B A M B M (M 是不等于零的整式 ) 3 分式的運(yùn)算法則 4 最簡(jiǎn)分式 如果一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式 ， 那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式 5 分式的約分、通分 把分式中分子與分母的公因式約去 ， 這種變形叫做約分 ， 約分的根據(jù)是分式的 基本性質(zhì) 把幾個(gè)異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式 ， 這種變形叫做分式的 通分 ， 通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母 6 分式的混合運(yùn)算 在分式的混合運(yùn)算中 ， 應(yīng)先算乘方 ， 再將除法化為乘法 ， 進(jìn)行約分化簡(jiǎn) ， 最后 進(jìn)行加減運(yùn)算若有括號(hào) ， 先算括號(hào)里面的靈活運(yùn)用運(yùn)算律 ， 運(yùn)算結(jié)果必須是 最簡(jiǎn)分式或整式 1 分式與分?jǐn)?shù)有許多類(lèi)似的地方 ， 因此在分式的學(xué)習(xí)中 ， 要注意與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類(lèi) 比學(xué)習(xí)理解 2 分式運(yùn)算中的常用技巧 分式運(yùn)算題型多 ， 方法活 ， 要根據(jù)特點(diǎn)靈活求解如： 分組通分；分步通 分；先 “ 分 ” 后 “ 通 ” ；重新排序；整體通分；化積為差 ， 裂項(xiàng)相消 3 分式求值中的常用技巧 分式求值可根據(jù)所給條件和求值式的特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化主要有以下 技巧：整體代入法；參數(shù)法；平方法；代入法；倒數(shù)法但對(duì)分式求值 問(wèn)題 ， 通常先化簡(jiǎn)后求值 1 ( 2016 衡陽(yáng) ) 如果分式 3 x 1 有意義 ， 則 x 的取值范圍是 ( ) A 全體實(shí)數(shù) B x 1 C x 1 D x 1 2 ( 2016 溫州 ) 若分式 x 2 x 3 的值為 0 ， 則 x 的值是 ( ) A 3 B 2 C 0 D 2 B D 3 ( 2016 濱州 ) 下列分式中 ， 最簡(jiǎn)分式是 ( ) A. x 2 1 x 2 1 B. x 1 x 2 1 C. x 2 2 xy y 2 x 2 xy D. x 2 36 2 x 12 4 ( 2016 麗水 ) 1 a 1 b 的運(yùn)算結(jié)果正確的是 ( ) A. 1 a b B. 2 a b C. a b ab D a b A C 5 ( 2015 衢州 ) 先化簡(jiǎn) ， 再求值： (x 2 9) x 3 x ， 其中 x 1 . 解：原式 (x 3)(x 3) xx 3 x(x 3) x 2 3x ， 當(dāng) x 1 時(shí) ， 原式 1 3 2 【例 1 】 (1) ( 2016 北京 ) 如果分式 2 x 1 有意義 ， 那么 x 的取值范圍是 _ (2) ( 20 16 鹽城 ) 當(dāng) x _ 時(shí) ， 分式 x 1 3x 2 的值為 0. 【點(diǎn)評(píng)】 (1) 分式有意義就是使分母不為 0 ， 解不等式即可求出 ， 有時(shí) 還要考慮二次根式有意義； (2) 首先求出使分子為 0 的字母的值 ， 再檢驗(yàn)這個(gè) 字母的值是否使分母的值為 0 ， 當(dāng)它使分母的值不為 0 時(shí) ， 這就是所要求的 字母的值 x1 1 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (1) 如果代數(shù)式 x x 1 有意義 ， 那么 x 的取值范圍是 ( ) A x 0 B x 1 C x 0 D x 0 且 x 1 (2) 當(dāng) x _ _ 時(shí) ， 分式 | x | 3 x 3 的值為 0. D 3 【例 2 】 (1) 如果把 5 x x y 的 x 與 y 都擴(kuò)大 10 倍 ， 那么這個(gè)代數(shù)式的值 ( ) A 不變 B 擴(kuò)大 50 倍 C 擴(kuò)大 10 倍 D 縮小到原來(lái)的 1 10 (2) ( 20 15 益陽(yáng) ) 下列等式成立的是 ( ) A. 1 a 2 b 3 a b B. 2 2 a b 1 a b C. ab ab b 2 a a b D. a a b a a b A C (3) 已知 x y xy ， 求代數(shù)式 1 x 1 y (1 x )(1 y ) 的值 【點(diǎn)評(píng)】 (1) 分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù) ， 所有分式變形都 不得與此相違背 ， 否則分式的值將改變； (2) 將分式化簡(jiǎn) ， 即約分 ， 要先找出 分子、分母的公因式 ， 如果分子、分母是多項(xiàng)式 ， 要先將它們分別分解因式 ， 然后再約分 ， 約分應(yīng)徹底； (3) 巧用分式的性質(zhì) ， 可以解決某些較復(fù)雜的計(jì)算 題 ， 可應(yīng)用逆向思維 ， 把要求的算式和已知條件由兩頭向中間湊的方式來(lái)求 代數(shù)式的值 解： x y xy ， 1 x 1 y (1 x )(1 y ) y x xy (1 x y xy ) x y xy 1 x y xy 1 1 0 0 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 (1) 下列計(jì)算錯(cuò)誤的是 ( ) A. 0.2 a b 0.7 a b 2 a b 7 a b B. x 3 y 2 x 2 y 3 x y C. a b b a 1 D. 1 c 2 c 3 c (2) ( 20 16 臺(tái)州 ) 化簡(jiǎn) x 2 y 2 （ y x ） 2 的結(jié)果是 ( ) A 1 B 1 C. x y y x D. x y x y A D 【例 3 】 ( 2016 玉林 ) 化簡(jiǎn)： ( a a 2 4 a 2 2a ) a 2 a . 【點(diǎn)評(píng)】 (1) 分式的加減運(yùn)算要把分子作為一個(gè)整體進(jìn)行加減 ， 當(dāng)分子 是多項(xiàng)式時(shí) ， 一定要添加括號(hào)； (2 ) 分式化簡(jiǎn)時(shí) ， 分子分母能因式分解的一定 先因式分解 ， 既可方便確定最簡(jiǎn)公分母 ， 又有利于約 分達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果； ( 3) 乘除法是同級(jí)運(yùn)算 ， 必須嚴(yán)格按照從左到右的順序 ， 切不可先乘后除 ， 如 a b 1 b a 是錯(cuò)誤的 解：原式 1 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 (1) ( 2016 重慶 ) 計(jì)算： x 2 4x 4 x 2 2x (2x 4 x 2 x ) ； (2) ( 20 16 聊城 ) 計(jì)算： ( x 8 x 2 4 2 x 2 ) x 4 x 2 4x 4 . 解：原式 1x 2 解：原式 x 2x 2 【例 4 】 ( 2016 營(yíng)口 ) 先化簡(jiǎn) ， 再求值： ( x 2 3x 6 x 2 1) x 2 4 x 2 4x 4 ， 其中 x 2 5 . 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題 ， 要熟練掌握 ， 解答此 題的關(guān)鍵是要明確在化簡(jiǎn)過(guò)程中的運(yùn)算順序 ， 注意化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分 母要進(jìn)行約分 ， 要化成最簡(jiǎn)分式或整式 解：原式 x 2 ， 當(dāng) x 2 5 時(shí) ， 原式 5 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 (1) ( 2016 舟山 ) 先化簡(jiǎn) ， 再求值： (1 1 x 1 ) x 2 ， 其中 x 20 16. (2) ( 20 16 西寧 ) 化簡(jiǎn)： 2x x 1 2x 4 x 2 1 x 2 x 2 2x 1 ， 然后在不等式 x 2 的非負(fù) 整數(shù)解中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值 解：原式 2x 1 ， 當(dāng) x 2016 時(shí) ， 原式 22016 1 22015 解：原式 2 x 1 ， 不等式 x 2 的非負(fù)整數(shù)解是 0 ， 1 ， 2 ， (x 1)(x 1) 0 ， x 2 0 ， x 1 且 x 2 ， 把 x 0 代入 2 x 1 2 試 題 先化簡(jiǎn) ， 再求值： x 2 1 x 2 x (2 x 2 1 x ) ， 其中 x 2 1 . 審題視角 本題考查分式的化簡(jiǎn)及求值 ， 針對(duì)本題 ， 應(yīng)從運(yùn)算順序上入 手即先計(jì)算括號(hào)里的分式加法 ， 再將除法轉(zhuǎn)化為乘法 ， 最后約分化簡(jiǎn) ， 代入 x 的值進(jìn)行計(jì)算 規(guī)范答題 解：原式 （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） ( 2x x 2 1 x ) （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） x （ x 1 ） 2 1 x 1 當(dāng) x 2 1 時(shí) ， 原式 1 2 1 1 2 2 答題思路 分式化簡(jiǎn)求值的一般步驟 第一步：若有括號(hào)的 ， 先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算 ， 括號(hào)內(nèi)如果是異分母加減運(yùn)算時(shí) ， 需將異分母分式通分化為同分母分式運(yùn)算 ， 然后將分子 合并同類(lèi)項(xiàng) ， 把括號(hào)去掉 ， 簡(jiǎn)稱(chēng)： 去括號(hào) ； 第二步：若有除法運(yùn)算的 ， 將分式中除號(hào) ( )后面的式子分子、分母顛倒 ， 并把 這個(gè)式子前的 “ ” 變?yōu)?“ ” ， 保證幾個(gè)分式之間除了 “ 、 ” 就只有 “ 或 ” ， 簡(jiǎn)稱(chēng)： 除法變乘法 ； 第三步：分式乘法運(yùn)算 ， 利用因式分解、約分來(lái)計(jì)算 ， 簡(jiǎn)稱(chēng)： 先算乘法 ； 第四步：最后按照式子順序 ， 從左到右計(jì)算分式加減運(yùn)算 ， 直到化為最簡(jiǎn)形式 ， 簡(jiǎn)稱(chēng)： 再算加減 ； 第五步：將所給數(shù)值代入求值 ， 代入數(shù)值時(shí)要注意使原分式有意義 ， 簡(jiǎn)稱(chēng)： 代入 求值 . 試題 ( 2015 煙臺(tái) ) 先化簡(jiǎn)： x 2 x x 2 2x 1 ( 2 x 1 1 x ) ， 再?gòu)?2 x 3 的范圍 內(nèi)選取一個(gè)你最喜歡的值代入 ， 求值 錯(cuò)解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 當(dāng) x 0 時(shí) ， 原式 0 剖析 (1) 由于 x 的值是根據(jù)自己的理解情況給出的 ， 所以此題是一道開(kāi) 放型的試題 ， 但在選擇 x 的值時(shí) ， 一定注意所選擇的 x 的值要保證原分式有意 義； (2) 在選擇 x 的值時(shí) ， 注意 x 除了不能取 0 ， 1 外 ， 取其他值均可 正解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 當(dāng) x 2 時(shí) ， 原式 4