第一部分 教材梳理 課時 15 函數的應用 第三章 函 數 知識要點梳理 1. 一次函數的應用： 一次函數的實際應用問題，一般要根 據題目的實際意義列出 _，并從實際意義中 找到對應的變量的值，再利用 _求出函數的解 析式 . 2. 反比例函數的應用： 利用反比例函數解決實際問題，要 能把實際問題轉化為數學問題，建立 _的數學模 型，并從實際意義中找到對應的變量的值；還要熟練掌握物 理或化學學科中的一些具有反比例函數關系的公式，同時體 會數學中的轉化思想 . 3. 二次函數的應用： （ 1）利用二次函數解決利潤問題：在商品經營活動中，經常 會遇到求最大利潤、最大銷量等問題 . 解此類題的關鍵是根 據題意確定出二次函數的解析式，然后確定其 _最大值 _，實際問題中自變量 x的取值要使實際問題 _有意義 _，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量 x的 _取值范圍 _. 一次函數關系式 待定系數法 反比例函數 3. 二次函數的應用： （ 1）利用二次函數解決利潤問題：在商品經營活動中，經常 會遇到求最大利潤、最大銷量等問題 . 解此類題的關鍵是根據 題意確定出二次函數的解析式，然后確定其 _，實際 問題中自變量 x的取值要使實際問題 _，因此在求二 次函數的最值時，一定要注意自變量 x的 _. （ 2）幾何圖形中的最值問題：幾何圖形中的二次函數問題常 見的有幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何 中的最值的討論等 . 其中動態(tài)幾何圖形的最值問題屬于中考常 考的壓軸難題，解此類題的關鍵是根據圖形的特點，綜合運用 所學知識，如勾股定理、全等或相似三角形的性質等，建立等 量關系，從而構造出 _，再利用二次函數的性質求解 . 最大值 有意義 取值范圍 二次函數 （ 3）構建二次函數模型解決實際問題：利用二次函數解決拋 物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實 際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確 定拋物線的 _，進而解決有關問題 . 解析式 中考考點精練 考點 1 一次函數的應用 1. （ 2016哈爾濱）明君社區(qū)有一塊空地需要綠化，某綠化組 承擔了此項任務，綠化組工作一段時間后，提高了工作效率 . 該綠化組完成的綠化面積 S（單位： m2）與工作時間 t（單位： h）之間的函數關系如圖 1-3-15-1所示，則該綠化組提高工作 效率前每小時完成的綠化面積是 （ ） A. 300 m2 B. 150 m2 C. 330 m2 D. 450 m2 B 2. （ 2016沈陽）在一條筆直的公路上有 A， B， C三地， C地位 于 A， B兩地之間，甲，乙兩車分別從 A， B兩地出發(fā)，沿這條 公路勻速行駛至 C地停止 . 從甲車出發(fā)至甲車到達 C地的過程 中，甲、乙兩車各自與 C地的距離 y（ km）與甲車行駛時間 t（ h）之間的函數關系如圖 1-3-15-2表示，當甲車出發(fā) _h時，兩車相距 350 km. 解題指導： 本考點的題型不固定，難度中等 . 解此類題的關鍵在于能夠根據已知條件，建立一次函數模型， 求出函數的解析式 . 注意以下要點： 解答函數的應用問題，要能夠題目所給的信息，列出相應的 函數關系式，并從實際意義中找到對應的變量的值，再利用 待定系數法求出函數的解析式 . 考點 2 反比例函數的應用 1. （ 2016廣州）一司機駕駛汽車從甲地去乙地，他以平均 80 km/h的速度用了 4個小時到達乙地，當他按原路勻速返回 時，汽車的速度 v（ km/h）與時間 t（ h）的函數關系是 （ ） B 2. （ 2016湖州）湖州市菱湖鎮(zhèn)某養(yǎng)魚專業(yè)戶準備挖一個面 積為 2 000 m2的長方形魚塘 . （ 1）求魚塘的長 y（ m）關于寬 x（ m）的函數表達式； （ 2）由于受場地的限制，魚塘的寬最多只能挖 20 m，當魚 塘的寬是 20 m時，魚塘的長為多少 m？ 解：（ 1）由長方形面積為 2 000 m2，得到 xy=2 000，即 （ 2）當 x=20 m時， 答：當魚塘的寬是 20 m時，魚塘的長為 100 m. 解題指導： 本考點的題型不固定，難度中等 . 此類題的關鍵在于能夠根據已知條件，建立反比例函數模型， 求出函數的解析式 . 注意以下要點： 解答函數的應用問題，要能夠題目所給的信息，列出相應的函 數關系式，并從實際意義中找到對應的變量的值，再利用待定 系數法求出函數的解析式 . 考點 3 二次函數的應用 1.（ 2015梅州）九年級數學興趣小組經過市場調查，得到某 種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表： 已知該運動服的進價為每件 60元，設售價為 x元 . （ 1）請用含 x的式子表示：銷售該運動服每件的利潤是 （ _）元；月銷量是（ _）件；（直接寫出 結果） x-60 W=kx+b （ 2）設銷售該運動服的月利潤為 y元，那么售價為多少時， 當月的利潤最大，最大利潤是多少？ （ 2）由題意，得 y=（ x-60）（ -2x+400） =-2x2+520 x-24 000 =-2（ x-130） 2+9 800. 售價為 130元時，當月的利潤最大，最大利潤是 9 800元 . 2. （ 2016濰坊）旅游公司在景區(qū)內配置了 50輛觀光車供游客 租賃使用，假定每輛觀光車一天內最多只能出租一次，且每輛 車的日租金 x（元）是 5的倍數 . 發(fā)現每天的營運規(guī)律如下：當 x不超過 100元時，觀光車能全部租出；當 x超過 100元時，每輛 車的日租金每增加 5元，租出去的觀光車就會減少 1輛 . 已知所 有觀光車每天的管理費是 1 100元 . （ 1）優(yōu)惠活動期間，為使觀光車全部租出且每天的凈收入為 正，則每輛車的日租金至少應為多少元？（注：凈收入 =租車 收入 -管理費） （ 2）當每輛車的日租金為多少元時，每天的凈收入最多？ 解：（ 1）由題意知，若觀光車能全部租出，則 0 x100. 由 50 x-1 100 0， 解得 x 22. 又 x是 5的倍數， 每輛車的日租金至少應為 25元 . （ 2）設每輛車的凈收入為 y元， 當 0 x100 時， y1=50 x-1 100. y1隨 x的增大而增大， 當 x=100時， y1的最大值為 50 100-1 100=3 900； 當 x 100時， 當 x=175時， y2的最大值為 5 025， 5 025 3 900， 故當每輛車的日租金為 175元時，每天的凈收入最多，是 5 025元 . 答：當每輛車的日租金為 175元時，每天的凈收入最多 . 3. （ 2016徐州）某賓館擁有客房 100間，經營中發(fā)現：每天入 住的客房數 y（間）與其價格 x（元）（ 180 x300 ）滿足一 次函數關系，部分對應值如下表： （ 1）求 y與 x之間的函數表達式； （ 2）已知每間入住的客房，賓館每日需支出各種費用 100元； 每間空置的客房每日需支出各種費用 60元，當房價為多少元時， 賓館當日利潤最大？求出最大值 . （賓館當日利潤 =當日房費 收入 -當日支出） 解題指導： 本考點的題型不固定，難度中等 . 解此類題的關鍵在于能夠根據已知條件，建立二次函數模型， 求出函數的解析式 . 注意以下要點： 解答函數的應用問題，要能夠題目所給的信息，列出相應的 函數關系式，并從實際意義中找到對應的變量的值，再利用 待定系數法求出函數的解析式 . 考點鞏固訓練 考點 1 一次函數的應用 1. 某物流公司引進 A， B兩種機器人用來搬運某種貨物，這兩 種機器人充滿電后可以連續(xù)搬運 5 h， A種機器人于某日 0時開 始搬運，過了 1 h， B種機器人也開始搬運，如圖 1-3-15-3，線 段 OG表示 A種機器人的搬運量 yA（ kg）與時間 x（ h）的函數圖 象，根據圖象提供的信息，解答下列問題： （ 1）求 yB關于 x的函數解析式； （ 2）如果 A， B兩種機器人連續(xù)搬運 5 h，那么 B種機器人比 A種機器人多 搬運了多少 kg？ 解：（ 1）設 yB關于 x的函數解析式為 yB=kx+b（ k0 ） . 將點（ 1， 0） ,（ 3， 180）代入 ,得 所以 yB關于 x的函數解析式為 yB=90 x-90（ 1 x6 ） . （ 2）設 yA關于 x的解析式為 yA=k1x. 根據題意，得 3k1=180. 解得 k1=60. 所以 yA=60 x. 當 x=5時， yA=60 5=300（ kg）； x=6時， yB=90 6-90=450（ kg） . 450-300=150（ kg） . 答：如果 A， B兩種機器人各連續(xù)搬運 5 h， B種機器人比 A種機 器人多搬運了 150 kg. 2. 周末，小芳騎自行車從家出發(fā)到野外郊游，從家出發(fā) 0.5 小時到達甲地，游玩一段時間后按原速前往乙地，小芳離家 1 小時 20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，行駛 10分鐘 時，恰好經過甲地，如圖 1-3-15-4是她們距乙地的路程 y（ km） 與小芳離家時間 x（ h）的函數圖象 . （ 1）小芳騎車的速度為 _ km/h， H點坐標為 _; （ 2）小芳從家出發(fā)多少小時后被媽 媽追上？此時距家的路程多遠？ 20 解：設直線 AB的解析式為 y1=k1x+b1， 將點 A（ 0， 30）， B（ 0.5， 20）代入 ,得 y1=-20 x+30. AB CD， 設直線 CD的解析式為 y2=-20 x+b2. 將點 C（ 1， 20）代入 ,得 b2=40.故 y2=-20 x+40. 設直線 EF的解析式為 y3=k3x+b3， 將點 代入 ,得 k3=-60， b3=110. y3=-60 x+110. 點 D坐標為（ 1.75， 5） .30-5=25（ km） . 所以小芳出發(fā) 1.75小時后被媽媽追上，此時距家 25 km. 考點 2 反比例函數的應用 3. 一臺印刷機每年可印刷的書本數量 y（萬冊）與它的使用時 間 x（年）成反比例關系，當 x=2時， y=20，則 y與 x的函數關系 圖象大致是 （ ） C 4. 已知一塊蓄電池的電壓為定值，電流 I（ A）與電阻 R（ ） 之間的函數關系如圖 1-3-15-5，則電流 I關于電阻 R的函數解 析式為 （ ） A 5. 家用電滅蚊器的發(fā)熱部分使用了 PTC發(fā)熱材料，它的電阻 R（ k）隨溫度 t（ ）（在一定范圍內）變化的大致圖象如 圖 1-3-15-11所示 . 通電后，發(fā)熱材料的溫度在由室溫 10 上 升到 30 的過程中，電阻與溫度成反比例關系，且在溫度達 到 30 時，電阻下降到最小值；隨后電阻隨溫度升高而增加， 溫度每上升 1 ，電阻增加 （ 1）求當 10 t30 時， R和 t之間的 關系式； （ 2）求溫度在 30 時電阻 R的值； 并求出 t30 時， R和 t之間的關系式； （ 3）家用電滅蚊器在使用過程中， 溫度在什么范圍內時，發(fā)熱材料的電阻不超過 6 k？ 解：（ 1） 溫度在由室溫 10 上升到 30 的過程中，電阻 與溫度成反比例關系， 可設 R和 t之間的關系式為 將（ 10， 6）代入上式中，得 解得 k=60. 故當 10 t30 時， （ 2）將 t=30 代入上式中，得 R=2. 溫度在 30 時，電阻 R=2（ k） . 在溫度達到 30 時，電阻下降到最小值；隨后電阻隨溫度 升高而增加，溫度每上升 1 ，電阻增加 當 t30 時， （ 3）把 R=6 k，代入 得 t=45（ ） . 所以，溫度在 10 45 之間時，電阻不超過 6 k. 考點 3 二次函數的應用 6. 圖 1-3-15-7是某座拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點 為 O， B，以點 O為原點，水平直線 OB為 x軸，建立平面直角坐標 系，橋的拱形可近似看成拋物線 橋 拱與橋墩 AC的交點 C恰好在水面，且 AC x軸，若 OA=10 m，則 橋面離水面的高度 AC為 （ ） B 7. 某網店銷售某款童裝，每件售價 60元，每星期可賣 300件， 為了促銷，該網店決定降價銷售 . 市場調查反映：每降價 1元，每星期可多賣 30件 . 已知該款童裝每件成本價 40元，設 該款童裝每件售價 x元，每星期的銷售量為 y件 . （ 1）求 y與 x之間的函數關系式； （ 2）當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最 大利潤為多少元？ 解：（ 1） y=300+30（ 60-x） =-30 x+2 100. （ 2）設每星期的銷售利潤為 W元， W=（ x-40）（ -30 x+2 100） =-30 x2+3 300 x-84 000 =-30（ x-55） 2+6 750. 當 x=55時， W最大值 =6 750. 答：每件售價定為 55元時，每星期的銷售利潤最大，最大利 潤為 6 750元 . 8. 某片果園有果樹 80棵，現準備多種一些果樹提高果園產量， 但是如果多種樹，那么樹與樹之間的距離和每棵樹所受光照就 會減少，單棵樹的產量也就隨之降低 . 若該果園每棵果樹產果 y（ kg），增種果樹 x（棵），它們之間的函數關系如圖 1-3- 15-8所示 . （ 1）求 y與 x之間的函數關系式； （ 2）在投入成本最低的情況下，增種果樹多少棵時，果園可 以收獲果實 6 750 kg？ （ 3）當增種果樹多少棵時，果園的總產量 W（ kg）最大？最大 產量是多少？ 解：（ 1）設函數的表達式為 y=kx+b，由該一次函數過點（ 12， 74），（ 28， 66），得 該函數的表達式為 y=-0.5x+80. （ 2）根據題意，得（ -0.5x+80）（ 80+x） =6 750. 解得 x1=10， x2=70. 投入成本最低， x2=70不合題意，舍去 . x=10（棵） . 答：增種果樹 10棵時，果園可以收獲果實 6 750 kg. （ 3）根據題意，得 W=（ -0.5x+80）（ 80+x） =-0.5x2+40 x+6 400 =-0.5（ x-40） 2+7 200. a=-0.5 0，則拋物線開口向下，函數有最大值 . 當 x=40時， W取最大值為 7 200 kg. 答：當增種果樹 40棵時，果園的總產量最大，最大產量是 7 200 kg.