第 24講 尺規(guī)作圖 山西專用 1 尺規(guī)作圖的作圖工具 圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺 2 基本尺規(guī)作圖 類型一：作一條線段等于已知線段 步驟： 作射線 OP ； 以 O 為圓心 ， a 為半徑作弧 ， 交 OP 于 A ， OA 即為所求線段 圖示： 類型二：作角的平分線 步驟： 以 O 為圓心 ， 任意長(zhǎng)為半徑作弧 ， 分別交 OA ， OB 于點(diǎn) N ， M ； 分別以點(diǎn) M ， N 為圓心 ， 以大于 1 2 MN 長(zhǎng)為半徑作弧 ， 兩弧相交于點(diǎn) P ； 作射 線 OP ， OP 即為所求角平分線 圖示： 類型三：作線段的垂直平分線 步驟： 分別以點(diǎn) A ， B 為圓心 ， 以大于 1 2 AB 長(zhǎng)為半徑 ， 在 AB 兩側(cè)作 弧 ， 兩弧交于 M ， N 點(diǎn)； 連接 MN ， 直線 MN 即為所求垂直平分線 圖示： 類型四：作一個(gè)角等于已知角： 步驟： 以 O 為圓心 ， 以任意長(zhǎng)為半徑作弧 ， 交 的兩邊于點(diǎn) P ， Q ； 作射線 O A ； 以 O 為圓心 ， OP 長(zhǎng)為半徑作弧 ， 交 O A 于點(diǎn) M ； 以點(diǎn) M 為圓心 ， PQ 長(zhǎng)為半徑作弧 ， 交前弧于點(diǎn) N ； 過(guò)點(diǎn) N 作射線 OB ， AO B 即為所求角 圖示： 類型五：過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線 步驟：點(diǎn)在直線上： 以點(diǎn) O 為圓心 ， 任意長(zhǎng)為半徑作弧 ， 交直線于 A ， B 兩點(diǎn)； 分別以點(diǎn) A ， B 為圓心 ， 以大于 1 2 AB 長(zhǎng)為半徑在直線兩側(cè)作弧 ， 交點(diǎn)分 別為 M ， N ； 連接 MN ， MN 即為所求垂線 點(diǎn)在直線外： 在直線另一側(cè)取點(diǎn) M ； 以 PM 為半徑畫(huà)弧 ， 交直線于 A ， B 兩點(diǎn)； 分別以 A ， B 為圓心 ， 以大于 1 2 AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 ， 交 M 同側(cè)于點(diǎn) N ； 連接 PN ， 則直線 PN 即為所求的垂線 圖示： 3 常見(jiàn)幾種基本尺規(guī)作圖作三角形 已知三邊作三角形； 已知兩邊及其夾角作三角形； 已知兩角及其夾邊作三角形； 已知底邊及底邊上的高作等腰三角形； 已知一直角邊和斜邊作直角三角形 4 作圖的一般步驟 (1)已知； (2)求作； (3)分析； (4)作法； (5)證明； (6)討論 步驟 (5)(6)常不作要求 ， 步驟 (3)一般不要求 ， 但作圖中一定要保留作圖 痕跡 . 命題點(diǎn)：尺規(guī)作圖 1 (2013山西 21題 8分 )如圖 ， 在 ABC中 ， AB AC， D是 BA延長(zhǎng)線上 的一點(diǎn) ， 點(diǎn) E是 AC的中點(diǎn) (1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖 ， 并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母 (保留 作圖痕跡 ， 不寫(xiě)作法 )； 作 DAC的平分線 AM；連接 BE并延長(zhǎng) ， 交 AM于點(diǎn) F； (2)猜想與證明：試猜想 AF與 BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系 ， 并說(shuō)明 理由 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 020524450) 解： ( 1 ) 如圖所示： ( 2 ) AF BC 且 AF B C . 理由如下： AB AC ， A B C C. D AC A B C C 2 C. C F AC . AF B C . E 是 AC 的中點(diǎn) ， AE C E. A EF C EB ， A E F C EB . AF BC 2 ( 2 0 1 1 山西 21 題 10 分 ) 實(shí)踐與操作：如圖 ， A B C 是直角三角形 ， AC B 90 . ( 1 ) 尺規(guī)作圖：作 C ， 使它與 AB 相切于點(diǎn) D ， 與 AC 相交于點(diǎn) E. 保留作 圖痕跡 ， 不寫(xiě)作法 ， 請(qǐng)標(biāo)明字母； ( 2 ) 在你按 ( 1 ) 中要求所作的圖中 ， 若 BC 3 ， A 30 ， 求 DE 的長(zhǎng) ( 導(dǎo)學(xué)號(hào) 0 2 0 5 2 4 5 1 ) 解： ( 1 ) 作圖如圖所示： ( 2 ) AC B 90 ， A 30 ， BC 3 ， B 60 ， CD 3 3 2 ， B C D 30 ， A C D 60 ， DE 60 180 3 3 2 3 2 簡(jiǎn)單尺規(guī)作圖 【例 1 】 如圖 ， 在 A B C 中 ， 已知 A B C 90 . ( 1 ) 請(qǐng)?jiān)?BC 上找一點(diǎn) P ， 作 P 與 AC ， AB 都相切 ， 與 AC 的切點(diǎn)為 Q ； ( 尺規(guī)作圖 ， 保留作圖痕跡 ) ( 2 ) 連接 BQ ， 若 AB 3 ， ( 1 ) 中所作圓的半徑為 3 2 ， 求 s in C B Q. 【 分析 】 (1)要求作 P與 AB、 AC相切 ， 根據(jù)切線的性質(zhì) ， 即點(diǎn) P到 AB、 AC的距離相等 ， 且點(diǎn) P在邊 BC上 ， 想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊 的距離相等 ， 即作 BAC的平分線交 BC于 P點(diǎn) ， 以點(diǎn) P為圓心 ， PB為半 徑作圓即可； (2)由切線長(zhǎng)定理得 AB AQ， 又 PB PQ， 則判定 AP為 BQ的垂直平分線 ， 利用等角的余角相等得到 CBQ BAP， 然后在 Rt ABP中利用正弦函數(shù)求出 sin BAP， 從而可得到 sin CBQ的值 解： ( 1 ) 如圖所示 ， P 即為所求： ( 2 ) AB 、 AQ 為 P 的切 線 ， AB AQ ， PB PQ ， AP 為 BQ 的 垂直平分線 ， B A P A B Q 90 ， C B Q A B Q 90 ， C B Q B A P ， 在 Rt AB P 中 ， AP AB 2 PB 2 3 2 （ 3 2 ） 2 3 5 2 ， s in B A P BP AP 3 2 3 5 2 5 5 ， s in C B Q 5 5 【例 2 】 ( 2 0 1 5 孝感 ) 如圖 ， 一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧 ( AB ) ( 1 ) 用直尺和圓規(guī)作出 AB 所在圓的圓心 O ； ( 要求保留作圖痕跡 ， 不寫(xiě)作法 ) ( 2 ) 若 AB 的中點(diǎn) C 到弦 AB 的距離為 20 m ， AB 80 m ， 求 AB 所在圓的半 徑 【分析】 ( 1 ) 根據(jù) “ 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一 個(gè)圓 ” ， 在 AB 上另找一點(diǎn) C ， 分別作弦 AC ， BC 的垂直平分線 ， 交點(diǎn) 即為圓心 O ； ( 2 ) 分別連接 OA 、 OC 、 AB ， 根據(jù)所作圖形可想到垂徑定 理的應(yīng)用 ， 進(jìn)而得到直角三角形 ， 想到在直角三角形中利用勾股定理進(jìn) 行求解 解： ( 1 ) 如圖 ， 點(diǎn) O 為所求； ( 2 ) 連接 OA 、 OC 、 AB 、 OC 交 AB 于 D ， 如圖 ， C 為 AB 的中點(diǎn) ， OC AB ， AD BD 1 2 AB 40 ， 設(shè) O 的半徑為 r ， 則 OA r ， OD OC CD r 20 ， 在 Rt O A D 中 ， OA 2 OD 2 AD 2 ， r 2 (r 20) 2 40 2 ， 解得 r 50 ， 即 AB 所在圓的半徑是 50 m 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1. 如圖 ， 在 ABC中 (1)作 BC邊的垂直平分線分別交 AC， BC于點(diǎn) D， E(用尺規(guī)作圖 ， 保留作圖痕跡 ， 不要求寫(xiě)作法 ); (2)在 (1)條件下 ， 連接 BD， 若 BD 9， BC 12， 求 C的余弦值 解： ( 1 ) 如圖所示： ( 2 ) DE 是 BC 的垂直平分線 ， EC 1 2 BC 6 ， BD CD 9 ， co s C EC DC 6 9 2 3 2.如圖 ， 在 Rt ABC中 ， ACB 90. (1)利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖 ， 并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母 (保留 作圖痕跡 ， 不寫(xiě)作法 ) 作 AC的垂直平分線 ， 交 AB于點(diǎn) O， 交 AC于點(diǎn) D; 以 O為圓心 ， OA為半徑作圓 ， 交 OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E. (2)在 (1)所作的圖形中 ， 解答下列問(wèn)題 . 點(diǎn) B與 O的位置關(guān)系是 _； (直接寫(xiě)出答案 ) 若 DE 2， AC 8， 求 O的半徑 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 02052452) 點(diǎn) B在 O上 解： ( 1 ) 如圖 所示： ( 2 ) 連接 OC ， 如圖 ， OD 垂直平分 AC ， OA OC ， A AC O ， A B 90 ， OC B A C O 90 ， B O C B ， OC OB ， OB OA ， 點(diǎn) B 在 O 上； OD AC ， 且點(diǎn) D 是 AC 的中點(diǎn) ， AD 1 2 AC 4 ， 設(shè) O 的半徑為 r ， 則 OA OE r ， OD OE DE r 2 ， 在 Rt A OD 中 ， OA 2 AD 2 OD 2 ， 即 r 2 4 2 (r 2) 2 ， 解得 r 5. O 的半徑為 5 9.作圖必須滿足題意 試題 尺規(guī)作圖 ， 已知頂角和底邊上的高 ， 求作等腰三角形 已知：如圖 ， ， 線段 a. 求作： ABC， 使 AB AC， BAC ， AD BC于 D， 且 AD a. 錯(cuò)解 解： (1)如圖 ， 作 EAF ； (2)作 AG平分 EAF， 并在 AG上截取 AD a； (3)過(guò) D作直線 MN交 AE， AF分別于 C， B， ABC為所求作的等腰三角 形 剖析 上述作法考慮 AD平分 BAC， 等腰三角形頂角的平分線與底 邊上的高重合 ， 但是作法 (3)沒(méi)有注意到要使 AD BC， 也難以使 AB AC. 正解 解：作圖如圖 ， (1)作 EAF ； (2)作 AG平分 EAF， 并 在 AG上截取 AD a； (3)過(guò) D作 MN AG， MN與 AE， AF分別交于 B ， C.則 ABC即為所求作的等腰三角形