第 28講 圖形的相似與位似 山西專用 1 比例線段 ( 1 ) 比例線段：已知四條線段 a ， b ， c ， d ， 若 a b c d 或 a b c d ， 那么 a ， b ， c ， d 叫做成 _ _ _ _ _ _ _ _ ， a ， d 叫做 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， b ， c 叫做比例內(nèi)項(xiàng)； 若有 a b b c ， 則 b 叫做 a ， c 的 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 ) 比例的基本性質(zhì)及定理 a b c d ad bc ； a b c d a b b c d d ； a b c d m n (b d n 0) a c m b d n a b . 比例線段 比例外項(xiàng) 比例中項(xiàng) 2 黃金分割： 把一條線段 ( A B ) 分成兩條線段 ， 使其中較長(zhǎng)線段 ( AC ) 是原 線段 ( A B ) 與較短線段 ( B C ) 的比例中項(xiàng) ， 就叫做點(diǎn) C 把這條線段黃金分 割即 AC 2 _ _ _ ， AC 5 1 2 AB 0 . 6 1 8 A B . 一條線段的黃金分割 點(diǎn)有 _ 個(gè) 3 平行線分線段成比例定理 ( 1 ) 三條平行線截兩條直線 ， 所得的對(duì)應(yīng)線段成 _ _ _ ； ( 2 ) 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 ( 或兩邊的延長(zhǎng)線 ) ， 所得的對(duì)應(yīng)線 段成比例 ； ( 3) 如果一條直線截三角形的兩邊 ( 或兩邊的延長(zhǎng)線 ) ， 所得的對(duì)應(yīng)線段成 _ _ _ _ _ _ ， 那么這條直線平行于三角形的第三邊； ( 4 ) 平行于三角形的一邊 ， 并且和其他兩邊 ( 或兩邊的延長(zhǎng)線 ) 相交的直線 ， 所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例 ABBC 兩 比例 比例 4 相似三角形的性質(zhì)及判定 (1)相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ， 對(duì)應(yīng)邊成比例 ， 對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角 平分線的比都等于相似比 ， 周長(zhǎng)比等于 _， 面積比等于相似比 的 _ (2)相似三角形的判定 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 (或兩邊的延長(zhǎng)線 )相交 ， 所截得 的三角形與原三角形相似； 兩角對(duì)應(yīng) _， 兩三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且 _， 兩三角形相似； _對(duì)應(yīng)成比例 ， 兩三角形相似； 兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例 ， 兩直角三角形相似 ； 直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似 相似比 平方 相等 夾角相等 三邊 5 射影定理 如圖 ， ABC中 ， ACB 90 ， CD是斜邊 AB上的高 ， 則有下列結(jié)論 (1)AC2 ADAB； (2)BC2 BDAB； (3)CD2 ADBD； (4)AC2 BC2 AD BD； (5)ABCD ACBC. 6 相似三角形的實(shí)際應(yīng)用 ( 1 ) 運(yùn)用三角形相似的判定條件和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題的方法步驟： 將實(shí)際問(wèn)題所求 線段長(zhǎng)放在三角形中； 根據(jù)已知條件找出一對(duì)可能相似的三角形； 證明所找兩三角形相似； 根據(jù)相似三角形的性質(zhì) ， 表示出相應(yīng)的量；并求解 ( 2 ) 運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題 如利用光的反射定律求物體的高度 ， 利用影子計(jì)算建筑物的高度同一時(shí) 刻 ， 物高與影長(zhǎng)成正比 ， 即 身高 影長(zhǎng) 建筑物的高度 建筑物的影長(zhǎng) . 7 相似多邊形的性質(zhì) (1)相似多邊形對(duì)應(yīng)角 _， 對(duì)應(yīng)邊成比例 (2)相似多邊形周長(zhǎng)之比等于 _， 面積之比等于相似比的平方 8 圖形的位似 (1)概念：如果兩個(gè)多邊形不僅相似 ， 而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn) ， 這樣的圖形叫做位似圖形這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心 (2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于 _ (3)在平面直角坐標(biāo)系中 ， 如果位似變換是以原點(diǎn)為中心 ， 相似比為 k， 那 么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于 k或 k. (4)利用位似變換將一個(gè)圖形放大或縮小 ， 其步驟為：確定位似中心； 確定原圖形中各頂點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；依次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)描 出新圖形 相等 相似比 位似比 命題點(diǎn)：相似三角形及其應(yīng)用 1 (2015山西 4題 3分 )如圖 ， 在 ABC中 ， 點(diǎn) D， E分別是邊 AB， BC的 中點(diǎn)若 DBE的周長(zhǎng)是 6， 則 ABC的周長(zhǎng)是 ( ) A 8 B 10 C 12 D 14 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 02052522) C 2 (2015山西 15題 3分 )太原市公共自行車的建設(shè)速度、單日租騎量等 四項(xiàng)指標(biāo)移居全國(guó)首位公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示 ， AB AD， AD DC， 點(diǎn) B， C在 EF上 ， EF HG， EH HG， AB 80 cm， AD 24 cm， BC 25 cm， EH 4 cm， 則點(diǎn) A到地面的距離是 _cm.(導(dǎo)學(xué)號(hào) 02052523) 8 0 .8 (或 4045 ) 相似三角形的性質(zhì) 【例 1 】 ( 2 0 1 6 安徽 ) 如圖 ， A B C 中 ， AD 是中線 ， BC 8 ， B D AC ， 則線段 AC 的長(zhǎng)為 ( ) A 4 B 4 2 C 6 D 4 3 【分析】 根據(jù) AD 是 AB C 的中線 ， BC 8 ， 則可得 CD 的長(zhǎng) ， 再根 據(jù) B D AC 和 C 為 C B A 與 C A D 的公共 角 ， 即兩角對(duì)應(yīng)相等 的兩三角形相似 ， 證出 CBA C A D ， 進(jìn)而列出關(guān)于 AC 的比例式求 解即可 B 【 方法指導(dǎo) 】 1.在三角形問(wèn)題中計(jì)算線段的長(zhǎng)度時(shí) ， 若題中已知兩角 對(duì)應(yīng)相等或給出的邊之間存在比例關(guān)系 ， 則考慮證明三角形相似 ， 通過(guò) 相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列關(guān)于所求邊的比例式求解 2 判定三角形相似的五種基本思路： (1)若已知平行線 ， 可采用相似三角形的基本定理； (2)若已知一對(duì)等角 ， 可再找一對(duì)等角或再找該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例； (3)若已知兩邊對(duì)應(yīng)成比例 ， 可找?jiàn)A角相等； (4)若已知一對(duì)直角 ， 可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比 例； (5)若已知等腰三角形 ， 可找頂角相等 ， 或找一對(duì)底角相等 ， 或找底和腰 對(duì)應(yīng)成比例 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (2016湘西州 )如圖 ， 在 ABC中 ， DE BC， DB 2AD， ADE的 面積為 1， 則四邊形 DBCE的面積為 ( ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 (導(dǎo)學(xué)號(hào) 02052524) D 2 如圖 ， 已知 ABC和 DEC的面積相等 ， 點(diǎn) E在 BC邊上 ， DE AB交 AC于點(diǎn) F， AB 12， EF 9， 則 DF的長(zhǎng)是 _ (導(dǎo)學(xué)號(hào) 02052525) 7