第 28講 圖形的軸對稱 浙江專用 1 軸對稱與軸對稱圖形 名 稱 定義 性質(zhì) 軸 對 稱 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊 ， 如果它能夠與另一個(gè)圖形重合 ， 那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直 線成軸對稱 ， 這條直線叫做 _， 折疊后重合的點(diǎn) 是對稱點(diǎn) . (1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某 條直線對稱 ， 那么對稱 軸是任何一對對稱點(diǎn)所 連線段的 _； (2)軸對稱圖形的對稱軸 ， 是任意一對對稱點(diǎn)所連 線段的 _； (3)對應(yīng)線段、對應(yīng)角 _. 軸 對 稱 圖 形 如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊 ， 直線兩旁的部分能夠互相重合 ， 這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形 ， 這 條直線就是它的對稱軸 . 對稱軸 垂直平分線 垂直平分線 相等 2.軸對稱變換 由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線 l對稱的圖形 ， 這個(gè)圖形與原 圖形的形狀 、 大小完全一樣；新圖形上的每一點(diǎn) ， 都是原圖形上的某一 點(diǎn)關(guān)于直線 l的對稱點(diǎn)；連結(jié)任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸 _ 這樣 ， 由一個(gè)平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換 一個(gè)軸 對稱圖形可以看作以它的一部分為基礎(chǔ) ， 經(jīng)軸對稱變換而成 3 畫軸對稱圖形 幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成 ， 只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng) 點(diǎn) ， 再連結(jié)這些對應(yīng)點(diǎn) ， 就可以得到原圖形的軸對稱圖形；對于一些由 直線 、 線段或射線組成的圖形 ， 只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn) (如線段 的端點(diǎn) )關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn) ， 連結(jié)這些對應(yīng)點(diǎn) ， 就可以得到原圖形的 軸對稱圖形 垂直平分 1 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系 區(qū)別： 軸對稱圖形是一個(gè)具有特殊性質(zhì)的圖形 ， 而圖形的軸對稱是說兩 個(gè)圖形之間的位置關(guān)系； 聯(lián)系： 若把軸對稱的兩個(gè)圖形視為一個(gè)整體 ， 則它就是一個(gè)軸對稱圖形 ；若把軸對稱圖形在對稱軸兩旁的部分視為兩個(gè)圖形 ， 則這兩個(gè)圖形就 形成軸對稱的位置關(guān)系 因此 ， 它們是部分與整體 、 形狀與位置的關(guān)系 ， 是可以辯證地互相轉(zhuǎn)化的 2 鏡面對稱原理 (1)鏡中的像與原來的物體成軸對稱； (2)鏡子中的像改變了原來物體的左右位置 ， 即像與物體左右位置互換 3 建立軸對稱模型 在解決實(shí)際問題時(shí) ， 首先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型 ， 再根據(jù)實(shí)際以 某直線為對稱軸 ， 把不是軸對稱的圖形通過軸對稱變換補(bǔ)添為軸對稱 圖形 有關(guān)幾條線段之和最短的問題 ， 都是把它們轉(zhuǎn)化到同一條直線 上 ， 然后利用 “ 兩點(diǎn)之間線段最短 ” 來解決 1 (2016舟山 )在下列 “ 禁毒 ” 、 “ 和平 ” 、 “ 志愿者 ” 、 “ 節(jié)水 ” 這 四個(gè)標(biāo)志中 ， 屬于軸對稱圖形的是 ( ) B 2 (2016紹興 )我國傳統(tǒng)建筑中 ， 窗框 (如圖 )的圖案玲瓏剔透、千變?nèi)f 化 ， 窗框一部分如圖 ， 它是一個(gè)軸對稱圖形 ， 其對稱軸有 ( ) A 1條 B 2條 C 3條 D 4條 B 3 (2016成都 )平面直角坐標(biāo)系中 ， 點(diǎn) P( 2， 3)關(guān)于 x軸對稱的點(diǎn)的坐 標(biāo)為 ( ) A ( 2， 3) B (2， 3) C ( 3， 2) D (3， 2) A 4 (2016臺州 )小紅用次數(shù)最少的對折方法驗(yàn)證了一條四邊形絲巾的 形狀是正方形 ， 她對折了 ( ) A 1次 B 2次 C 3次 D 4次 B 5 (2016金華 )如圖 ， Rt ABC紙片中 ， C 90 ， AC 6， BC 8 ， 點(diǎn) D在邊 BC上 ， 以 AD為折痕將 ABD折疊得到 ABD， AB與邊 BC交于點(diǎn) E.若 DEB為直角三角形 ， 則 BD的長是 _ 2或 5 識別軸對稱圖形 【 例 1】 (2016深圳 )下列圖形中 ， 是軸對稱圖形的是 ( ) B 【 點(diǎn)評 】 判斷圖形是否是軸對稱圖形 ， 關(guān)鍵是理解、應(yīng)用軸對稱 圖形的定義 ， 看是否能找到至少 1條合適的直線 ， 使該圖形沿著這條 直線對折后 ， 兩旁能夠完全重合若能找到 ， 則是軸對稱圖形；若 找不到 ， 則不是軸對稱圖形 對應(yīng)訓(xùn)練 1 (1)(2016北京 )甲骨文是我國的一種古代文字 ， 是漢字的早期形式 ， 下列甲骨文中 ， 不是軸對稱的是 ( ) D (2)(2016臺灣 )若下列選項(xiàng)中的圖形均為正多邊形 ， 則哪一個(gè)圖形恰 有 4條對稱軸？ ( ) B 作已知圖形的軸對稱圖形 【 例 2】 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 已知點(diǎn) A( 3， 1)， B( 1， 0)， C( 2 ， 1)， 請?jiān)趫D中畫出 ABC， 并畫出與 ABC關(guān)于 y軸對稱的圖形 解：如圖所示 ， DEF即為與 ABC關(guān)于 y軸對稱的圖形 【 點(diǎn)評 】 畫軸對稱圖形 ， 先要明確對稱軸 ， 對于直線、線段、多邊形 等特殊圖形 ， 一般只要作出直線上的任意兩點(diǎn)、線段端點(diǎn)、多邊形的頂 點(diǎn)等的對稱點(diǎn) ， 就能準(zhǔn)確作出圖形 對應(yīng)訓(xùn)練 2 (2016寧波 )下列 3 3網(wǎng)格圖都是由 9個(gè)相同的小正方形組成 ， 每個(gè)網(wǎng) 格圖中有 3個(gè)小正方形已涂上陰影 ， 請?jiān)谟嘞碌?6個(gè)空白小正方形中 ， 按 下列要求涂上陰影： (1)選取 1個(gè)涂上陰影 ， 使 4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對稱圖形 ， 但不是 中心對稱圖形； (2)選取 1個(gè)涂上陰影 ， 使 4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)中心對稱圖形 ， 但不 是軸對稱圖形； (3)選取 2個(gè)涂上陰影 ， 使 5個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對稱圖形 (請將三個(gè)小題依次作答在圖 1、圖 2、圖 3中 ， 均只需畫出符合條件的一 種情形 ) 解： (1)如圖 1所示； (2)如圖 2所示； (3)如圖 3所示 (答案均不唯一 ) 軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用 【例 3 】 ( 2 0 1 6 百色 ) 如圖 ， 正 A B C 的邊長為 2 ， 過點(diǎn) B 的直線 l AB ， 且 A B C 與 A B C 關(guān)于直線 l 對稱 ， D 為線段 B C 上一動(dòng)點(diǎn) ， 則 AD CD 的最小值是 ( ) A 4 B 3 2 C 2 3 D 2 3 A 點(diǎn)撥：作點(diǎn) A關(guān)于直線 BC的對稱點(diǎn) A1， 連結(jié) A1C交直線 BC于點(diǎn) D， 由 圖象可知當(dāng)點(diǎn) D在 CB的延長線上時(shí) ， AD CD最小 ， 而點(diǎn) D為線段 BC 上一動(dòng)點(diǎn) ， 當(dāng)點(diǎn) D與點(diǎn) B重合時(shí) AD CD值最小 ， 此時(shí) AD CD AB CB 2 2 4， 故選 A. 【 點(diǎn)評 】 本題考查了軸對稱中的最短線路問題以及等邊三角形的 性質(zhì) ， 解題的關(guān)鍵是找出一點(diǎn)的對稱點(diǎn) ， 連結(jié)對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)與對 稱軸交于一點(diǎn) ， 即可得出結(jié)論 對應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 2 0 1 6 龍東地區(qū) ) 如圖 ， MN 是 O 的直徑 ， MN 4 ， AMN 40 ， 點(diǎn) B 為弧 AN 的中點(diǎn) ， 點(diǎn) P 是直徑 MN 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， 則 PA PB 的最 小值為 _ 2 3 折疊問題 【例 4 】 ( 1 ) ( 2 0 1 6 宿遷 ) 如圖 ， 把正方形紙片 A B C D 沿對邊中點(diǎn)所在的 直線對折后展開 ， 折痕為 MN ， 再過點(diǎn) B 折疊紙片 ， 使點(diǎn) A 落在 MN 上的點(diǎn) F 處 ， 折痕為 B E. 若 AB 的長為 2 ， 則 FM 的長為 ( ) A 2 B . 3 C. 2 D 1 B (2)(2016聊城 )如圖 ， 把一張矩形紙片 ABCD沿 EF折疊后 ， 點(diǎn) A落在 CD 邊上的點(diǎn) A處 ， 點(diǎn) B落在點(diǎn) B處 ， 若 2 40 ， 則圖中 1的度數(shù)為 ( ) A 115 B 120 C 130 D 140 A 【 點(diǎn)評 】 折疊的過程實(shí)際上就是一個(gè)軸對稱變換的過程 ， 軸對稱變 換前后的圖形是全等圖形 ， 對應(yīng)邊相等 ， 對應(yīng)角相等 對應(yīng)訓(xùn)練 4 ( 2 0 1 6 徐州 ) 如圖 ， 將邊長為 6 的正方形紙片 A B C D 對折 ， 使 AB 與 DC 重合 ， 折痕為 EF ， 展平后 ， 再將點(diǎn) B 折到邊 CD 上 ， 使邊 AB 經(jīng)過點(diǎn) E ， 折痕為 GH ， 點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn)為 M ， 點(diǎn) A 的對應(yīng)點(diǎn)為 N. ( 1 ) 若 CM x ， 則 CH _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 用含 x 的代數(shù)式表示 ) ； ( 2 ) 求折痕 GH 的長 1 12 x 2 3 解： ( 1 ) CM x ， BC 6 ， 設(shè) HC y ， 則 BH HM 6 y ， 故 y 2 x 2 (6 y) 2 ， 整理得 y 1 12 x 2 3 ， 故答案為： 1 12 x 2 3 ； ( 2 ) 四邊形 A B C D 為正方形 ， B C D 90 ， 設(shè) CM x ， 由題意可得 ED 3 ， DM 6 x ， E MH B 90 ， 故 HM C E MD 90 ， HM C MH C 90 ， E M D MH C ， E DM MCH ， ED MC DM CH ， 即 3 x 6 x 1 12 x 2 3 ， 解得 x 1 2 ， x 2 6( 不 合題意舍去 ) ， CM 2 ， DM 4 ， 在 Rt DEM 中 ， 由勾股定理得： EM 5 ， NE MN EM 6 5 1 ， NEG DEM ， N D ， NEG DE M ， NE DE NG DM ， 1 3 NG 4 ， 解得 NG 4 3 ， 由翻折變換的性質(zhì) ， 得 AG NG 4 3 ， 如圖 ， 過點(diǎn) G 作 GP BC ， 垂足為 P ， 則 BP AG 4 3 ， GP AB 6 ， 當(dāng) x 2 時(shí) ， CH 1 12 x 2 3 8 3 ， PH BC HC BP 6 8 3 4 3 2 ， 在 Rt GP H 中 ， GH GP 2 PH 2 6 2 2 2 2 10 . 試題 設(shè) M 是邊長為 2 的正 A B C 的邊 AB 上的中點(diǎn) ， P 是邊 BC 上的 任意一點(diǎn) ， 求 PA PM 的最小值 錯(cuò)解 當(dāng)點(diǎn) P 為 BC 中點(diǎn)時(shí) ， PA PM 的和最小 M 是 AB 的中點(diǎn) ， PM 是 A B C 的中位線 ， 且 AP BC ， PM 1 2 AC 1 2 2 1 ， PA 2 2 1 2 3 ， PA PM 1 3 . 剖析 求兩條線段之和最小問題 ， 應(yīng)選用線段的垂直平分線、角平分 線、等腰三角形的高作為對稱軸來解題 正解 作正 A B C 關(guān)于 BC 的對稱圖形 A B C ， M 是 M 的對稱點(diǎn) ， 故 M 是 A B 的中點(diǎn) ， PM P M ， PA PM PA P M A M. 連結(jié) C M ， 易知 AC M 90 ， AM AC 2 C M 2 2 2 （ 3 ） 2 7 .