第二部分 空間與圖形 課時 19 等腰三角形與等邊三角形 第四章 圖形的認(rèn)識（一） 知識要點(diǎn)梳理 1. 等腰三角形 : （ 1）定義： _的三角形叫做等腰三角形 . （ 2）性質(zhì) : 性質(zhì)定理：等腰三角形的 _（簡稱： _） . 推論：等腰三角形頂角的 _、底邊上的 _ 及底邊上的 _互相重合（簡稱： _） . 兩邊相等 兩個底角相等 等邊對等角 平分線 中線 高線 三線合一 （ 3）其他性質(zhì) : 等腰直角三角形的兩個底角 _. 等腰三角形的底角只能為 _，不能為 _ （或 _），但頂角可為 _（或 _） . 等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為 a，底邊長為 b，則 _. 等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為 A，底角為 B， C， 則 A=_， B= C=_. 相等且等于 45 銳角 鈍角 直角 鈍角 直角 180 -2 B （ 4）判定 : 定義法： _的三角形是等腰三角形 . 判定定理： _的三角形是等腰三角形（簡稱： _） . 2. 等邊三角形 : （ 1）定義： _的三角形叫做等邊三角形 . （ 2）性質(zhì) : 性質(zhì)定理：等邊三角形的 _，并且每個角都 等于 _. 有兩條邊相等 有兩個角相等 等角對等邊 三邊相等 三個內(nèi)角都相等 60 等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的 _，它的每一個內(nèi)角的 _都與其對邊的 _和 _重合 . （ 3）判定 : 定義法： _的三角形是等邊三角形 . 判定定理 1： _的三角形是等邊三角形 . 判定定理 2：有一個角等于 _的 _三角形 是等邊三角形 . 所有性質(zhì) 角平分線 中線 高線 三條邊都相等 三個角都相等 60 等腰 重要方法與思路 中考考點(diǎn)精練 1.（ 2016濱州）如圖 2-4-19-1， ABC中， D為 AB上一點(diǎn)， E為 BC上一點(diǎn)，且 AC=CD=BD=BE， A=50 ，則 CDE的度數(shù)為 （ ） A. 50 B. 51 C. 51.5 D. 52.5 考點(diǎn) 1 等腰三角形的性質(zhì)和判定 D 2. （ 2016泰安）如圖 2-4-19-2，在 PAB中， PA=PB， M， N， K 分別是 PA， PB， AB上的點(diǎn)，且 AM=BK， BN=AK，若 MKN=44 ， 則 P的度數(shù)為 （ ） A. 44 B. 66 C. 88 D. 92 3. （ 2015南寧）如圖 2-4-19-3，在 ABC中， AB=AD=DC， B= 70 ，則 C的度數(shù)為 （ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 D A 4. （ 2015北京）如圖 2-4-19-4，在 ABC中， AB=AC， AD是 BC邊上的中線， BE AC于點(diǎn) E. 求證： CBE= BAD. 證明： AB=AC， AD是 BC邊上的中線， AD BC, CAD= BAD. 又 BE AC, CBE+ C= CAD+ C=90 . CBE= BAD. 解題指導(dǎo)： 本考點(diǎn)的題型不固定，難度中等 . 解此類題的關(guān)鍵在于掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定定理（注 意：相關(guān)要點(diǎn)請查看“知識要點(diǎn)梳理”部分，并認(rèn)真掌握） . 考點(diǎn) 2 等邊三角形的性質(zhì)和判定 1.（ 2016內(nèi)江）已知等邊三角形的邊長為 3，點(diǎn) P為等邊三角 形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P到三邊的距離之和為 （ ） B 2. （ 2015泉州）如圖 2-4-19-5，在等邊 三角形 ABC中， AD BC于點(diǎn) D，則 BAD=_. 30 3. （ 2014溫州）如圖 2-4-19-6，在等邊三角形 ABC中，點(diǎn) D， E分別在邊 BC， AC上，且 DE AB，過點(diǎn) E作 EF DE，交 BC的延 長線于點(diǎn) F. （ 1）求 F的度數(shù)； （ 2）若 CD=2，求 DF的長 . 解：（ 1） ABC是等邊三角形， B=60 . DE AB， EDC= B=60 . EF DE， DEF=90 . F=90 - EDC=30 . （ 2） ACB=60 ， EDC=60 ， EDC是等邊三角形 . ED=DC=2. DEF=90 ， F=30 ， DF=2DE=4. 解題指導(dǎo)： 本考點(diǎn)的題型不固定，難度中等 . 解此類題的關(guān)鍵在于掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定定理（注 意：相關(guān)要點(diǎn)請查看“知識要點(diǎn)梳理”部分，并認(rèn)真掌握） . 注意以下要點(diǎn)： 等腰三角形和等邊三角形屬于特殊的三角形，在廣東中考中 單獨(dú)出題考查的情況雖然不多，但這兩種圖形常與其他幾何 圖形如（特殊的）平行四邊形、圓等結(jié)合考查，題目非常靈 活，熟練掌握等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)定理并加以靈 活運(yùn)用對解題非常關(guān)鍵，備考時需多加留意 . 考點(diǎn)鞏固訓(xùn)練 考點(diǎn) 1 等腰三角形的性質(zhì)和判定 1. 已知等腰三角形的周長為 24，腰長為 x，則 x的取值范圍是 （ ） A. x 12 B. x 6 C. 6 x 12 D. 0 x 12 C 2. （ 2016安順）已知實(shí)數(shù) x， y滿足 ，則 以 x， y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是 （ ） A. 20或 16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不對 B 3. 如圖 2-4-19-7，在 ABC中， AB=AC，點(diǎn) D， E， F分別在 AB， BC， AC邊上，且 BE=CF， BD=CE. （ 1）求證： DEF是等腰三角形； （ 2）當(dāng) A=40 時，求 DEF的度數(shù) . （ 1）證明： AB=AC， ABC= ACB. 在 DBE和 ECF中 , DBE ECF. DE=EF. DEF是等腰三角形 . （ 2）解： DBE ECF， BDE= CEF, DEB= EFC. A+ B+ C=180 ， B= （ 180 -40 ） =70 . BDE+ DEB=110 . FEC+ DEB=110 . DEF=180 -110 =70 . 4. 如圖 2-4-19-8， ACB和 DCE均為等腰三角形，點(diǎn) A， D， E 在同一直線上，連接 BE， CAB= CBA= CDE= CED=50 . （ 1）求證： AD=BE； （ 2）求 AEB的度數(shù) . （ 1）證明： CAB= CBA= CDE= CED=50 ， ACB= DCE=180 -2 50 =80 . ACB= ACD+ DCB， DCE= DCB+ BCE， ACD= BCE. ACB和 DCE均為等腰三角形， AC=BC， DC=EC. 在 ACD和 BCE中， ACD BCE（ SAS） . AD=BE. 考點(diǎn) 2 等邊三角形的性質(zhì)和判定 5. 下列三角形：有兩個角等于 60 ；有一個角等于 60 的等腰三角形；三個外角（每個頂點(diǎn)處各取一個外角）都相 等的三角形；一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形 . 其中是等邊三角形的有 （ ） A. B. C. D. D 6. 如圖 2-4-19-9， ABC中， AB=AC， DEF是 ABC的內(nèi)接 正三角形，則下列關(guān)系式成立的是 （ ） A. 21=2+3 B. 22=1+3 C. 23=1+2 D. 1+2+3=90 A 7. 如圖 2-4-19-10， E是 AOB的平分線上一點(diǎn)， EC OB， ED OA， C， D是垂足，連接 CD交 OE于點(diǎn) F.若 AOB=60 , （ 1）求證： OCD是等邊三角形； （ 2）若 EF=5，求線段 OE的長 . 解：（ 1） 點(diǎn) E是 AOB的平分線上一點(diǎn)， EC OA， ED OB， DE=CE. 在 Rt ODE與 Rt OCE中， Rt ODERt OCE（ HL） . OD=OC. AOB=60 ， OCD是等邊三角形 . （ 2） OCD是等邊三角形， OF是 COD的平分線， OE DC. AOB=60 ， AOE= BOE=30 . ODF=60 ， ED OA， EDF=30 . DE=2EF=10， OE=2DE=20. 8. 已知：如圖 2-4-19-11， ABC， CDE都是等邊三角形， AD， BE相交于點(diǎn) O，點(diǎn) M， N分別是線段 AD， BE的中點(diǎn) . （ 1）求證： AD=BE； （ 2）求 DOE的度數(shù)； （ 3）求證： MNC是等邊三角形 . 解：（ 1） ABC， CDE都是等邊三角形， AC=BC， CD=CE， ACB= DCE=60 . ACB+ BCD= DCE+ BCD. ACD= BCE. 在 ACD和 BCE中， ACD BCE（ SAS） . AD=BE. （ 2）解： ACD BCE， ADC= BEC. DCE是等邊三角形， CED= CDE=60 . ADE+ BED= ADC+ CDE+ BED= ADC+60 + BED= CED+60 =60 +60 =120 . DOE=180 -（ ADE+ BED） =60 . （ 3）證明： ACD BCE， CAD= CBE， AD=BE， AC=BC. 又 點(diǎn) M， N分別是線段 AD， BE的中點(diǎn)， 在 ACM和 BCN中， AC=BC, ACM BCN. CM=CN， ACM= BCN. 又 ACB=60 ， ACM+ MCB=60 . BCN+ MCB=60 . MCN=60 . MNC是等邊三角形 .