第 19講 特殊三角形 浙江專用 等腰 (邊 )三角形、直角三角形的性質及判定 性質 判定 等 腰 三 角 形 (1)兩腰相等 ， 兩底角相等； (2)頂角的平分線 ， 底邊上的 中線 ， 底邊上的高互相重合； (3)是軸對稱圖形 ， 有一條對 稱軸 (1)有兩條邊相等的三角形是等 腰三角形； (2)有兩個角相等的三角形是等 腰三角形 等 邊 三 角 形 (1)三邊相等； (2)各角相等 ， 且都等于 60 ； (3)是軸對稱圖形 ， 有三條對 稱軸 (1)三條邊相等的三角形是等邊 三角形； (2)三個角都相等的三角形是等 邊三角形； (3)有一個角等于 60 的 _是等邊三角形 等腰三角形 直 角 三 角 形 (1)兩銳角之和等于 90 ； (2)斜邊上的中線等于斜邊的 _； (3)30 角所對的直角邊等于斜邊 的一半； (4)若有一條直角邊等于斜邊的一 半 ， 那么這條直角邊所對的銳角 等于 _； (5)兩直角邊的平方和等于斜邊的 平方 (1)有一個角為 90 的三 角形是直角三角形； (2)一邊上的中線等于這 條邊的一半的三角形是 直角三角形； (3)如果三角形兩邊的平 方和等于第三邊的平方 ， 那么這個三角形是直角 三角形 一半 30 1 計算有關線段長度問題 ， 如果所求線段是在直角三角形中 ， 一般應 用勾股定理求解 ， 即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和 2 有關等腰三角形的問題 ， 若條件中沒有明確底和腰時 ， 一般應從某 一邊是底還是腰這兩個方面進行討論 ， 還要特別注意構成三角形的條件 ；同時 ， 在底角沒有被指定的等腰三角形中 ， 應就某角是頂角還是底角 進行討論 注意運用分類討論的方法 ， 將問題考慮全面 ， 不能想當然 3 面積法：用面積法證題是常用的技巧方法之一 ， 使用這種方法時一 般是利用某個圖形的多種面積求法或面積之間的和差關系列出等式 ， 從 而得到要證明的結論 4 在涉及折疊的相關問題中 ， 若原圖形中含有直角或折疊后產生直角 ， 常常把所求的量與已知條件利用折疊的性質 ， 借助等量代換轉化到一 個直角三角形中 ， 利用勾股定理建立方程求解 1 (2016懷化 )等腰三角形的兩邊長分別為 4 cm和 8 cm， 則它的周長為 ( ) A 16 cm B 17 cm C 20 cm D 16 cm或 20 cm 2 (2016荊門 )如圖 ， ABC中 ， AB AC， AD是 BAC的平分線 已知 AB 5， AD 3， 則 BC的長為 ( ) A 5 B 6 C 8 D 10 C C 3 ( 2 0 1 6 泰安 ) 如圖 ， 在 P A B 中 ， PA PB ， M ， N ， K 分別是 PA ， PB ， AB 上的點 ， 且 AM BK ， BN AK ， 若 MKN 44 ， 則 P 的度數(shù)為 ( ) A 44 B 66 C 88 D 92 4 ( 2 0 1 6 東營 ) 在 A B C 中 ， AB 10 ， AC 2 10 ， BC 邊上的高 AD 6 ， 則另一邊 BC 等于 ( ) A 1 0 B 8 C 6 或 1 0 D 8 或 10 D C 5 (2016湖州 )如圖 ， 在 Rt ABC中 ， ACB 90 ， BC 6， AC 8 ， 分別以點 A， B為圓心 ， 大于線段 AB長度一半的長為半徑作弧 ， 相交 于點 E， F， 過 E， F作直線 EF， 交 AB于點 D， 連結 CD， 則 CD的長是 _ 5 等腰三角形有關邊角的討論 【 例 1】 (1)(2016湘西州 )一個等腰三角形一邊長為 4 cm， 另一邊長為 5 cm， 那么這個等腰三角形的周長是 ( ) A 13 cm B 14 cm C 13 cm或 14 cm D以上都不對 (2)(2016隨州 )已知等腰三角形的一邊長為 9， 另一邊長為方程 x2 8x 15 0的根 ， 則該等腰三角形的周長為 _ 點撥：由方程 x2 8x 15 0得： (x 3)(x 5) 0， x 3 0或 x 5 0 ， 解得 x1 3或 x2 5， 當?shù)妊切蔚娜呴L為 9， 9， 3時 ， 其周長為 21 ；當?shù)妊切蔚娜呴L為 9， 9， 5時 ， 其周長為 23；當?shù)妊切蔚娜?邊長為 9， 3， 3時 ， 3 3 9， 不符合三角形三邊關系定理 ， 舍去；當?shù)?腰三角形的三邊長為 9， 5， 5時 ， 其周長為 19；綜上 ， 該等腰三角形的周 長為 19或 21或 23. C 19或 21或 23 【 點評 】 在等腰三角形中 ， 如果沒有明確底邊和腰 ， 某一邊可以 是底 ， 也可以是腰同樣 ， 某一角可以是底角也可以是頂角 ， 必須 仔細分類討論 對應訓練 1 (1)(2016赤峰 )等腰三角形有一個角是 90 ， 則另兩個角分別是 ( ) A 30 ， 60 B 45 ， 45 C 45 ， 90 D 20 ， 70 (2)(2016淮安 )已知一個等腰三角形的兩邊長分別為 2和 4， 則該等 腰三角形的周長是 _ B 10 等腰三角形的判定和性質 【 例 2】 (2015北京 )如圖 ， 在 ABC中 ， AB AC， AD是 BC邊上 的中線 ， BE AC于點 E.求證： CBE BAD. 證明： AB AC， AD是 BC邊上的中線 ， AD BC， AD平分 BAC， BE AC， CBE C CAD C 90 ， 又 CAD BAD， CBE BAD. 【 點評 】 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相 互重合 對應訓練 2 在 ABC中 ， AD平分 BAC， BD AD， 垂足為點 D， 過點 D作 DE AC， 交 AB于點 E， 若 AB 5， 求線段 DE的長 解： AD平分 BAC， BAD CAD， DE AC， CAD ADE， BAD ADE， AE DE， AD DB， ADB 90 ， EAD ABD 90 ， ADE BDE ADB 90 ， ABD BDE， DE BE， AB 5， DE BE AE 2.5 等邊三角形 【 例 3】 如圖 ， 在等邊 ABC中 ， ABC與 ACB的平分線相交于點 O ， 且 OD AB， OE AC. (1)試判定 ODE的形狀 ， 并說明你的理由； (2)線段 BD， DE， EC三者有什么關系 ？ 寫出你的判斷過程 解： (1) ODE是等邊三角形 ， 其理由是： ABC是等邊三角形 ， ABC ACB 60 ， OD AB， OE AC， ODE ABC 60 ， OED ACB 60 . ODE是等邊三角形 (2)BD DE EC， 其理由是： OB平分 ABC， 且 ABC 60 ， ABO OBD 30 ， OD AB， BOD ABO 30 ， DBO DOB， DB DO， 同理 ， EC EO， DE OD OE， BD DE EC. 【 點評 】 此題主要考查等邊三角形的判定及性質的理解及運用 對應訓練 3 (1)(2016泰州 )如圖 ， 已知直線 l1 l2， 將等邊三角形如圖放置 ， 若 40 ， 則 等于 _ 20 (2)(2015銅仁 )已知 ， 如圖 ， 點 D在等邊三角形 ABC的邊 AB上 ， 點 F在邊 AC上 ， 連結 DF并延長交 BC的延長線于點 E， EF FD. 求證： AD CE. 證明：作 DG BC 交 AC 于 G( 圖略 ) ， 則 DG F E C F ， 在 DFG 和 EFC 中 ， DGF ECF ， DFG EFC ， FD FE ， DFG E FC ( AAS ) ， GD CE ， A B C 是等邊三 角形 ， A B A C B 60 ， DG BC ， A DG B ， A G D AC B ， A A D G AGD ， A DG 是等邊三角形 ， AD GD ， AD C E. 直角三角形、勾股定理 【 例 4】 (1)(2015北京 )如圖 ， 公路 AC， BC互相垂直 ， 公路 AB的中點 M與點 C被 湖隔開 若測得 AM的長為 1.2 km， 則 M， C兩點間的距離為 ( ) A 0.5 km B 0.6 km C 0.9 km D 1.2 km (2)(2016南京 )下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是 ( ) A 3， 4， 4 B 3， 4， 5 C 3， 4， 6 D 3， 4， 7 D C 【 點評 】 (1)在直角三角形中 ， 斜邊上的中線等于斜邊的一半理解題意 ， 將實際問題轉化為數(shù)學問題是解題的關鍵 (2)在應用勾股定理的逆定理 時 ， 應先認真分析所給邊的大小關系 ， 確定最大邊后 ， 再驗證兩條較小邊 的平方和與最大邊的平方之間的關系 ， 如果滿足較小兩邊平方的和等于最 大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳 角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形 對應訓練 4 ( 1 ) ( 2 0 1 6 臺州 ) 如圖 ， 數(shù)軸上點 A ， B 分別對應 1 ， 2 ， 過點 B 作 PQ AB ， 以點 B 為圓心 ， AB 長為半徑畫弧 ， 交 PQ 于點 C ， 以原點 O 為圓心 ， OC 長為半徑畫弧 ， 交數(shù)軸于點 M ， 則點 M 對應的數(shù)是 ( ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 B ( 2 ) ( 2 0 1 6 哈爾濱 ) 在等腰直角三角形 A B C 中 ， AC B 90 ， AC 3 ， 點 P 為邊 BC 的三等分點 ， 連結 AP ， 則 AP 的長為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13 或 10 點撥： 如圖 1 ， AC B 90 ， AC BC 3 ， PB 1 3 BC 1 ， CP 2 ， AP AC 2 PC 2 13 如圖 2 ， AC B 90 ， AC BC 3 ， PC 1 3 BC 1 ， AP AC 2 PC 2 10 ， 綜上所述： AP 的長為 13 或 10 . 6.從不同的視角來證明幾何命題 試題 (2015營口 )【 問題探究 】 (1)如圖 ， 銳角 ABC中分別以 AB， AC為邊向外作等腰 ABE和等腰 ACD， 使 AE AB， AD AC， BAE CAD， 連接 BD， CE， 試猜想 BD與 CE的大小關系 ， 并說明 理由 【 深入探究 】 (2)如圖 ， 四邊形 ABCD中 ， AB 7 cm， BC 3 cm， ABC ACD ADC 45 ， 求 BD的長 審題視角 (1)首先根據(jù)等式的性質證明 EAC BAD， 則根據(jù) SAS 即可證明 EAC BAD， 根據(jù)全等三角形的性質即可證明； (2)在 ABC的外部 ， 以 A為直角頂點作等腰直角 BAE， 使 BAE 90 ， AE AB， 連結 EA， EB， EC， 證明 EAC BAD， 證明 BD CE， 然后在直角三角形 BCE中利用勾股定理即可求解 規(guī)范答題 ( 1 ) 證明： ( 1 ) B D C E. 理由是： B A E C AD ， B A E B AC C A D B A C ， 即 E AC B AD ， 在 E A C 和 B A D 中 ， AE AB ， EAC B AD ， AC AD ， E A C BA D( S AS ) ， BD CE ； ( 2 ) 解：如圖 ， 在 A B C 的外部 ， 以 A 為直角頂點作等腰直角 B A E ， 使 B A E 90 ， AE AB ， 連結 EA ， EB ， EC. AC D A DC 45 ， AC AD ， C A D 90 ， B A E B A C C A D B A C ， 即 E A C B A D ， 在 E AC 和 B A D 中 ， AE AB ， EAC B AD ， AC AD ， EAC B AD ( S AS ) ， BD C E. AE AB 7 ， BE 7 2 7 2 7 2 ， AB E A EB 45 ， 又 AB C 45 ， A B C AB E 45 4 5 90 ， EC BE 2 BC 2 （ 7 2 ） 2 3 2 107 ， BD CE 107 . 答題思路 第一步：通讀問題 ， 根據(jù)問題選擇合理的幾何分析方法； 第二步： (1)綜合法 (由因導果 )：從命題的題設出發(fā) ， 通過一系列的有關 定理、公理、定義的運用 ， 逐步向前推進 ， 直到問題的解決； (2)分析法 (執(zhí)果索因 )， 從命題的結論考慮 ， 推敲使其成立需必備的條件 ， 然后再 把條件看成要證的結論繼續(xù)推敲 ， 如此逐步向上逆推 ， 直到已知的條件 為止； (3)兩類結合法 ， 將分析法與綜合法合并使用比較起來 ， 分析法 利于思考 ， 綜合法宜于表達因此 ， 在實際思考問題時 ， 可綜合使用 ， 靈活處理 ， 以縮短題設與結論之間的距離 ， 直到完全溝通； 第三步：視問題需要 ， 添加合理的輔助線 ， 把已知與未知集中在一起； 第四步：從已知出發(fā) ， 一步一步作推理 ， 使得問題得以證明； 第五步：反思回顧 ， 查看關鍵點、易錯點 ， 完善解題步驟 19.三角形的高可能在三角形外 試題 1 在 ABC中 ， 高 AD和高 BE相交于點 H， 且 BH AC， 求 ABC的度數(shù) 錯解 解：如圖 ， 在 Rt BHD和 Rt ACD中 ， C CAD 90 ， C HBD 90 ， HBD CAD.又 BH AC， BHD ACD ， BD AD. ADB 90 ， ABC 45 . 剖析 當 ABC是銳角三角形時 ， 高 AD和高 BE的交點 H在三角形內；當 ABC 是鈍角三角形時 ， 高 AD和高 BE的交點 H在三角形外在解與高有關的問 題時 ， 應考慮全面 正解 這里的 ABC有兩種情況 ， ABC是銳角 (同錯解 )或 ABC是鈍角 (圖 ) 如圖 ， 在 Rt BHD和 Rt ACD中 ， 易得 C H.又 AC BH， DHB DCA， AD BD， DBA 45 ， ABC 135 . 綜上 ， ABC 45 或 135 . 試題 2 已知 ABC是等腰三角形 ， 由 A所引 BC邊上的高恰好等于 BC 邊長的一半 ， 試求 BAC的度數(shù) 錯解 解：如圖 ， AD BC ， AD 12 BC BD CD ， B A D B C C AD 45 ， B AC 90 . 剖析 (1)對于等腰三角形問題 ， 當給出的條件 (如邊、角情況 )不明時 ， 一般要 分情況逐一考察 ， 否則容易出現(xiàn)錯解或漏解的錯誤 (2)當頂角是銳角時 ， 腰上的高在三角形內；當頂角為直角時 ， 腰上的高 與另一腰重合；當頂角為鈍角時 ， 腰上的高在三角形外這是在解與等 腰三角形腰上的高有關的問題時 ， 應考慮的幾個方面 正解 題目中并沒有指明 BC 是等腰 A B C 的底或腰當 BC 為底時 ( 同 錯解 ) ， 可求得 B A C 90 ； 當 BC 為腰時 ， 還應對 B 的大小進行討論： ( 1 ) 當頂角 B 是銳角時 ， 如圖 ， AD 1 2 BC 1 2 AB ， AD BC ， B 30 ， 從而 B AC C 75 ； ( 2 ) 當頂角 B 為直角時 ， 高 AD 和腰 AB 重合 ， 與已知矛盾 ， 故 B 90 ； ( 3 ) 當頂角 B 為鈍角時 ， 如圖 ， AD 1 2 BC 1 2 AB ， AD BC ， DB A 30 ， 從而 B AC C 1 2 DB A 1 2 30 15 . 綜上 ， B A C 的度數(shù)為 90 或 75 或 15 .