第 24講 直線與圓的位置關(guān)系 浙江專用 直線和圓的位置關(guān)系 (1)設(shè) r是 O的半徑 ， d是圓心 O到直線 l的距離 直線和 圓的位 置 圖形 公共 點個 數(shù) 圓心到直線的 距離 d 與半 徑 r 的關(guān)系 公共點 名稱 直線 名稱 相交 2 d r 交點 割線 相切 1 d r 切點 切線 相離 0 d r 無 無 (2)切線的性質(zhì)： 切線的性質(zhì)定理：圓的切線 _經(jīng)過切點的半徑 推論 1：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過 _ 推論 2：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 _ (3)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且 _這條半徑的直 線是圓的切線 (4)切線長定義：從圓外一點作圓的切線 ， 把圓外這一點到切點間的 _的長叫做切線長 切線長定理：過圓外一點所作的圓的兩條切線長 _ (5)三角形的內(nèi)切圓：和三角形三邊都 _的圓叫做三角形的內(nèi) 切圓 ， 內(nèi)切圓的圓心是 _ 內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 _， 內(nèi)切圓的半徑是內(nèi)心到三邊 的距離 ， 且在三角形內(nèi)部 垂直于 圓心 切點 垂直于 線段 相等 相切 三角形三條角平分線的交點 內(nèi)心 1 證直線為圓的切線的兩種方法 (1)若知道直線和圓有公共點時 ， 常連結(jié)公共點和圓心 ， 證明直線垂直半 徑； (2)不知道直線和圓有公共點時 ， 常過圓心向直線作垂線 ， 證明垂線段的 長等于圓的半徑 2 圓中的分類討論 圓是一種極為重要的幾何圖形 ， 由于圖形位置 、 形狀及大小的不確定 ， 經(jīng)常出現(xiàn)多結(jié)論情況 (1)由于點在圓周上的位置的不確定而分類討論； (2)由于弦所對弧的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論； (3)由于弦的位置不確定而分類討論； (4)由于直線與圓的位置關(guān)系的不確定而分類討論 3 常見的輔助線 (1)當已知條件中有切線時 ， 常作過切點的半徑 ， 利用切線的性質(zhì)定 理來解題； (2)遇到兩條相交的切線時 (切線長 )， 常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心 和圓外的一點、連結(jié)兩切點 1 (2016湘西州 )在 Rt ABC中 ， C 90 ， BC 3 cm， AC 4 cm ， 以點 C為圓心 ， 以 2.5 cm為半徑畫圓 ， 則 C與直線 AB的位置關(guān)系 是 ( ) A 相交 B 相切 C 相離 D 不能確定 2 (2016酒泉 )如圖 ， AB和 O相切于點 B， AOB 60 ， 則 A 的大小為 ( ) A 15 B 30 C 45 D 60 A B 3 (2016湖州 )如圖 ， 圓 O是 Rt ABC的外接圓 ， ACB 90 ， A 25 ， 過點 C作圓 O的切線 ， 交 AB的延長線于點 D， 則 D的度數(shù)是 ( ) A 25 B 40 C 50 D 65 4 (2016德州 ) 九章算術(shù) 是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著 ， 書 中有下列問題 “ 今有勾八步 ， 股十五步 ， 問勾中容圓徑幾何？ ” 其意思 是： “ 今有直角三角形 ， 勾 (短直角邊 )長為 8步 ， 股 (長直角邊 )長為 15步 ， 問該直角三角形能容納的圓形 (內(nèi)切圓 )直徑是多少？ ” ( ) A 3步 B 5步 C 6步 D 8步 B C 5 ( 2 0 1 6 臺州 ) 如圖 ， 在 A B C 中 ， AB 10 ， AC 8 ， BC 6 ， 以邊 AB 的中點 O 為圓心 ， 作半圓與 AC 相切 ， 點 P ， Q 分別是邊 BC 和半 圓上的動點 ， 連結(jié) PQ ， 則 PQ 長的最大值與最小值的和是 ( ) A 6 B 2 13 1 C 9 D. 32 3 C 判斷直線與圓的位置關(guān)系 【 例 1】 (1)如圖 ， O的半徑為 4 cm， OA OB， OC AB于點 C， OB 4， OA 2， 試說明 AB是 O的切線 解： OA OB ， AB OA 2 OB 2 （ 2 5 ） 2 （ 4 5 ） 2 10. 又 S AOB 1 2 AB OC 1 2 OA OB ， OC OA OB AB 2 5 4 5 10 4. 又 O 的半徑為 4 ， AB 是 O 的切線 (2)如圖 ， 已知在 OAB中 ， OA OB 13， AB 24， O的半徑長為 r 5.判斷直線 AB與 O的位置關(guān)系 ， 并說明理由 解：直線 AB 與 O 相切理由：過點 O 作 OC AB 于 C ( 圖略 ) OA OB 13 ， AC BC 1 2 AB 12. 在 Rt AOC 中 ， OC OA 2 AC 2 13 2 12 2 5 r ， 直線 AB 與 O 相切 【 點評 】 在判定直線與圓相切時 ， 若直線與圓的公共點已知 ， 證題 方法是 “ 連半徑 ， 證垂直 ” ；若直線與圓的公共點未知 ， 證題方法是 “ 作垂線 ， 證半徑 ” 這兩種情況可概括為一句話： “ 有交點連半徑 ， 無交點作垂線 ” 對應(yīng)訓(xùn)練 1 (1)(2015齊齊哈爾 )如圖 ， 兩個同心圓 ， 大圓的半徑為 5， 小圓的半 徑為 3， 若大圓的弦 AB與小圓有公共點 ， 則弦 AB的取值范圍是 ( ) A 8AB10 B 8 AB10 C 4AB5 D 4 AB5 A (2)(2016永州 )如圖 ， 給定一個半徑長為 2的圓 ， 圓心 O到水平直線 l的 距離為 d， 即 OM d.我們把圓上到直線 l的距離等于 1的點的個數(shù)記為 m. 如 d 0時 ， l為經(jīng)過圓心 O的一條直線 ， 此時圓上有四個到直線 l的距離 等于 1的點 ， 即 m 4， 由此可知：當 d 3時 ， m _；當 m 2時 ， d的取值范圍是 _ 1 1 d 3 圓的切線的性質(zhì) 【例 2 】 ( 2 0 1 6 天津 ) 在 O 中 ， AB 為直徑 ， C 為 O 上一點 ( 1 ) 如圖 ， 過點 C 作 O 的切線 ， 與 AB 的延長線相交于點 P ， 若 C A B 27 ， 求 P 的大小； ( 2 ) 如圖 ， D 為 AC 上一點 ， 且 OD 經(jīng)過 AC 的中點 E ， 連結(jié) DC 并延長 ， 與 AB 的延長線相交于點 P ， 若 C A B 10 ， 求 P 的大小 解： ( 1 ) 如圖 ， 連結(jié) OC ， O 與 PC 相切于點 C ， OC PC ， 即 OC P 90 ， C A B 27 ， C OB 2 C A B 54 ， 在 Rt C OP 中 ， P C OP 90 ， P 90 C OP 36 ； ( 2 ) E 為 AC 的中點 ， OD AC ， 即 A EO 90 ， 在 Rt A OE 中 ， 由 E A O 10 ， 得 A OE 90 E A O 80 ， AC D 1 2 A OD 40 ， AC D 是 AC P 的一個外角 ， P AC D A 40 10 30 . 【 點評 】 本題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用 ， 要熟練掌握切線的性 質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑經(jīng)過圓心且垂直于切線的 直線必經(jīng)過切點經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 對應(yīng)訓(xùn)練 2 (2016丹東 )如圖 ， AB是 O的直徑 ， 點 C在 AB的延長線上 ， CD與 O相切于點 D， CE AD， 交 AD的延長線于點 E. (1)求證： BDC A； (2)若 CE 4， DE 2， 求 AD的長 ( 1 ) 證明：如圖 ， 連結(jié) OD ， CD 是 O 的切線 ， ODC 90 ， 即 ODB B DC 90 ， AB 為 O 的直徑 ， ADB 90 ， 即 ODB A DO 90 ， B DC ADO ， OA OD ， ADO A ， B DC A ； ( 2 ) 解： CE AE ， E A DB 90 ， DB EC ， D C E B DC ， B D C A ， A DC E ， E E ， A EC C ED ， CE DE AE CE ， EC 2 DE A E ， 16 2 ( 2 A D) ， A D 6. 切線的判定與性質(zhì)的綜合運用 【 例 3】 (2016永州 )如圖 ， ABC是 O的內(nèi)接三角形 ， AB為直徑 ， 過點 B的切線與 AC的延長線交于點 D， E是 BD中點 ， 連結(jié) CE. (1)求證： CE是 O的切線； (2)若 AC 4， BC 2， 求 BD和 CE的長 ( 1 ) 證明：連結(jié) OC ， 如圖所示 ， BD 是 O 的切線 ， C B E A ， A B D 90 ， AB 是 O 的直徑 ， AC B 90 ， A C O B C O 90 ， BCD 90 ， E 是 BD 中點 ， CE 1 2 BD BE ， B C E C B E A ， OA OC ， AC O A ， A C O B C E ， B C E B C O 90 ， 即 OC E 90 ， CE OC ， CE 是 O 的切線； ( 2 ) 解： AC B 90 ， AB AC 2 BC 2 4 2 2 2 2 5 ， ta n A BD AB BC AC 2 4 1 2 ， BD 1 2 AB 5 ， CE 1 2 BD 5 2 . 【 點評 】 本題考查了切線的判定與性質(zhì) ， 解題的關(guān)鍵是：熟記切線 的判定定理與性質(zhì)定理：經(jīng)過半徑的外端 ， 并且垂直于這條半徑的直 線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點的直徑 對應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 2 0 1 6 衢州 ) 如圖 ， AB 為 O 的直徑 ， 弦 CD AB ， 垂足為點 P ， 直 線 BF 與 AD 的延長線交 于點 F ， 且 AF B A B C . ( 1 ) 求證：直線 BF 是 O 的切線； ( 2 ) 若 CD 2 3 ， OP 1 ， 求線段 BF 的長 ( 1 ) 證明： A FB A B C ， A B C ADC ， A F B ADC ， CD BF ， A P D A B F ， CD AB ， AB BF ， 直線 BF 是 O 的切線 ( 2 ) 解：連結(jié) OD ( 圖略 ) ， CD AB ， PD 1 2 CD 3 ， OP 1 ， OD 2 ， OA 2 ， AP OA OP 3 ， AB 4 ， P A D B A F ， A P D A B F ， A P D A B F ， AP AB PD BF ， 3 4 3 BF ， BF 4 3 3 . 試題 如圖 ， P 是 O 外一點 ， PA 切 O 于點 A ， AB 是 O 的直徑 ， BC OP 交 O 于點 C. ( 1 ) 判斷直線 PC 與 O 的位置關(guān)系 ， 并證明你的結(jié)論； ( 2 ) 若 BC 2 ， s in 1 2 A P C 1 3 ， 求 PC 的長及點 C 到 PA 的距離 審題視角 ( 1 ) 直線 PC 與 O 交于點 C ， 可以初步判定直線與圓相切或相交； ( 2 ) P A 切 O 于點 A ， 根據(jù)切線的性質(zhì) ， 可知 P A O 90 ， 連結(jié) CO ， 能 證得 P C O P A O 90 ， PC 與 O 相 切；而后由 PC 是切線解得 PC 長 規(guī)范答題 解： (1)直線 PC與 O相切 證明：如圖 ， 連結(jié) OC， BC OP， 1 2， 3 4. OB OC， 1 3， 2 4. 又 OC OA， OP OP， POC POA(SAS)， PCO PAO. PA切 O于點 A， PAO 90 ， PCO 90 ， PC與 O相切 ( 2 ) P OC P OA ， 5 6 1 2 A P C ， s in 5 s in 1 2 A P C 1 3 . P C O 90 ， 2 5 90 ， co s 2 s in 5 1 3 . 3 1 2 ， co s 3 1 3 . 如圖 ， 連結(jié) AC ， AB 是 O 的直徑 ， AC B 90 ， AB BC co s 3 2 1 3 6 ， OA OB OC 3 ， AC AB 2 BC 2 4 2 ， 在 Rt P OC 中 ， OP OC s in 5 9 ， PC OP 2 OC 2 6 2 . 如圖 ， 過點 C 作 CD PA 于 D ， AC B P A O 90 ， 3 7 90 ， 7 8 90 ， 3 8 ， co s 8 co s 3 1 3 . 在 Rt C A D 中 ， AD AC co s 8 4 2 1 3 4 3 2 . CD AC 2 AD 2 16 3 ， 即點 C 到 PA 的距離為 16 3 . 答題思路 第一步：探索可能的結(jié)論 ， 假設(shè)符合要求的結(jié)論存在； 第二步：從條件出發(fā) (即假設(shè) )求解； 第三步：確定符合要求的結(jié)論存在或不存在； 第四步：給出明確結(jié)果； 第五步：反思回顧 ， 查看關(guān)鍵點 ， 易錯點及答題 規(guī)范 試題 在 Rt A B C 中 ， C 90 ， AC 3 ， BC 4 ， 若以 C 為圓心 ， R 為半徑的圓與斜邊 AB 只有一個公共點 ， 求 R 的值 錯解 解： C 與 AB 只有一個公共點 ， C 與 AB 相切 ， 如圖 ， AB 3 2 4 2 5 ， S A BC 1 2 A B C D 1 2 A C B C ， CD AC B C AB 3 4 5 12 5 ， 圓與 AB 相切時 ， 即 R CD 12 5 . 剖析 當 C 與 AB 相切時 ， 只有一個交點 ， 同時要注意 AB 是線段 ， 當 圓的半徑 R 在一定范圍內(nèi)時 ， 斜邊 AB 與 C 相交且只有一個公共點 正解 當 O 與 AB 相切時 ， 圓與 AB 只有一個公共點 ， 如圖 ， AB 3 2 4 2 5 ， S A BC 1 2 A B C D 1 2 AC B C ， CD AC B C AB 3 4 5 12 5 ； 當 C 與斜邊 AB 相交時 ， 點 A 在圓內(nèi)部 ， 點 B 在圓上或圓外時 ， 圓與 AB 只有一個公共點 ， 如圖 ， 此時 AC R BC ， 即 3 R 4. 故答案為： 3 R 4 或 R 12 5 .