數(shù)學(xué) 第 17節(jié) 三角形與全等三角形 四川專用 三 角 形 分 類 按邊分 不等邊三角形：三條邊都 不相等 的三角形叫做不等邊三角形 等腰三角形：有兩條邊 相等 的三角形叫做等腰三角形 等邊三角形：三條邊都 相等 的三角形叫做等邊三角形 按角分 銳角三角形：三個角都是 銳角 的三角形叫做銳角三角形 直角三角形：有一個角為 90 的三角形叫做直角三角形 鈍角三角形：有一個角是 鈍角 的三角形叫做鈍角三角形 1 (2016廣安 )下列說法： 三角形的三條高一定都在三角形內(nèi) ； 有一個角是直角的四邊形是矩形 ； 三角形的三條角平分線一定都在三角形內(nèi) ； 兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 ； 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 其中正確的個數(shù)有 ( ) A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 B 2 (2016樂山 )如圖 ， CE是 ABC的外角 ACD的平分線 ， 若 B 35 ， ACE 60 ， 則 A ( ) A 35 B 95 C 85 D 75 3 (2015綿陽 )如圖 ， 在 ABC中 ， B， C的平分線 BE， CD相交于 點(diǎn) F， ABC 42 ， A 60 ， 則 BFC ( ) A 118 B 119 C 120 D 121 C C 4 ( 2016 成都 ) 如圖 ， ABC A B C ， 其中 A 36 ， C 24 ， 則 B _ 5 ( 導(dǎo)學(xué)號 14 952092 )( 2014 遂寧 ) 如圖 ， 在 ABC 中 ， 點(diǎn) A 1 ， B 1 ， C 1 分 別是 BC ， AC ， AB 的中點(diǎn) ， A 2 ， B 2 ， C 2 分別是 B 1 C 1 ， A 1 C 1 ， A 1 B 1 的中點(diǎn) ， 依此類推 . 若 ABC 的周長為 1 ， 則 A n B n C n 的周長為 _ . 1 2n 120 6 ( 2015 宜賓 ) 如圖 ， AC DC ， BC EC ， ACD BCE . 求證： A D. 證明： ACD BCE ， ACB DCE ， 在 ABC 和 DEC 中 ， AC DC ， ACB DCE ， BC EC ， ABC DEC ( SAS ) ， A D 【 例 1】 (1)(2016岳陽 )下列長度的三根小木棒能構(gòu)成三角形的是 ( ) A 2 cm， 3 cm， 5 cm B 7 cm， 4 cm， 2 cm C 3 cm， 4 cm， 8 cm D 3 cm， 3 cm， 4 cm (2)(2016鹽城 )若 a， b， c為 ABC的三邊長 ， 且滿足 |a 4| 0， 則 c的值可以為 ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 D A b 2 【 例 2】 (導(dǎo)學(xué)號 14952093)在 ABC中 ， C B， AE平分 BAC， F 為射線 AE上一點(diǎn) (不與點(diǎn) E重合 )， 且 FD BC于 D； (1)如果點(diǎn) F與點(diǎn) A重合 ， 且 C 50 ， B 30 ， 如圖 1， 求 EFD的 度數(shù)； (2)如果點(diǎn) F在線段 AE上 (不與點(diǎn) A重合 )， 如圖 2， 問 EFD與 C B有 怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由； (3)如果點(diǎn) F在 ABC外部 ， 如圖 3， 此時 EFD與 C B的數(shù)量關(guān)系是 否會發(fā)生變化？請說明理由 分析 ： (1) 由三角形內(nèi)角和定理可得 BAC 100 ， CAD 40 ， 由角平分線的性質(zhì)易得 EAC 的度數(shù) ， 可得 EFD ； (2) 由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出 BAE 90 1 2 ( C B) ， 由外角的性質(zhì)得出 AEC 90 1 2 ( B C) ， 在 EF D 中 ， 由三角形內(nèi) 角和定理可得 EFD ； (3) 與 ( 2) 的方法相同 解： (1) C 50 ， B 30 ， BAC 1 80 50 30 100 . AE 平分 BAC ， CAE 50 . 在 Rt ADC 中 ， DAC 90 50 40 ， EFD 50 40 10 (2) EFD 1 2 ( C B) 證明： AE 平分 BAC ， BAE 180 B C 2 90 1 2 ( C B) AEC 為 ABE 的外角 ， AEC B 90 1 2 ( C B) 90 1 2 ( B C) FD BC ， FDE 90 . EFD 90 90 1 2 ( B C) EFD 1 2 ( C B) ( 3) EFD 1 2 ( C B) 理由同 (2) 【例 3 】 ( 20 16 南充 ) 已知 ABN 和 ACM 位置如圖所示 ， AB AC ， AD AE ， 1 2. (1) 求證： BD CE ； (2) 求證： M N. 分析： (1) 由 SAS 證明 ABD ACE ， 得出對應(yīng)邊相等即可 ； ( 2) 證出 BAN CAM ， 由全等三角形的性質(zhì)得出 B C ， 由 AS A 證明 ACM ABN ， 得出對應(yīng)角相等 解： (1) 在 ABD 和 ACE 中 ， AB AC ， 1 2 ， AD AE ， ABD ACE ( SAS ) ， BD CE (2) 1 2 ， 1 DAE 2 DAE ， 即 BAN CAM ， 由 ( 1) 得： ABD ACE ， B C ， 在 ACM 和 ABN 中 ， C B ， AC AB ， CAM BAN ， ACM ABN ( AS A ) ， M N 忽略分類討論的思想而漏解 【 例 4】 (1)已知 AB 1.5， AC 4.5， 若 BC的長為整數(shù) ， 則 BC的長為 ( ) A 3 B 6 C 3或 6 D 3或 4或 5或 6 (2)直角三角形的兩銳角平分線相交成的角的度數(shù) 是 ( ) A 45 B 135 C 45 或 135 D以上答案均不對 D C 分析： (1)分兩種情況 ： A， B， C三點(diǎn)在同一條直線上 ， 點(diǎn) B在線段 AC上 ， 點(diǎn) A在線段 BC上 ， A， B， C三點(diǎn)不在同一條直線上 ， 根據(jù)三角形的三 邊關(guān)系即可得到結(jié)論 (2)作出圖形 ， 根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出兩銳 角的和為 90 ， 再根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和為 180 ， 即可求 得兩角平分線的夾角 ， 注意夾角有兩個 ， 不要漏解 1 (2015宜昌 )下列圖形具有穩(wěn)定性的是 ( ) A 正方形 B矩形 C 平行四邊形 D直角三角形 2 (2016婁底 )下列命題中 ， 錯誤的是 ( ) A 內(nèi)錯角相等 B 三角形的三條中線相交于一點(diǎn) C 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和 D A 3 (2016長沙 )若一個三角形的兩邊長分別為 3和 7， 則第三邊長可能是 ( ) A 6 B 3 C 2 D 11 4 (2016金華 )如圖 ， 已知 ABC BAD， 添加下列條件還不能判定 ABC BAD的是 ( ) A AC BD B CAB DBA C C D D BC AD A A 5 (導(dǎo)學(xué)號 14952094)(2016大慶 )如圖 ， 在 ABC中 ， A 40 ， D點(diǎn)是 ABC和 ACB角平分線的交點(diǎn) ， 則 BDC _. 6 (2016南京 )如圖 ， 四邊形 ABCD的對角線 AC， BD相交于點(diǎn) O， ABO ADO.下列結(jié)論： AC BD； CB CD； ABC ADC； DA DC.其中所有正 確結(jié)論的序號是 110 7 ( 2016 廣安 ) 如圖 ， 四邊形 ABCD 是菱形 ， CE AB 交 AB 的延長線于 點(diǎn) E ， CF AD 交 AD 的延長線于點(diǎn) F ， 求證： DF BE. 證明：連接 AC ， 四邊形 AB CD 是 菱形 ， AC 平分 DAE ， CD BC ， CE AB ， CF AD ， CE FC ， CFD CEB 90 . 在 Rt CDF 與 Rt CBE 中 ， CD CB ， CF CE ， Rt CDF Rt CBE ( HL ) ， DF BE 8 ( 導(dǎo)學(xué)號 14 952095 )( 2016 河北 ) 如圖 ， 點(diǎn) B ， F ， C ， E 在直線 l 上 (F ， C 之間不能直接測量 ) ， 點(diǎn) A ， D 在 l 異側(cè) ， 測得 AB DE ， AC DF ， BF EC. (1) 求證： ABC DEF ； (2) 指出圖中所有平行的線段 ， 并說明理由 解： (1) BF CE ， BF FC FC CE ， 即 BC EF ， 在 ABC 和 DEF 中 ， AB DE ， AC DF ， BC EF ， ABC DEF ( SSS ) (2) 結(jié)論： AB DE ， AC DF . 理由： ABC DEF ， ABC DEF ， ACB DFE ， AB DE ， AC DF